基于投影變形大小的投影帶和投影面選擇

楊　志， 覃　輝， 文鴻雁， 袁明月

(1.廣西空間信息與測繪重點實驗室， 廣西 桂林　541004；　2.桂林理工大學(xué) 測繪地理信息學(xué)院， 廣西 桂林　541004；　3.桂林理工大學(xué) 廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實驗中心， 廣西 桂林　541006)

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基于投影變形大小的投影帶和投影面選擇

楊志1，2，3， 覃輝1，2，3， 文鴻雁1，2，3， 袁明月1，2，3

(1.廣西空間信息與測繪重點實驗室， 廣西 桂林541004；2.桂林理工大學(xué) 測繪地理信息學(xué)院， 廣西 桂林541004；3.桂林理工大學(xué) 廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實驗中心， 廣西 桂林541006)

[摘要]我國國家坐標系統(tǒng)普遍采用高斯-克呂格正射投影( 簡稱“高斯投影”)，即先由地面投影到參考橢球面，再由參考橢球面投影到高斯平面。經(jīng)過以上投影變換，定會引起一定的投影變形，變形的大小隨投影點與大地水準面的距離不同而變化。針對該問題，工程測量中通常采用的處理方法是：a.采用任意分帶形式，將中央子午線移至能控制投影變形的范圍。b.根據(jù)實際需要，重新設(shè)定投影面高程。c.選定一個抵償面。是先找到最佳中央子午線，然后計算抵償面高程，得出最佳的投影帶和投影面，通過實例計算對比，能得到最佳的投影帶和投影面，在一定范圍內(nèi)，橫坐標跨度最大，同時也能夠準確的確定大地測量所需要的平面控制網(wǎng)的坐標系。

[關(guān)鍵詞]高斯-克呂格正射投影； 投影變形； 中央子午線； 投影面高程； 抵償面

1概述

對于工程測量，尤其是在城市測量，不僅有測量大比例尺地形圖的任務(wù)，同時還要滿足各類建筑工程和市政建筑施工放樣等工作的要求。要建立經(jīng)濟合理的，并且要能夠滿足各種目的的工程平面控制網(wǎng)坐標系，在測繪行業(yè)是一個重要的研究方向[1]。

隨著測繪技術(shù)的發(fā)展，特別是GTP定位技術(shù)，其作用不可小覷。在我國道路建設(shè)中，尤其是在實際測量鐵路系統(tǒng)中，GTP技術(shù)的應(yīng)用最為廣泛。隨著最近幾年來高速鐵路的迅猛發(fā)展，對其勘測、設(shè)計變得越來越重要，為降低或者解除高差和高斯投影導(dǎo)致的邊長變形對工程建設(shè)施工的影響，常常需要建立適宜的獨立坐標系來滿足工程的要求，所以就需要向鐵路獨立坐標系轉(zhuǎn)換[2]。但因為道路測量有其自身的特點，通常會出現(xiàn)測區(qū)遠離中央子午線或者測區(qū)平均高程偏大，從而造成長度變形增大，很難達到工程實踐精度的嚴格要求。為此，需要建立科學(xué)合理的與本地區(qū)相契合的獨立坐標系。通常而言，鐵路獨立坐標系建立的辦法要分兩步走，首先通過使用國家坐標系已知點束縛GTP網(wǎng)；隨后在國家坐標系橢球基本參數(shù)的基礎(chǔ)上，運用變動中央子午線和抵償投影面的方法來建立鐵路獨立坐標系[3]。

2投影變形的基本概念與精度要求

2.1投影變形概念

投影變形是指將地面觀測的實際長度歸算到參考橢球面后，再將橢球面上的實際長度歸算到高斯投影面上的變形值。投影面和投影帶的選擇對于平面控制網(wǎng)測量中，主要是解決長度變形的問題[4]。

2.2投影變形的原因

投影變形主要由以下原因所引起[5]：

① 實際測量的邊長歸算到參考橢球面上的變形，其值為ΔS1，據(jù)相關(guān)公式計算，在不同高程面上對應(yīng)的變形值見表1。從表1可知：ΔS1是負值，表明將地面實際測量的邊長歸算到參考橢球面上，總是減小的；歸算邊高出參考橢球面的平均高程Hm與ΔS1的絕對值成正比，ΔS1隨Hm的增大而增大。

② 將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形，其值為ΔS2，根據(jù)相關(guān)公式，可以計算每公里長度的投影變形值和相對投影變形值，見表1。

從表1可見：ΔS2的值總是正數(shù)，由此可知將橢球面上的長度投影到高斯投影面上[6]，投影變形值總是增大的；ΔS2值隨著歸算邊兩端橫坐標的平均值ym的平方增大而增大，由此可知，離中央子午線距離越遠，其變形值越大。

表1 不同高程面上距離的相對變形與每公里投影變形及相對投影變形值Table1 Therelativedeforamtionofdistanceindifferentheightsurface&theprojectiondistortionvaluesandrelativeprojectiondistortionvaluesperkilometer不同高程面上的相對變形每公里長度投影變形及相對投影變形值Hm/mΔS1/mmΔS1/Sy/mΔS2/mmΔS2/S010-1.61/637000101.21/81000020-3.11/318500204.91/12000030-4.71/2120003011.11/9000040-6.31/1590004019.71/15000050-7.81/1274005030.71/3200060-9.41/1060006044.31/2200070-11.01/910007060.31/1650080-12.61/790008078.71/1270090-14.11/700009099.61/10000100-15.71/63700100133.01/8000160-25.11/39000———1000-1571/6370— — —

2.3投影變形的精度要求

在各類工程建設(shè)中，施工放樣工作能否順利進行，就必須要求控制點坐標反算的邊長與實地測量的邊長應(yīng)該相等，也就是說由上述兩項歸算投影改正而引起的長度變形或改正數(shù)，應(yīng)該小于施工放樣的精度要求[7]。即每公里變形值應(yīng)小于25 mm。

3長度投影變形影響因素

3.1實際測量真實長度歸化至國家統(tǒng)一的參考橢球面

測量的實際長度歸化到國家統(tǒng)一的參考橢球面就會產(chǎn)生高差投影變形[8，9]。可按式(1)計算：

(1)

式中：D為實測水平距離；RA為長度所在方向參考橢球面法截弧的曲率半徑；Hm為觀測邊的平均大地高。

3.2橢球面上的長度投影到高斯平面

(2)

式中：S為參考橢球面的長度；Rm為測線兩端平均緯度處參考橢球面的平均曲率半徑；ym為測線在高斯平面上離中央子午線垂距的平均值。

3.3長度綜合變形[10]

通過兩次變形后，地面真實長度與高斯投影面的長度之差為長度綜合變形，按式(3)計算：

(3)

在實際計算中，為了方便起見，又不影響必要的精度，取Rm=RA=6 371 km，采用不同投影面的同一距離近似相等，即S≈D，可以寫成相對變形的形式為：

(4)

由公式(4)可知：采用國家統(tǒng)一坐標系統(tǒng)所產(chǎn)生的長度綜合變形與測區(qū)內(nèi)的平均高程和測區(qū)所處投影帶內(nèi)的位置有關(guān)，根據(jù)(4)式可以計算出已知測區(qū)內(nèi)的長度相對變形的大小[11-13]。

可以把長度綜合變形的容許值代入(4)式得：

H=0.783y2(10-4)±0.159

(5)

式中：以H為縱坐標軸，y為橫坐標軸，式(5)繪制成圖如圖1所示。

圖1　投影面高程與橫坐標投影變形Figure 1　The height varying in the projection surface and 　the projection varying in abscissa

圖1中：適應(yīng)區(qū)是指A區(qū)、B區(qū)適合采用國家統(tǒng)一坐標系，沒有必要建立獨立坐標系，其他不適應(yīng)區(qū)域則需要建立獨立坐標系才能滿足實際需要。其中C區(qū)域為高海拔地區(qū)，長度綜合變形中占主導(dǎo)作用的是高程歸算變形；在D區(qū)域為離中央子午線較遠，則投影變形占主導(dǎo)作用的是高斯投影所產(chǎn)生的變形；在E區(qū)域內(nèi)則是前面兩者綜合影響長度變形[14]。

4實例分析

本文以一范圍在東經(jīng)114°22′～ 114°41′，北緯 37°52′～38°11′的區(qū)域為例進行分析比較，該地區(qū)東西距114°子午線分別為yW= 32.2 km和yE= 60.0 km。兩邊的平均高程為HW=80 m和HE=61 m，該地區(qū)平均高程為Hu=70 m，高程異常為Hg=40 m。由公式(6)計算橫坐標區(qū)間ym，ym=(0～58.6)km。

(6)

① 當(dāng)投影面高程H=0 m ，中央經(jīng)線L=114°時，規(guī)劃區(qū)的東西邊投影變形值分別為：

西邊的變形值為：

(7)

東邊的邊線值為：

(8)

從式(8)可知：東邊投影變形值已經(jīng)大于25 mm/km，所以需要選擇合適的方法來解決投影變形值過大的影響。

② 當(dāng)變更中央子午線L=114°30′，H=0 m時，選擇投影帶和投影面：

首先，計算市中心距統(tǒng)一3°帶中央子午線114°的橫坐標近似值y0：

y0=N·l·cosB=1.857·l′·cosB=43.9 km

(9)

式中：平均緯度B=38°；市中心距中央子午線114°的經(jīng)差l′=30′；卯酉圈曲率半徑N=6 383 km。

由式(9)可知：該區(qū)域中心位于統(tǒng)一3°帶中央子午線(114°)以東 43.9 km，對新建的獨立坐標系，則規(guī)劃區(qū)東邊位于中央子午線以東16.1 km(經(jīng)差11′，yE=16.1 km)，規(guī)劃區(qū)西邊位于中央子午線(114 °30′)以西11.7 km(經(jīng)差-8′，yW=11.7 km)，由此可計算出投影變形值分別為：

西邊變形值：

(10)

東邊變形值：

(11)

可見，中央子午線兩邊投影變形值都小于25 mm/km，選擇過該區(qū)域中心點的子午線作為中央子午線，然后投影到H=0 m的高程面上能基本解決投影變形過大的影響。

③ 當(dāng)改變投影面高程，投影到該區(qū)平均高程H=70 m的高程面上，仍選用114°為中央子午線建立獨立坐標系，由式(8)可知：東邊的高斯投影變形值較大，高程歸化改正不能徹底的抵消其變形，假如中央子午線不改變，就只能人為的改變歸化高程來抵償部分高斯投影變形值，使其長度變形仍然小于 1/40 000。

西邊的投影變形為：

(12)

東邊的投影變形為：

(13)

由式(13)可知：這種情況，東邊的投影變形值大于25 mm/km，不能滿足要求。

④ 選用114°30′為中央子午線，投影到市區(qū)平均高程H=70 m的高程面上建立標系。

西邊的投影變形為：

(14)

東邊的投影變形為：

(15)

可見，東西兩邊投影變形值都小于25 mm/km，將城區(qū)投影到H=70 m高程面上，選擇過該區(qū)中心點的子午線作為中央子午線，也能夠解決投影變形值過大的影響。

⑤ 計算抵償面的高程，投影到抵償面高程上，中央經(jīng)線L=114°時。

(17)

假設(shè)該區(qū)中心點y0= 43.9 km處的投影變形的變形值為0，可求出高程修正值ΔH得：ΔH=41 m，可知抵償面的高程為：

Hd=Hu-(H+ΔH)=-81 m

(18)

這時規(guī)劃區(qū)西邊的歸化高度為：

(19)

東面的歸化高度為：

(20)

計算投影變形得：

西面的投影變形為：

(21)

東面的投影變形為：

(22)

計算抵償帶寬度，將式(19)、式(20)代入式(6)得：yW=4.59 kmyE=61.98 km

東西的橫坐標跨度為：

Δy=yE-yW=57.39 km

(23)

根據(jù)式(18)、式(21)、式(22)，在不改變中央子午線(L=114°)的情況下，可以選擇Hd=-81 m的抵償高程面作為投影面，也能解決投影變形值過大的問題，但變形值還是相對較大，由式(23)也可得知，東西跨度也比較小。

⑥ 在選擇Hd=-81 m低償高程面作為投影面建立獨立坐標系，同時選擇過該區(qū)中心點y0= 43.9 km的子午線(經(jīng)度為114°30′)作為中央子午線，此時可以計算出投影變形值為：

西邊的投影變形為：

(24)

東邊的投影變形為：

(25)

計算抵償帶寬度：令式(24)、式(25)的右邊等于25 mm/km，計算東西邊距中央子午線的最大橫坐標得：

yWmax=45.124 kmyEmax=45.126 km

東西的橫坐標跨度為：

Δy=yEmax+yWmax=90.25 km

(26)

從表2中可以清晰的看到：第一種方法與第三種方法變形值都超過了25 mm/km的精度要求，第二種方法東邊、西邊變形值都比較大，第四種方法也不是最優(yōu)解，第五種改變抵償面高程方法在實際應(yīng)用中比較多，但所建立的坐標系東西變形相對較大，橫坐標跨度也很小，不利于以后的城區(qū)擴建工作。而利用第六種方法，先分別計算東西歸化高度，然后得到抵償面高程，還采用最佳中央子午線建立坐標系，不但能得到投影變形值最小，并且其橫坐標跨度也能夠達到最大值，能充分滿足城市今后規(guī)劃布局的需要。

表2 投影變形值及橫坐標跨度對比Table2 Theprojectiondistortionvalueconstrastthespanofabscissa投影面高程/m中央子午西邊投影變形/(mm·km-1)東邊投影變形/(mm·km-1)橫坐標跨度/km0114° 6.128.5—0114°30'-17.13-12.65—70114° 11.245.76—70114°30'0.124.6—-81114° -12.52257.39-81114°30'-1.61.490.25

5結(jié)論

針對投影變形，通常兩種手段來實現(xiàn)投影帶和投影面的選擇，首先是在已知的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，在excel表格里面進行初步計算，看投影在統(tǒng)一坐標系里面是否符合標準，如果不符合標準，就用兩種方法解決這個問題，第一是改變投影面高程來控制變形，第二是改變投影帶的中央子午線來控制投影變形。

所有測量工作的第一要務(wù)是建立準確的坐標系，這項要務(wù)是以后測量工作順利進行的關(guān)鍵。上文中的六種處理的情況有幾種能滿足要求，但建立科學(xué)合理的城市坐標系還要依據(jù)現(xiàn)有的成果和城市發(fā)展規(guī)劃的要求，既要考慮當(dāng)前的又要著眼未來，所以為了變形最小，還有投影的有效東西跨度的最大化，在選用常用的抵償面的基礎(chǔ)上，采用第六種情況是最佳的選擇。所以，本文的重點是討論投影變形大小的投影帶和投影面的最佳選擇，是基于現(xiàn)實情況下的一種最佳考慮選擇。

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The Selection of Projection Zone and Plane is Based on the Size of Projection Distortion

YANG Zhi1，2，3， QIN Hui1，2，3， WEN Hongyan1，2，3， YUAN Mingyue1，2，3

(1.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics， Guilin， Guangxi， 541004， China；2.College of Geomatics and Geoinformation， Guilin University of Technology， Guilin， Guangxi， 541004， China；3.Guangxi Scientific Experiment Center of Mining， Metallurgy and Environment， Guilin University of Technology， Guilin， Guangxi 541006， China)

[Abstract]China’s national coordinate system commonly used Gauss-Kruger orthographic projections( abbreviation “Gauss Projections” ).That is to say the projections go first to the ground，and then to the reference elliTPoid.Next，the projections will finally projected onto the Gaussian flat.After the transform of above projections，it will cause some sort of deforms.The scale of the deforms will be varied with the different distance between the projection point and the geoid.Usually.Aimed at the problem，The approaches be used in engineering survey are：a.Use the form of zonation randomly to put the central meridian to the range that the projection distortion can be able to control；b.According to the actual needs，reset the elevation of projection plane；c.Select the compensation plane.In this paper，we should find the best central meridian at first，and then calculate the elevation of compensating surface，we will get the optimal projection zone and projection plane.By analysis of calculated result obtained the optimal projection zone and projection plane and the span of abscissa is the peak of maximum within a certain range，it also be able to accurately determine the coordinate system of the plane geodetic control network at the same time.

[Key words]gauss-kruger orthographic projections； projection distortion； the central meridian； the elevation of projection plane； compensation plane

[中圖分類號]U 412.24+1

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-0610(2016)01-0059-05

[作者簡介]楊志(1989-)，男，湖南桃江人，研究生，變形監(jiān)測與數(shù)據(jù)處理。[通訊作者] 文鴻雁(1963-)，男，湖南祁陽人，教授，博士，研究方向為精密工程測量與專題信息系統(tǒng)。

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(41461089)；廣西“八桂學(xué)者”崗位專項經(jīng)費資助項目廣西空間信息與測繪重點實驗室資助課題(桂科能130511402，1207115-06)；廣西自然科學(xué)基金基金項目(2014GXNSFAA118288)；廣西礦冶與環(huán)境科學(xué)實驗中心資助課題(KH2012ZD004)；廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCSZ2014151，YCSZ2012083)

[收稿日期]2014-10-23