音樂中的數(shù)學(xué)

劉 哲

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音樂中的數(shù)學(xué)

劉 哲

摘 要：通過操作，讓我們領(lǐng)略到了音樂的奇妙，以及看到了音樂（如弦樂器）從它進入人類的生活、娛樂的初始，就有數(shù)學(xué)與之相隨了，對它的初探，只是起到一個拋磚引玉的作用，如果我們再進一步研究，將會有更新的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識。

關(guān)鍵詞：音樂；數(shù)學(xué)

提到音樂與數(shù)學(xué)，人們一定會感覺到他們風(fēng)馬牛不相及，怎么會聯(lián)系到一起呢？通過向下面的觀察，我們就會發(fā)現(xiàn)，他們之間有著一種奇妙的關(guān)系。

二胡弦長數(shù)據(jù)參考對照表

縱坐標(biāo)y x i（弦長）推導(dǎo)式及計算數(shù)據(jù)橫坐標(biāo)序號及對應(yīng)唱名粗測弦長數(shù)據(jù)y x i （m m ）= L （x i -1 ）= 1 . 0 3 6 A -3 7 . 3 1 6 + 4 2 9 . 7 5 2 B X i　唱名1 　 1 （d o）　4 0 0 　4 0 0 　3 9 3 . 4 7 2 2 　 2 （r e）　3 6 0 　3 6 2 . 2 8 9 　3 5 9 . 2 6 4 3 　 3 （m i）　3 2 4 　3 2 8 . 1 3 4 　3 2 7 . 1 2 8 4 　 4 （f a）　2 9 6 　2 9 7 . 1 9 8 　2 9 7 . 0 6 4 5 　 5 （s o l）　2 6 6 　2 6 9 . 1 8 0 　2 6 9 . 0 7 2 6 　 6 （l a）　2 4 0 　2 4 3 . 8 0 2 　2 4 3 . 1 5 2

7　 7（si）　216　220.817　219.304 8?。╠o）　200　200　197.528 9　（re）　180　181.144　177.824 10?。╩i）　162　164.067　160.192 11　（fa）　148　148.599　144.632 12?。╯ol）　133　134.590　131.144 13?。╨a）　120　121.901　119.728 14?。╯i）　108　110.409　110.354 15?。╠o）　100　100　103.112

以下我們再介紹一下方程式的出處。這里重點介紹一下B式導(dǎo)出的依據(jù)。上世紀(jì)七、八十年代，我在山西省電子工業(yè)廳計劃處工作時，曾代表電子系統(tǒng)參加過全省規(guī)劃的編制，當(dāng)時也曾是省計劃學(xué)會的會員，在工作中摸索出一種計算回歸的簡化方法，在實踐中得到了很好的應(yīng)用。之所以稱為簡化，是它不需要高深的數(shù)學(xué)，也不必用最小二乘法計算，運用簡便。該方法曾撰文在一九八八年《山西統(tǒng)計》第五期雜志上發(fā)表，該法建立在一個有規(guī)律變化的一組數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，見該刊第五頁圖一，設(shè)各組數(shù)據(jù)按y=f（x）的方程變化，按照這一規(guī)律，各組數(shù)據(jù)的方程式表達(dá)式為：

在該方程中，x1，x2，x3，…xm（橫坐標(biāo)）及y1，y2，y3，…ym（縱坐標(biāo)），作為已知數(shù)出現(xiàn)，而a，b，c，…等作為未知數(shù)參與運算，這樣方程式就可以建立起來了。其方程式可表達(dá)如下：

將（1.2）式中的m個方程等號兩邊各自相加，組合成數(shù)量大體相等或接近的3個方程式組。因為是非線性方程，所以三個未知數(shù)必須是三個方程，即按三個未知數(shù)列出以下的聯(lián)立方程，并求解。

最終運算結(jié)果為：

a=1.036

b=-37.316

c=429.752

將a，b，c代入方程則最終得到的方程式為：

該方程由于測量方法簡單，誤差不小，所以在音準(zhǔn)方面不一定準(zhǔn)確，但大致可以看出它們的相互關(guān)系。

通過以上的操作，讓我們領(lǐng)略到了音樂的奇妙，以及看到了音樂（如弦樂器）從它進入人類的生活、娛樂的初始，就有數(shù)學(xué)與之相隨了，對它的初探，只是起到一個拋磚引玉的作用，如果我們再進一步研究，將會有更新的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識。■