三次有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的拼接

張丹丹， 吳歡歡

(安徽廣播電視大學(xué) 安慶分校， 安徽 安慶　246001)

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三次有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的拼接

張丹丹， 吳歡歡

(安徽廣播電視大學(xué) 安慶分校， 安徽 安慶246001)

摘要：討論了三次有理Bézier曲線與帶一個(gè)形狀參數(shù)的HC-Bézier曲線的光滑拼接問(wèn)題，并給出了三次有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的G0、G1和G2光滑拼接的幾何條件.

關(guān)鍵詞：有理Bézier曲線；HC-Bézier曲線；形狀參數(shù)；拼接條件

0引言

隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展，原有的Bézier曲線[1]的方法已難以滿足人們對(duì)幾何造型的需求，于是科研人員開(kāi)始對(duì)帶形狀參數(shù)的Bézier曲線、曲面及它們間的光滑拼接問(wèn)題進(jìn)行研究.例如，胡鋼等[2]構(gòu)造了帶多形狀參數(shù)的三次擴(kuò)展Bézier曲線，并給出了曲線間的G1、G2和C1、C2拼接條件；楊林英等[3]討論了λαβ-Bézier曲線與三次Bézier曲線的拼接；孫潔保等[4]分析了TC-Bézier曲線及其曲線間的拼接條件；蘇本躍等[5]在雙曲函數(shù)空間中提出了雙曲多項(xiàng)式曲線HC-Bézier曲線.在此基礎(chǔ)上，本研究分析了三次有理Bézier曲線與帶一個(gè)形狀參數(shù)的HC-Bézier曲線的光滑拼接問(wèn)題，并討論了這2條曲線間的G0、G1和G2光滑拼接的幾何條件.

1有理Bézier曲線的定義

設(shè)控制頂點(diǎn)為Q0、Q1、Q2、Q3，三次有理Bézier曲線P(u)為，

u=[0,1],

式中，ωi(i=0,1,2,3)為對(duì)應(yīng)控制頂點(diǎn)的權(quán)因子，且ωi>0(i=0,1,2,3).

三次有理Bézier曲線端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢為，

P(0)=Q0，P(1)=Q3；

2HC-Bézier曲線的定義

設(shè)控制頂點(diǎn)為V0、V1、V2、V3，α是任意實(shí)數(shù)，且α>0，則曲線，

稱為三次HC-Bézier曲線.

令,β=1-cosh(α-t),γ=1-cosht，那么，

三次HC-Bézier曲線端點(diǎn)及端點(diǎn)切矢為，

R(0)=V0,R(1)=V1;

3Bézier曲線與HC-Bézier曲線的拼接條件

3.1G0光滑拼接

定理1三次有理Bézier曲線P(u)與三次HC-Bézier曲線R(t)的G0光滑拼接的充要條件是，Q3=V0.

證明兩曲線P(u)與R(t)的G0光滑拼接的充要條件是P(u)與R(t)具有公共連接點(diǎn)，即P(1)=R(0).

因?yàn)?P(1)=Q3,R(0)=V0.

所以，Q3=V0為三次有理Bézier曲線P(u)與三次HC-Bézier曲線R(t)的G0光滑拼接的充要條件，見(jiàn)圖1.

圖1有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的光滑拼接

3.2G1光滑拼接

定理2三次有理Bézier曲線與三次HC-Bézier曲線的光滑拼接的充要條件是：

1)Q3=V0;

2)存在δ>0,使得，

則曲線P(u)與曲線R(t)在公共連接點(diǎn)處G1光滑拼接.

證明兩曲線P(u)與R(t)在公共連接點(diǎn)處G1光滑拼接的充要條件首先是滿足G0條件，其次是兩曲線在公共連接點(diǎn)處具有公共的切矢方向.

1)G0光滑連接，已由定理1證明.

2)只需證明存在δ>0，使得，

P′(1)=δR′(0).

因?yàn)?

由條件2)知，存在δ>0,使得，

所以，

P′(1)=δR′(0).

則兩曲線P(u)與R(t)在公共連接點(diǎn)處G1光滑拼接，見(jiàn)圖2.

圖2有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的光滑拼接

3.3G2光滑拼接

定理3三次有理Bézier曲線P(u)與三次HC-Bézier曲線R(t)的G2光滑拼接的充要條件是，

1)Q3=V0.

2)存在δ>0,使得，

許多人都說(shuō)學(xué)習(xí)中醫(yī)需要悟性，成為名醫(yī)需要天賦[6]。殊不知這里所謂的悟性和天賦是在扎實(shí)的基本功基礎(chǔ)之上才能獲得的，是在對(duì)《內(nèi)經(jīng)》深刻感受的基礎(chǔ)上，獲得某種靈感，這種領(lǐng)悟能力能使人更容易接近事物，更容易在人的思維活動(dòng)中形成跳躍式的拓展，產(chǎn)生新穎的想法。正如《素問(wèn)·八正神明論》中所言“目明心開(kāi)而志先，慧然獨(dú)悟，口弗能言，俱視獨(dú)見(jiàn)，適若昏，昭然獨(dú)明，若風(fēng)吹云，故曰神?！薄秲?nèi)經(jīng)》教學(xué)最終應(yīng)該實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生通過(guò)廣博深厚的經(jīng)典知識(shí)積累，并立足臨床實(shí)踐，對(duì)臨床中的有關(guān)問(wèn)題鍥而不舍地追究深思，塑造真正具有中醫(yī)思維的中醫(yī)人。

3)存在h1、h2，使得，

式中，h1為點(diǎn)Q1到邊Q2Q3的距離,h2為點(diǎn)V2到邊V0V1的距離.

證明三次有理Bézier曲線P(u)與三次HC-Bézier曲線R(t)的G2光滑拼接, 條件1)、2)已由定理1、定理2證明.

此外，2條不同的曲線首末端點(diǎn)的一階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢應(yīng)滿足如下關(guān)系式，

化簡(jiǎn)得，

由定理2知，

P′(1)=δR′(0),

則，

又因?yàn)椋?/p>

于是有，

其中，h1為點(diǎn)Q1到邊Q2Q3的距離,h2為點(diǎn)V1到邊V0V1的距離.

則兩曲線P(u)與R(t)在公共連接點(diǎn)處G2光滑拼接，見(jiàn)圖3.

圖3有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的G2光滑拼接

4結(jié)語(yǔ)

Bézier曲線在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用，本研究討論了三次有理Bézier曲線與帶一個(gè)形狀參數(shù)的HC-Bézier曲線的光滑拼接問(wèn)題，并給出了三次有理Bézier曲線與HC-Bézier曲線的G0、G1和G2光滑拼接的幾何條件.該方法對(duì)曲線設(shè)計(jì)人員有一定的幫助，也可促進(jìn)對(duì)帶形狀參數(shù)的其他類型Bézier曲線拼接問(wèn)題的進(jìn)一步探討.

參考文獻(xiàn)：

[1]施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]胡鋼，張念娟，秦新強(qiáng)，等.帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光滑拼接[J].西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，25(4):482-486.

[3]楊林英，張貴倉(cāng).λαβ-Bézier曲線與三次Bézier曲線的拼接條件[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，55(11):621-623.

[4]孫潔保，江平，程彪，等.TC-Bézier曲線曲面拼接[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,25(3):39-43.

[5]蘇本躍，盛敏.基于雙曲函數(shù)的Bézier型曲線曲面[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2006,27(3):370-372.

Research on Smooth Connections Between Cubic Rational Bézier Curves and HC-Bézier Curves

ZHANGDandan，WUHuanhuan

(Anqing Campus, Anhui Open University， Anqing 246001, China)

Abstract:Research has been done on Bézier curves and surfaces with shape parameters and the smooth connections between them in computer aided geometric design (CAGD).This paper studies the technique of smooth connections between cubic rational Bézier curves and cubic HC-Bézier curves with a shape parameter and finally puts forward the geometrical conditions for the smooth connections between the cubic rational Bézier curves and cubic HC-Bézier.

Key words:rational Bézier curve;HC-Bézier curve;shape parameter;continuity condition

中圖分類號(hào)：TP391.72

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡(jiǎn)介：張丹丹(1984 — )， 女， 碩士， 講師， 從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)研究.

收稿日期：2016-01-15.

文章編號(hào)：1004-5422(2016)01-0041-03