具有非常數(shù)消耗率的單營養(yǎng)食物鏈2種群微生物模型定性分析

王永麗

(江蘇財會職業(yè)學院 基礎部， 江蘇 連云港　222061)

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具有非常數(shù)消耗率的單營養(yǎng)食物鏈2種群微生物模型定性分析

王永麗

(江蘇財會職業(yè)學院 基礎部， 江蘇 連云港222061)

摘要：假設被捕食者種群對營養(yǎng)基的增長率為μ1(s)=m1s2/(k1+s2)，捕食者種群對被捕食者種群的增長率為μ2(x)=m2x2/(k2+x2)，被捕食種群對營養(yǎng)基的消耗率參數(shù)為δ1=A+Bs，捕食種群對被捕食種群的消耗率參數(shù)為δ2=C+Dx.利用常微分方程的定性理論,分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，證明了系統(tǒng)存在正向不變集，得到非常數(shù)消耗率單食物鏈模型中2種微生物共存與微生物本身的參數(shù)及環(huán)境參數(shù)之間的關系.

關鍵詞：微生物；食物鏈培養(yǎng)；恒化器；平衡點的穩(wěn)定性；不變集

0引言

恒化器(Chemostat)是人工用于連續(xù)培養(yǎng)微生物的實驗裝置.Chemostat系統(tǒng)可以用來研究微生物種群在營養(yǎng)限制條件下的生長，其模型的研究對微生物的生產(chǎn)和污水處理等都有很重要的作用.目前，科研人員對Chemostat模型的研究已取得一定成果[1-8]，例如，龐國萍等[3]討論了單種微生物培養(yǎng)和單營養(yǎng)食物鏈2種微生物培養(yǎng)的全局穩(wěn)定性，劉婧等[4]對消耗率參數(shù)一次函數(shù)的單食物鏈模型進行了定性研究，凌志超等[5]討論了三維單食物鏈種群競爭模型系統(tǒng)解的穩(wěn)定性．在此基礎上，本研究主要考慮三維單食物鏈種群模型.假設：δ1=A+Bs,δ2=C+Dx，被捕食者種群對營養(yǎng)基的增長率μ1(s)=m1s2/(k1+s2)，捕食者種群對被捕食者種群的增長率為μ2(x)=m2x2/(k2+x2)，并對系統(tǒng)進行了定性分析.

1模型建立

單營養(yǎng)食物鏈的2種微生物培養(yǎng)是將有捕食與被捕食關系的2種微生物x、y混合在一個培養(yǎng)室，其中微生物x以營養(yǎng)基S作為營養(yǎng)物，x培養(yǎng)繁殖后，y又以x作為營養(yǎng)物.而微生物y和營養(yǎng)基S沒有直接的關系，S不直接作為y的營養(yǎng)物.其相應的模型系統(tǒng)為，

(1)

系統(tǒng)的初始條件為：s(0)=s0≥0,x(0)=x0≥0,y(0)=y0≥0，其中：s,x,y分別代表營養(yǎng)基和第1、2種微生物在t時刻的濃度；參數(shù)θ表示營養(yǎng)輸入輸出量；s0為供液源流中營養(yǎng)基的濃度；δ1=A+Bs,δ2=C+Dx分別代表捕食者微生物x,y對被捕食者s,x的消耗率.ki>0,mi>0(i=1,2)分別代表2種微生物x,y的半飽和常數(shù)和最大增長率.A、B、C、D均為正常數(shù).

(2)

系統(tǒng)(1)中，s(t)總不會比初始流入的供液中營養(yǎng)基的濃度s0大，因此系統(tǒng)(2)中，必有0

證明系統(tǒng)(2)的第2個方程中，

系統(tǒng)(2)的第3個方程中，

定理1表明，當微生物種群本身的參數(shù)最大增長率mi≤1(較小)或mi>1(較大)但半飽和常數(shù)ki≥(mi-1)也較大時，微生物種群不能存活.因此，為了使研究有意義，對微生物本身的參數(shù)做如下假設，mi>1且λi<1.

考慮系統(tǒng)(2)的平衡解，解方程組，

(3)

(4)

令，

(5)

系統(tǒng)(2)的線性化矩陣為，

證明系統(tǒng)(2)在E0處的線性化矩陣為，

系統(tǒng)(2)在E1處的線性化矩陣為，

在E1處的特征方程為，

設其根為，r1,r2,r3，其中,

特征根為，

系統(tǒng)(2)在E2處的線性化矩陣為，

在E2處的特征方程為，

r3+b1r2+b2r+b3=0

其中，

b1>0，b1b2-b3>0

(6)

時，由霍維茨判別法知，E2是穩(wěn)定的平衡點.

2結論

參考文獻：

[1]王文娟，馮曉梅，龔固斌.單種群時滯反饋控制生態(tài)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[J].中南林業(yè)科技大學學報，2011,31(4)：210-213.

[2]閻恩讓，王愛麗.具有三個成長階段的多種群捕食模型的全局穩(wěn)定性[J].福州大學學報(自然科學版)，2014,42(4)：514-518.

[3]龐國萍，陳蘭蓀.比例確定增長率Chemostat模型的全局穩(wěn)定性[J]．廣西師范大學學報(自然科學版)，2006,24(1)：37-40.

[4]劉婧,楊淑芹.恒化器中微生物連續(xù)培養(yǎng)單食物鏈模型的定性分析[J].大連海事大學學報，2004,30(3)：88-91.

[5]凌志超，張?zhí)焖?恒化器中一類具有非常數(shù)消耗率微生物培養(yǎng)模型的定性分析[J].上海理工大學學報，2012,34(4)：373-376.

[6]王暉，李冬梅，郭秀微.一類具有時滯的Lotka-Volterra捕食系統(tǒng)的持久性與全局穩(wěn)定性[J].哈爾濱理工大學學報，2009,14(6)：73-76.

[7]Li H Y,Zhang R.Stabilityandoptimalharvestingofadelayedratio-dependentPredator-preysystemwithstagestructure[J].J Biomath，2008,23(1)：40-52.

[8]劉三紅.一類具有時滯的恒化器模型的定性分析[J].佳木斯大學學報(自然科學版)，2012,30(2)：295-296.

Qualitative Analysis of Two Species Microbial Models with Non-constant Consumption Rate in Single-nutrition Food Chain

WANGYongli

(Department of Fundermentals, Jiangsu College of Finance and Accounting, Lianyungang 222061, China)

Abstract:It's assumed that the growth rate of the nutrition basis for the prey species is μ1(s)=m1s2/(k1+s2)，the growth rate for the prey species with respect to the predator species is μ2(x)=m2x2/(k2+x2),the consumption rate of the nutrition basis for the prey species is δ1=A+Bs，the consumption rate for the prey species with respect to the predator species is δ2=C+Dx.The paper analyzes the stability of equilibrium point by the qualitative theory of the ordinary differential equation,and proves that there exists a positive invariant set and finds the relationship between the coexistence of two microorganisms and the parameters of the microorganisms themselves as well as the environmental parameters in a single food chain model with a non-constant consumption rate.

Key words:microorganism;cultivation of food chain;chemostat;stability of equilibrium point;invariant set

中圖分類號：O175；Q141

文獻標志碼：A

作者簡介：王永麗(1982 — )， 女， 碩士， 講師， 從事生物數(shù)學研究.

收稿日期：2015-12-22.

文章編號：1004-5422(2016)01-0044-05