閆德明， 張桂霞

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.三門峽市湖濱區(qū)中等職業(yè)教育學(xué)校，河南 三門峽 472002)

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具任意正初始能量的記憶Mindlin-Timoshenko梁方程解的爆破

閆德明1， 張桂霞2

(1.河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.三門峽市湖濱區(qū)中等職業(yè)教育學(xué)校，河南 三門峽 472002)

摘要：研究了具記憶項的Mindlin-Timoshenko梁方程初邊值問題解的爆破性．利用改進的凸性方法給出了具任意正初始能量和適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，Mindlin-Timoshenko梁方程初邊值問題解的爆破性條件．

關(guān)鍵詞：Mindlin-Timoshenko梁方程；初邊值問題；記憶項；改進的凸性方法；爆破性

0引言

本文研究如下一類具記憶項的Mindlin-Timoshenko梁方程初邊值問題解的爆破性，

(1)

vtt-k(u+vx)x+vt=f2(u,v),0

(2)

u(0,t)=v(0,t)=u(l,t)=v(l,t)=0,t>0,

(3)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),0

(4)

v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),0

(5)

其中k>0為正常數(shù)，g是非負非增的記憶函數(shù)，u0,u1,v0,v1是給定的初始值，f1(u,v)，f2(u,v)是給定的非線性函數(shù)．當(dāng)記憶函數(shù)g=0和無阻尼項且非線性函數(shù)f1(u,v)=f2(u,v)=0時，方程(1)、(2)就是著名的Mindlin-Timoshenko梁方程[1](或Timoshenko梁方程)，

utt-uxx+k(u+vx)=0，

(6)

vtt-k(u+vx)x=0,

(7)

其中t表示時間變量，x表示位置變量，v表示梁的橫向位移,u是旋轉(zhuǎn)角．由于它的廣泛應(yīng)用，在過去的幾十年中，Timoshenko梁方程引起了人們的極大興趣．方程(6)、(7)在各種邊界條件下已經(jīng)被許多數(shù)學(xué)家研究過,關(guān)于其解存在性和能量衰減性也已經(jīng)有許多結(jié)果,這里不再列舉．RAPOSO等[2]利用半群理論研究了齊次Dirichlet邊界和兩個線性摩擦阻尼的方程(6)、(7),即

utt-uxx+k(u+vx)+ut=0，

vtt-k(u+vx)x+vt=0,

得到了其能量指數(shù)衰減性. SOUFYANE和WEHBE[3]則利用局部分布反饋研究了下述問題，

utt-uxx+k(u+vx)+b(x)ut=0，

vtt-k(u+vx)x=0,

其中b(x)是正且有非零下界的連續(xù)函數(shù),文獻[3]給出了其一致穩(wěn)定的充要條件. XU和YUNG[4]則對點點反饋利用特征值和特征函數(shù)得到了穩(wěn)定性.AMMAR-KHODJA等[5]則考慮了具記憶項的Timoshenko系統(tǒng)

vtt-k(u+vx)x=0，

他們在齊次邊界和g一致衰減情況下利用乘子技術(shù)得到了內(nèi)一致穩(wěn)定性. GUESMIA 和 MESSAOUDI[6]討論了類似的情況. SANTOS[7]則討論了類似的邊界記憶反饋的穩(wěn)定性. 最近, MESSAOUDI 和MUSTAFA[8]則對更一般的松弛函數(shù)改進了文獻[5]和文獻[6]的結(jié)果.此外,文獻[9]和文獻[10]還研究了具記憶歷史的問題

vtt-k(u+vx)x=0.

對于半線性Timoshenko系統(tǒng)，PARENTE等[11]在f(u),g(v)滿足局部Lipschitz連續(xù)條件下得到問題

utt-uxx+k(u+vx)+f(u)=0,

(8)

vtt-k(u+vx)x+g(v)=0,

(9)

解得存在唯一性．ARARUNA 等[12]研究了問題(8)，(9)還有邊界阻尼時，利用Fadeo-Galerkin方法證明了問題強解和弱解的存在唯一性以及弱解的指數(shù)衰減估計．在多維情況下, CHUSEHOV和LASIECKA[13]研究了二維情況下f(u)，g(v)局部Lipschitz連續(xù)時，問題的緊整體吸引子的存在性．GORGI 和VEGNI[14]提出了如下Dirichlet 邊界和記憶項時Timoshenko系統(tǒng),

vtt-k(u+vx)x=g(v),

他們得到了解得衰減估計和吸收集的估計.

然而，據(jù)筆者所知，很少有人研究該類帶有源項的Timoshenko系統(tǒng)解的不存在性．最近，PEI 等人[15]利用位勢井理論研究了Reissner Mindlin-Timoshenko板系統(tǒng)解的整體適定性和長時間行為，他們主要聚焦于非線性阻尼項和源項的相互作用問題．

本文將研究帶有記憶項和源項的Mindlin-Timoshenko系統(tǒng)整體解的不存在性．我們將利用源于LEVINE[16]的修正的凸性方法,該方法由KORPUSOV[17]提出并用于證明Klein-Gordon方程解的不存在性．本文將其用于帶有記憶項和源項的Mindlin-Timoshenko系統(tǒng)．這時出現(xiàn)的困難是對記憶項的要求以及出現(xiàn)的范數(shù)‖u+vx‖如何處理，為此給出了g滿足的一個不等式和一個等價不等式，從而證明了任意初始能量解的爆破問題．

1準(zhǔn)備知識

本文對記憶函數(shù)g和非線性函數(shù)f1(u,v)，f2(u,v)假設(shè)如下:

H2)存在連續(xù)函數(shù)F(u,v)≥0以及常數(shù)p>2,使得對任意u,v∈R,有

H3) 存在常數(shù)d>2,使得對任意u,v∈R,有

|f1(u,v)|≤d(|u|m+|v|m),|f2(u,v)|≤d(|u|m+|v|m).

顯然滿足假設(shè)的函數(shù)g和非線性函數(shù)f1(u,v)，f2(u,v)是存在的.

其中

以及

最后，給出證明主要結(jié)論需要的引理．

引理1[17]假設(shè)Φ(t)∈C2([0,T))并滿足如下不等式

(10)

(11)

2解的爆破

主要結(jié)論如下.

定理1設(shè)u是問題(1)～(5)的局部解, 假設(shè)H1)～H3)成立，

(12)

E(0)>0,

證明 記J(t)=‖ut‖2+‖vt‖2.方程(1)兩邊同乘u,方程(2)兩邊同乘v,二者相加后在[0,l]上積分,并利用分部積分得

(13)

注意到

其中δ>0，則(13)變?yōu)?/p>

(14)

類似地，方程(1)兩邊同乘ut,方程(2)兩邊同乘vt,二者相加后在[0,l]上積分,并利用分部積分得

(15)

注意到

則(15)變?yōu)?/p>

(16)

得

(17)

(14)結(jié)合(17)得

(18)

于是由(18)得不等式

(19)

又根據(jù)Cauchy-Schwartz不等式,

(20)

這時,時間T滿足T≤Φ(2-p)/4(0)A-1且

(21)

其中

Φ(0)=‖u0‖2+‖v0‖2,Φt(0)=2(u0,u1)+2(v0,v1),

(22)

注:使得(21)和(22)成立的條件是能夠保證的.

參考文獻

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[18] WLOKA J. Partial Differential Equation[M]. London： Cambridge University Press, 1987:1-10.

Blow up for Mindlin-Timoshenko Beam Equation with Memory and Arbitrary Positive Initial Energy

YAN Deming1, ZHANG Guixia2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China; 2.SanmenxiaHubinSecondaryVocationalSchool,Sanmenxia472002,China)

Abstract:Concerning one-dimensional Mindlin-Timoshenko model for beam with linear damping and memory terms. By the modified convexity method, a blow-up result for the solution to the Mindlin-Timoshenko system is obtained under arbitrary positive initial energy and appropriate initial datum.

Key words:Mindlin-Timoshenko beam equation; initial boundary value problem; memory；improved convexity method; blow up

中圖分類號：O172.27

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)01-0001-05

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.001

作者簡介：閆德明(1972—)，男，河南西華人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，博士，主要研究方向: 微分方程.

基金項目：河南省基礎(chǔ)與前沿研究項目(1323004100360)

收稿日期：2015-11-09