童姍姍， 朱玉清， 連冬艷

(南陽理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 南陽 473004)

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教學實例的線性代數(shù)課程教學方法探討

童姍姍， 朱玉清， 連冬艷

(南陽理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 南陽 473004)

摘要：基于教學實踐中的已取得良好成效的教學實例，針對傳統(tǒng)線性代數(shù)教學過程中的弊端，從3個方面進行教學方法的改革探索：①歸類記憶法，包括形式歸類、內容歸類、方法歸類，實現(xiàn)“知其一而知其他”，減輕學生記憶負擔；②寓教于樂，觀察抽象概念的語言敘述特征和符號表示特征，通過聯(lián)想、比喻、擬人方法化抽象為形象，挖掘數(shù)學內涵美，調動學生學習興趣；③編輯邏輯主線，把“線”交給學生，使其“順藤摸瓜”，體驗自己挖掘知識的快樂，培養(yǎng)學生的論證能力和推理能力．

關鍵詞：教學實踐；線性代數(shù)；歸類記憶；寓教于樂；邏輯主線

0引言

線性代數(shù)作為理工科學生的必修基礎課程，其知識結構的嚴密邏輯性、連貫性、實用性為其他專業(yè)課的學習提供了重要的奠基作用，有助于培養(yǎng)學生科學的邏輯思維能力，是一門不可或缺的工具課程．但是由于線性代數(shù)課程的抽象性和學時的有限性，傳統(tǒng)的教學方法使學生常常苦惱于理不清學習頭緒，甚至視線性代數(shù)為“枯燥無味”的代名詞，導致不夠積極主動，沒有學習興趣．因此如何改革本課程的教學方法，充分激發(fā)學生的學習興趣，使學生在線性代數(shù)的海洋里輕松暢游，進而提高教學效果，是教學研究中亟待解決的問題．筆者根據(jù)課程的結構特征，結合其他先進教學實踐，經過長期的認真思考，總結了自己的一些教學方法．

1歸類記憶，減輕記憶負擔

線性代數(shù)課程大多開課于第二學年，正是學生開始專業(yè)課的學習時期，學習時間較為緊張，而作為公共基礎課程，知識材料的大量積累使學生有不勝負荷的心理，因此怎樣使學生利用最短的時間攝取最大量的知識要點，是教學中首要考慮的問題．記憶是學習的重要任務，瑣碎、繁多的數(shù)學概念、性質、定理、推論、步驟是輕松快速記憶的“天敵”，故應該授予學生有效的記憶方法，縮短學習時間，消除學生對記憶的畏懼心理，從而提高理解力和記憶效率．

歸類法是所有記憶方法的基礎．學生往往對零散的知識沒辦法，記住這個，就忘了那個，翻來覆去，在腦海中也沒留下什么，即使記住了，保持的時間也很短，到底什么樣的知識結構能讓學生樂于接受，并且能在其腦海中留下深刻痕跡呢？無疑是具有形態(tài)的知識結構，即通過帶領學生對瑣碎知識進行觀察、比較來組織知識模塊，從而達到“知其一而知其他”的學習效果．當然，在學習與復習中對不同種類的知識點的記憶要用不同的歸類方法．結合案例，下面談談如何運用歸類法展開線性代數(shù)[1]課程的教學實踐.

1.1形式歸類

形式歸類即根據(jù)模式直觀找到不同概念之間的聯(lián)系[2]，從而對數(shù)學概念知識模塊進行歸類，這種方法是最為直接有效的． 例如學習完矩陣乘法、轉置、方陣的行列式、逆矩陣后，對這些概念的性質進行梳理就可找到它們之間的聯(lián)系．

1.2內容歸類

內容歸類是指根據(jù)語言符號系統(tǒng)的特點將同一概念所對應的不同問題系統(tǒng)化，排列整齊，方便學生提?。畠热輾w類往往可以用圖表等直觀的形式表示出來，一目了然，避免了雜亂無章．例如對于求抽象矩陣的特征值與特征向量，設λ是n階方陣A的特征值，非零向量q是方陣A對應于特征值λ的特征向量，則有

1)kλ是方陣kA的特征值，且q是方陣kA對應于kλ的特征向量；

3)λm是方陣Am的特征值，且q是Am對應于λm的特征向量；

4)φ(λ)=a0+a1λ+…+amλm是矩陣φ(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值，且q是φ(A)對應于φ(λ)的特征向量；

以上內容可歸類如表1所示.

表1　抽象矩陣的特征值與特征向量

1.3方法歸類

求方陣特征值與特征向量、矩陣的對角化(求可逆矩陣)、實對稱矩陣的對角化(求正交矩陣)、正交變換法化二次型為標準型的計算步驟[3]聯(lián)系緊密，極易混淆．方陣特征值與特征向量的計算是矩陣對角化、實對稱矩陣對角化、正交變換法化二次型為標準型的基礎，但是后三者不需要全部的特征向量；矩陣對角化過程需要先判斷是否可對角化，若可對角化，才可以構造出可逆矩陣；實對稱矩陣一定可以對角化，所以無需判斷，但是需要將特征向量進行正交規(guī)范化；正交變換法化二次型為標準型與實對稱矩陣對角化(求正交矩陣)是同一問題的兩種不同提法，解法基本相同，只是前者計算過程的最后需寫出標準型，如果不將這4個問題的計算步驟之間的聯(lián)系區(qū)分清楚，學生會經常犯以下錯誤：

1)求方陣特征值與特征向量過程中，沒有寫出基礎向量的線性組合形式，即沒有給出各個特征值的全部特征向量；

2)實對稱矩陣對角化過程中，沒有對特征向量進行正交規(guī)范化就構造矩陣；

3)視矩陣對角化(求可逆矩陣)與正交變換法化二次型為標準型為同一問題的兩種不同提法；

4)正交變換法化二次型為標準型過程中，最后沒有給出二次型的標準型．

為了避免上述錯誤，考慮制作一個關于這4個問題的計算方法流程圖，讓學生體會這4種計算的聯(lián)系和區(qū)別，同時也培養(yǎng)了學生比較、分類、歸納的學習能力．歸類要注意完整性和標準多樣性，要明確歸類的目的和方向，避免不同類知識材料相互干擾，保證學生體會到化繁為簡的思想，這就要求教師查閱豐富的相關資料，仔細整合，再確定具體歸類的模塊．再者，歸類要結合各個班級學生的水平，需要根據(jù)學生的實際學習情況來確定，不同的學習程度要制訂不同的歸類方案．最后，授人以魚不如授人以漁，教師要把好本領傳授給學生，培養(yǎng)學生歸納知識的能力，從而實現(xiàn)教學相長，提高自己的教學水平和學生的學習效率(圖1)．

圖1　計算方法流程圖Fig.1　Flow chart of calculation method

歸類法可以使學生理清思路，抓住重點，從繁雜的記憶信息庫搜索中贏得時間，故成為大多數(shù)學生喜歡的一種記憶方法，筆者在歸類教學實踐中也獲得了較好的教學效果．

2寓教于樂，體現(xiàn)數(shù)學的內涵美

教學中為避免枯燥、繁瑣等數(shù)學印象對學生的影響，可以嘗試采用與生活常識緊密相關的教學方法來表達抽象的數(shù)學概念．觀察教材中的概念特征(包括符號特征、語言敘述特征)，通過聯(lián)想、比喻、擬人手法使數(shù)學中干巴巴的公式和枯燥的語言敘述生動起來，挖掘數(shù)學的內涵美，寓教于樂，令學生感受到數(shù)學與生活在理念上的聯(lián)系，從而調動學生的學習興趣，使學生快速、牢固地理解和掌握相關抽象概念．在高等數(shù)學中就有一個很生動的例子，例如無窮小量乘以無窮小量、有界量結果是無窮小量；無窮小量乘以無窮大量的結果可能是無窮小量、無窮大量或有界量.對此可以形象寓意為：很少或有限的努力(無窮小量乘以無窮小量、有界量)是不會達到成功的(結果是無窮小量)，想要成功(得到無窮大量)必須付出足夠大的努力(無窮小量乘以無窮大量)，但也要有承擔失敗的勇氣(結果可能為無窮大量，也可能為無窮小量、有界量).如此對抽象結論賦予了通俗的生活哲理，一方面使數(shù)學概念形象起來，學生就樂于去對知識進行再認識，提高記憶品質；另一方面，讓學生體會到了數(shù)學的內涵美，教育學生要發(fā)奮努力，對任何事情要有持之以恒的態(tài)度．以下還有幾個生動的例子：

例1對矩陣乘法Cm×n=Am×sBs×n的乘法規(guī)則討論．

1)可乘性：左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)，聯(lián)想到趙迎歌曲“手牽手，一起走”．

2)乘積矩陣形狀：行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)，聯(lián)想到廣告詞“伸出你我的手，共筑美好未來”．

3)乘積矩陣元素：第i行第j列元素cij等于左矩陣第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和．這個過程就可比喻為：一個人在人生的每一個階段(A的每一行)都要完成所有必要完成的事情(B的所有列)，才能鑄就最完整的人生(乘積矩陣C)．

例2區(qū)分余子式(代數(shù)余子式)、r階子式、順序主子式．

余子式(代數(shù)余子式)、r階子式、順序主子式[4]這3個概念的定義非常相似，都是對矩陣進行行、列及元素取舍后得到的行列式，取舍的部位不同，得到的結果就不同．學生在用到這3個概念時，經常分不清，這里，可以把矩陣看作一塊豆腐，教會大家“切豆腐”的方法：

1)切兩刀，取豆腐，舍刀痕，得到的就是余子式(代數(shù)余子式)；

2)切r刀，取刀痕，舍豆腐，得到的就是r階子式；

3)切兩刀，只取左上角的那塊方形豆腐，得到的就是順序主子式．

例3行列式按行(列)展開的這節(jié)中有兩個重要結論，一是定理(行列式按行(列)展開法則)：n階行列式D=det(aij)等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和；二是推論：行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0．即

由于兩個結論的語言敘述和符號表示形式很相似，導致有許多同學把這兩個結論記反，即n階行列式D=det(aij)等于它的任一行(列)的各元素與另一行(列) 對應元素的代數(shù)余子式乘積之和；行列式的某一行(列)的元素與其對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0．為了避免這種錯誤，觀察、揣摩其中的語言敘述和符號表示的特點，可以分別賦予這兩個結論這樣的寓意：定理說明一個人只有專注努力自己的目標(任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式相乘)，才能獲得最圓滿的結果(乘積之和等于行列式的值)；推論說明一個人如果只想窺探他人的所得(某一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數(shù)余子式相乘)，最終只會落得兩手空空(乘積之和等于0)．

這種教學方法可以化抽象為形象，創(chuàng)造和諧輕松的學習氛圍，使抽象的線性代數(shù)課程充滿趣味，調動學生的學習熱情和興趣，提高記憶的持久性．將教學美育的思想滲透到教學中，對學生學習抽象的數(shù)學提供了輔助作用，可在一定程度上推進教學改革，但是要避免過于感性，導致錯誤．

3編織邏輯主線，順藤摸瓜

線性代數(shù)的概念之間聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，因此在教學過程中，摸清知識的“脈搏”就很重要，即把已學過與即將學到的單元知識有機組合起來，編織邏輯主線，構建知識脈絡，方便學生快速有效地了解各個章節(jié)之間的聯(lián)系，然后順藤摸瓜，在嚴謹?shù)倪壿嬎季S藤上摘下一堆堆知識的果實．

例5矩陣的運算規(guī)律相對于數(shù)的運算規(guī)律，最大的不同點在于矩陣的乘法運算不滿足交換律和消去律，即AB=BA不一定成立；AB=AC且A≠O不能推出B=C；AB=O不能推出A=O或B=O．通過舉例說明，可以充分證實這些結論，接下來留給學生問題：在什么條件下，這些不成立的就能變成成立的呢？

引入逆矩陣后，若矩陣A可逆，則存在逆矩陣A-1，滿足“AA-1=A-1A=E”，即一個可逆矩陣與其逆矩陣是滿足乘法交換律的，且對于“AB=AC”和AB=O”，在其左右兩邊同時左乘A-1，就可以分別實現(xiàn)“B=C”和“A=O或B=O”，因此得出新的結論，即AB=AC且A可逆?B=C；AB=O且A可逆?A=O或B=O．接下來再考慮：如果矩陣不是方陣，需要滿足什么條件時可實現(xiàn)“B=C”和“A=O或B=O”呢？

這個教學過程不僅是編織邏輯主線的過程，也是一個邏輯論證的過程，使學生體驗到自己挖掘到知識的快樂，在很大程度上培養(yǎng)了學生的論證能力和推理能力．

4結束語

總之，線性代數(shù)教學中，應該細心觀察，挖掘合適教學素材進行歸類記憶教學、美育教學，編輯邏輯主線以提高教學效率[6]，多角度培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，實現(xiàn)減輕記憶負擔、寓教于樂、順藤摸瓜的教學效果．

參考文獻

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[2]張廣祥,張奠宙.代數(shù)教學中的模式直觀[J].數(shù)學教育學報,2006,15(1):1-4.

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[6]李曦.工科院校線性代數(shù)教學改革的探索與實踐[J].中國校外教育,2011 (8):133.

Exploration on Teaching Method of Linear Algebra Based on Teaching Practice

TONG Shanshan， ZHU Yuqing， LIAN Dongyan

(SchoolofMathematicsandStatistics，NanyangInstituteofTechnology，Nanyang473004，China)

Abstract:Based on the teaching instance that has made good effectiveness of teaching instance, aiming at the disadvantages of traditional teaching process, the reform of teaching methods is explored in three aspects. The first is classification memory method, including form classification, content classification and method classification, whose aim is to achieve “know one of and known other” and to reduce the students’ burden of memory; the second is entertainment: observing the abstract concept of language features and symbolic representation characteristic, transforming the abstract concept into image description by association, metaphor, personification method to mine the mathematical beauty of connotation and arouse the students’ interest in learning; the third is editing the logic thread: putting the “l(fā)ine” to students for tracking by clues and experiencing the happiness of getting knowledge personally to cultivate students’ argumentation and reasoning ability.

Key words:teaching practice; linear algebra; classified memory; edutainment; logic thread

中圖分類號：G642.4

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)01-0065-05

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.015

作者簡介：童姍姍(1986—)，女，河南南陽人，南陽理工學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教師．

基金項目：河南省科技攻關計劃項目(122102210060)；南陽理工學院教學改革專項研究項目(NIT2013BK-09)；南陽市科技計劃項目(RKX06)

收稿日期：2015-09-26