淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算

張菊

摘 要：分析多個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程用對應(yīng)法則分析方法，能快速且準(zhǔn)確地分析出多個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，從而準(zhǔn)確求導(dǎo)。這種找對應(yīng)法則的分析方法對大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容能起到相當(dāng)重要的作用，使教師取得令人滿意的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；復(fù)合過程；對應(yīng)法則；變量；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：013 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 收稿日期：2016-01-05

一、復(fù)合函數(shù)的定義

高等數(shù)學(xué)教材對復(fù)合函數(shù)是這樣定義的：設(shè)y=f （u），其中u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定義域內(nèi)，則稱y=f [φ（x）]為x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。對于復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的分析，分析只有一個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)很簡單，難度大的是如何正確分析有多個(gè)中間變量的多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。對于多重復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程的分析，關(guān)鍵要準(zhǔn)確找出多重復(fù)合函數(shù)的中間變量的包含關(guān)系，關(guān)于這一點(diǎn)，教材中沒有給出明確具體的分析思路，不少學(xué)生上完這節(jié)內(nèi)容，腦子里還是模模糊糊的，似懂非懂，不能完全理解。實(shí)際上，復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程有其內(nèi)在的規(guī)律，即其自變量、因變量和中間變量之間互相牽制、相互制約，并呈相互依賴關(guān)系。了解了復(fù)合函數(shù)中各變量之間的這種特點(diǎn)，正確分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程就變得輕而易舉。以下通過分析復(fù)合函數(shù)各變量之間的依賴制約關(guān)系，來探討復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的分析方法。

二、復(fù)合函數(shù)的分解過程

復(fù)合函數(shù)始終是由多個(gè)基本初等函數(shù)構(gòu)成，如函數(shù)的“三要素”（定義域、值域、對應(yīng)法則）。我們知道，只要準(zhǔn)確找出復(fù)合函數(shù)中的對應(yīng)法則，準(zhǔn)確分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是很容易的。分析復(fù)合函數(shù)復(fù)合關(guān)系的一般方法是：從外向里，找準(zhǔn)最外面的基本初等函數(shù)的對應(yīng)法則，一層一層向里推進(jìn)，直至找到自變量的基本函數(shù)的對應(yīng)法則為止。例如：y=tan2（1+2x2），可以先轉(zhuǎn)化成y=[tan（1+2x2）]2，最外層的應(yīng)該是冪函數(shù)的平方，即可設(shè)為y=u2，u=tan（1+2x2），對于u=tan（1+2x2），最外層的應(yīng)該是三角函數(shù)中的正切函數(shù)，即可設(shè)為u=tanφ，φ=1+2x2，此時(shí)φ表示的函數(shù)是x的基本初等函數(shù)，到此分析完成。從以上分解過程來看，這個(gè)復(fù)合函數(shù)分解如下。

本文淺析了多個(gè)復(fù)合函數(shù)的對應(yīng)法則分析方法，教學(xué)實(shí)踐證明，用對應(yīng)法則分析復(fù)合過程的方法是行得通的，能幫助剛接觸求導(dǎo)運(yùn)算的大一新生更快、更準(zhǔn)確地找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，更好地理解自變量和函數(shù)的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]畢燕麗.高等數(shù)學(xué)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2008.

[2]趙瑛.淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則[J].電大理工，2008，（4）：73-74.