高速鐵路軌道檢測(cè)的橫向偏差算法研究

李陽(yáng)騰龍，岑敏儀，白 璇，易思蓉

(西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

客運(yùn)專線列車的高速運(yùn)行要求軌道具有高平順性，軌道幾何狀態(tài)的平順性檢測(cè)和評(píng)價(jià)主要由軌道測(cè)量?jī)x[1,2]完成。軌道測(cè)量?jī)x通過(guò)同時(shí)獲取軌道里程、軌距、超高、扭曲等相關(guān)幾何尺寸和空間三維信息，評(píng)價(jià)軌道的短波(10 m弦)、中波(30 m弦)和長(zhǎng)波(300 m弦)等平順性指標(biāo)，是高速鐵路軌道施工精調(diào)和運(yùn)營(yíng)維護(hù)中軌道靜態(tài)檢測(cè)的計(jì)量工具和重要設(shè)備。目前，無(wú)論國(guó)外引進(jìn)還是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)，軌道測(cè)量?jī)x檢測(cè)軌道數(shù)據(jù)的處理方法尚未完全公開，為滿足我國(guó)高速鐵路建設(shè)和運(yùn)營(yíng)維護(hù)的需要，文獻(xiàn)[3-5]進(jìn)行了有益的研究探討。為確保上道檢測(cè)軌道計(jì)量工具的精確度，需要通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)軌道檢驗(yàn)場(chǎng)的方式檢測(cè)軌道測(cè)量?jī)x，分析其檢測(cè)軌道的精度[6]。軌道平順性評(píng)價(jià)主要包括短波、中波和長(zhǎng)波指標(biāo)，其優(yōu)劣直接影響到軌道的空間位置定位精度。平面平順性評(píng)價(jià)模型的核心是橫向偏差，它是軌道測(cè)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)的水平距離，可通過(guò)軌道點(diǎn)實(shí)測(cè)坐標(biāo)值與其對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)設(shè)計(jì)坐標(biāo)值計(jì)算獲得[7,8]。

軌道測(cè)點(diǎn)的橫向偏差在直線段的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，可通過(guò)平面解析幾何中點(diǎn)到直線距離的數(shù)學(xué)模型[9]求得軌道點(diǎn)到線路中線的橫向偏差。鐵路曲線包含緩和曲線和圓曲線，曲線方程較直線段復(fù)雜，精確確定曲線段軌道測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中線點(diǎn)到曲線起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)，才能精確確定中線點(diǎn)坐標(biāo)值，從而準(zhǔn)確計(jì)算橫向偏差。因此，確定鐵路曲線段軌道測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)到曲線起點(diǎn)的長(zhǎng)度，是高效、精確確定軌道檢測(cè)點(diǎn)橫向偏差及其平面平順性的基礎(chǔ)。

快速精確獲取地面任意測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)線路中線點(diǎn)到曲線起點(diǎn)長(zhǎng)度的算法，在線路施工放樣中應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)[10]針對(duì)傳統(tǒng)逐漸趨近法計(jì)算速度慢、誤差大的缺點(diǎn)提出截面二點(diǎn)解析法，可求解線路放樣中加樁的里程，提高計(jì)算精度。文獻(xiàn)[11]提出首先判斷加樁位置、滿足法線方位角與切線方位角垂直條件的逐步搜索算法，它僅需加樁坐標(biāo)，即可確定加樁對(duì)應(yīng)中線的里程，算法簡(jiǎn)單、方便高效。文獻(xiàn)[12，13]在上述算法基礎(chǔ)上改進(jìn)，提出以緩和曲線上任意點(diǎn)處法線與切線斜率的乘積等于-1為約束條件，建立牛頓法數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提高求解緩和曲線上中線加樁里程的速度和精度。文獻(xiàn)[14]通過(guò)構(gòu)造距離微分函數(shù)，用牛頓法求解緩和曲線段中樁里程。文獻(xiàn)[15，16]提出通過(guò)復(fù)合Simpson公式，計(jì)算測(cè)點(diǎn)到設(shè)計(jì)點(diǎn)法線的垂直距離，迭代修正曲線長(zhǎng)，獲取測(cè)點(diǎn)橫向偏差。

在高速鐵路軌道平順性檢測(cè)中，鐵路曲線半徑大，軌道測(cè)點(diǎn)密集、量大且與設(shè)計(jì)中線偏差小，檢測(cè)精度要求高，因此對(duì)計(jì)算橫向偏差的精度和效率要求嚴(yán)格。為檢驗(yàn)軌道測(cè)量?jī)x檢測(cè)精度和性能而建立的標(biāo)準(zhǔn)軌道檢驗(yàn)場(chǎng)，也需要選取最優(yōu)橫向偏差算法。因此，有必要對(duì)線路橫向偏差計(jì)算方法進(jìn)行研究，以提高高速鐵路軌道平順性精密檢測(cè)的可靠性和實(shí)用性。

1 縱向偏差模型算法

設(shè)轉(zhuǎn)向角右偏的鐵路，其緩和曲線長(zhǎng)為l0，圓曲線半徑為R。實(shí)測(cè)點(diǎn)Mi與對(duì)應(yīng)線路中線點(diǎn)Ni的關(guān)系如圖1所示。圖1中，點(diǎn)S、點(diǎn)E分別為實(shí)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)所在曲線區(qū)間的起終點(diǎn)；Di為點(diǎn)Mi與Ni的平面最短間距；li為點(diǎn)Ni到曲線區(qū)間起點(diǎn)S的弧長(zhǎng)。

圖1 實(shí)測(cè)點(diǎn)與中線點(diǎn)關(guān)系圖

該算法[15,16]將實(shí)測(cè)點(diǎn)Mi對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)Ni的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)Ni到曲線起點(diǎn)S弧長(zhǎng)li的復(fù)化辛普森公式函數(shù)，并迭代計(jì)算Mi到Ni法線的垂距，直到垂距小于某設(shè)定閾值時(shí)，獲得Mi對(duì)應(yīng)的線路中線點(diǎn)Ni，此時(shí)Mi與Ni的水平距離Di即是Mi的橫向偏差。

中線點(diǎn)Ni坐標(biāo)關(guān)于弧長(zhǎng)li的復(fù)化Simpson公式為

( 1 )

式中：(XS，YS)為曲線區(qū)間起點(diǎn)S的坐標(biāo)；M為點(diǎn)到曲線元起點(diǎn)弧長(zhǎng)li的積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)；αS、αE分別為點(diǎn)S、點(diǎn)E的方位角；α(l2j)、α(l2j-1)為分段節(jié)點(diǎn)的方位角，見(jiàn)式( 2 )。

( 2 )

根據(jù)式( 1 )和式( 2 )可以看出，點(diǎn)到曲線元起點(diǎn)的弧長(zhǎng)li在積分過(guò)程中被分成了M段，不同的M值對(duì)積分結(jié)果精度明顯存在影響，因此，在算法精度分析時(shí)，需要考慮M取值與計(jì)算結(jié)果之間的關(guān)系。

上述模型被稱為具有復(fù)化辛普森法則的縱向偏差模型，通過(guò)該模型計(jì)算線路中線里程和橫向偏差的縱向偏差模型算法(Lateral Deviation Algorithm of Composite Simpson，LDACS)描述如下：

2 距離函數(shù)模型算法

設(shè)有右轉(zhuǎn)鐵路，圓曲線半徑為R，緩和曲線長(zhǎng)為l0，如圖2所示。

圖2 中線偏差示意圖

以ZH點(diǎn)為原點(diǎn)，切線方向?yàn)閤軸，垂直切線方向指向圓心為y軸，建立左手直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱切線坐標(biāo)系。圖2中，測(cè)點(diǎn)Mi與對(duì)應(yīng)線路中線點(diǎn)Ni的距離Di在過(guò)Ni點(diǎn)切線上投影長(zhǎng)為縱向偏差，在垂直于Ni切線方向上投影長(zhǎng)為橫向偏差。測(cè)點(diǎn)Mi對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)Ni在緩和曲線上的切線坐標(biāo)[17,18]為

( 3 )

式中：C=Rl0；li為中線點(diǎn)Ni到ZH(HZ)點(diǎn)曲線長(zhǎng)。

測(cè)點(diǎn)Mi對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)Ni在圓曲線的切線坐標(biāo)[17]為

( 4 )

式中：αi=180°(li-l0)(Rπ)-1+β0。

如圖2所示，設(shè)切線坐標(biāo)系中測(cè)點(diǎn)Mi(xMi,yMi)與中線點(diǎn)Ni(xNi,yNi)的距離

( 5 )

距離函數(shù)模型算法(Distance Function Model Algorithm，簡(jiǎn)稱DFA)原理是當(dāng)測(cè)點(diǎn)Mi與Ni距離最短時(shí)，Ni點(diǎn)即為Mi對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)，其里程即為測(cè)點(diǎn)Mi對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)里程。它把求取軌道測(cè)點(diǎn)Mi的橫向偏差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)點(diǎn)Ni的曲線長(zhǎng)li使Ni與測(cè)點(diǎn)Mi最近。

2.1 緩和曲線段

牛頓迭代公式

( 6 )

將式( 3 )簡(jiǎn)化并代入式( 5 )中，得到關(guān)于緩和曲線長(zhǎng)li的函數(shù)f(li)，分別求其對(duì)li的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，并代入式( 6 )中，有

( 7 )

2.2 圓曲線段

將式( 4 )代入式( 5 )中，得到曲線長(zhǎng)li的函數(shù)f(li)，求f(li)對(duì)li的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，有

mcosαi-xMicosαi+Rsinαi+
psinαi-yMisinαi=0

( 8 )

整理得測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線長(zhǎng)

( 9 )

根據(jù)式( 3 )及滿足閾值條件的式( 7 )或者式( 4 )及式( 9 )，可計(jì)算緩和曲線或圓曲線上Mi的橫向偏差

(10)

3 法切線垂直模型算法

法切線垂直模型算法(Normal Perpendicular to Tangent Model Algorithm，NPTA)的原理是曲線上任意點(diǎn)的法線與過(guò)該點(diǎn)的切線相互垂直，且測(cè)點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)的法線上。

3.1 緩和曲線段

根據(jù)文獻(xiàn)[12,13]中的法線與切線垂直函數(shù)模型，可用牛頓法求解測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)緩和曲線長(zhǎng)，再由式( 3 )和式(10)計(jì)算測(cè)點(diǎn)橫向偏差。

3.2 圓曲線段

根據(jù)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)中線點(diǎn)處法線與切線垂直的原理，存在以下關(guān)系

(11)

對(duì)式( 5 )求曲線長(zhǎng)li的一階偏導(dǎo)后，代入式(11)中整理得式( 9 )，即法切線垂直模型與距離函數(shù)模型在圓曲線段處求解測(cè)點(diǎn)Mi的橫向偏差fh算式相同，因此，兩種模型算法計(jì)算圓曲線段的結(jié)果等價(jià)。

現(xiàn)給出距離函數(shù)模型算法(簡(jiǎn)稱DFA)和法切線垂直模型算法(簡(jiǎn)稱NPTA)的步驟：

(1)判斷點(diǎn)Mi的位置(a=第1緩和曲線段；b=圓曲線段；c=第2緩和曲線段)；

(2)將點(diǎn)Mi的測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到以ZH(HZ)為原點(diǎn)的切線坐標(biāo)系，得Mi(xMi,yMi)；

(5)式( 3 )及滿足閾值條件的式( 7 )、式( 4 )及式( 9 )，根據(jù)式(10)計(jì)算其橫向偏差fh。

4 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述三種算法計(jì)算里程及橫向偏差的可行性，分別對(duì)①R=1 000 m，l0=70 m；②R=3 500 m，l0=380 m；③R=5 500 m，l0=280 m三段鐵路線路中線進(jìn)行仿真試驗(yàn)，采樣間隔取為0.625 m，分別在各中線點(diǎn)平面坐標(biāo)上隨機(jī)加入-15～15 mm的橫向偏差。

4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

(1)試驗(yàn)1

為驗(yàn)證三種算法的計(jì)算效率，試驗(yàn)分別對(duì)各算法完成線路中線點(diǎn)里程和橫向偏差的計(jì)算時(shí)間做1 000次統(tǒng)計(jì)。由于LDACS算法計(jì)算精度與復(fù)化辛普森積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M的取值有關(guān)，不同M值對(duì)LDACS算法的效率有影響，因此，對(duì)第1、2段緩和曲線及圓曲線上的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)曲線元起點(diǎn)的弧長(zhǎng)進(jìn)行積分區(qū)間的劃分，并取不同等分值M(1～10)的LDACS算法與DFA、NPTA算法的效率做比較。算法檢驗(yàn)采用HPdv2804TX計(jì)算機(jī)，操作系統(tǒng)MS Windows XP，Intel Core Duo T5550雙核處理器，內(nèi)存1.00 GB，主頻1.83 GHz，以Microsoft Visual Studio 2010軟件作為試驗(yàn)程序開發(fā)執(zhí)行平臺(tái)。

(2)試驗(yàn)2

為驗(yàn)證三種算法計(jì)算精度的可行性，試驗(yàn)分別對(duì)各算法求解的各線路中線點(diǎn)里程和橫向偏差結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)做比較，統(tǒng)計(jì)里程差和橫向偏差較差的相關(guān)精度。由于等分區(qū)間數(shù)M對(duì)LDACS算法計(jì)算結(jié)果有影響，因此，為深入分析不同M值對(duì)應(yīng)結(jié)果的具體差異，以及結(jié)果是否仍然滿足軌道精密檢測(cè)的精度要求，試驗(yàn)仍采用1～10等分區(qū)間數(shù)的LDACS算法、DFA和NPTA算法的計(jì)算結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)做比較。

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

(1)試驗(yàn)1

在迭代閾值為0.01 mm時(shí)，分別統(tǒng)計(jì)三種算法計(jì)算三段線路中線點(diǎn)對(duì)應(yīng)里程和橫向偏差的效率。線路①共1 196點(diǎn)，線路②共2 737點(diǎn)，線路③共1 401點(diǎn)。每種算法計(jì)算各段線路的運(yùn)行時(shí)間統(tǒng)計(jì)1 000次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別見(jiàn)表1～表3。表1～表3中，M表示LDACS算法的復(fù)化辛普森積分等分區(qū)間個(gè)數(shù)。

表1 線路①的計(jì)算時(shí)間比較 s

表2 線路②的計(jì)算時(shí)間比較 s

表3 線路③的計(jì)算時(shí)間比較 s

通過(guò)表1～表3中均值行可以發(fā)現(xiàn)，DFA和NPTA算法的效率基本一致，前者略高于后者；LDACS算法的效率隨著M值的增加逐漸降低。對(duì)于線路①、線路③，M=8到M=9之間的效率降低最快，后者比前者分別降低了5.90%和7.75%；對(duì)于線路②，M=1到M=2之間的效率降低最快，后者比前者降低了4.36%，說(shuō)明積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M取值為1和2、8和9時(shí)，LDACS算法效率有較大變化。因此，在精度滿足要求的條件下，可根據(jù)實(shí)際需要選擇不同M值使LDACS算法適應(yīng)實(shí)際軌道精密檢測(cè)的需要。DFA、NPTA算法的效率高于LDACS算法。對(duì)比表1～表3的均值行，三種算法計(jì)算線路②中線點(diǎn)里程和橫向偏差的時(shí)間約為線路①和線路③的2倍，計(jì)算線路①和線路③的時(shí)間基本一致。由于DFA和NPTA算法僅在緩和曲線段需要進(jìn)行牛頓迭代，通過(guò)該試驗(yàn)結(jié)果并結(jié)合其數(shù)學(xué)模型分析認(rèn)為，緩和曲線長(zhǎng)是影響這兩種算法效率的主要因素。

通過(guò)表1～表3中中誤差行可以看出，三種算法在1 000次時(shí)間統(tǒng)計(jì)中，時(shí)間中誤差基本一致，說(shuō)明時(shí)間測(cè)試試驗(yàn)中各算法計(jì)算線路里程和橫向偏差的穩(wěn)定性一致，且該試驗(yàn)結(jié)果的可信度較高。

通過(guò)試驗(yàn)1的結(jié)果和分析認(rèn)為，在最耗時(shí)的線路②(長(zhǎng)約1.71 km，共2737點(diǎn))的計(jì)算中，用時(shí)最長(zhǎng)的LDACS(M=10)算法的平均時(shí)間僅為0.129 s，由此推算若檢測(cè)1 000 km高速鐵路，所花費(fèi)時(shí)間也僅需75.439 s。因此，對(duì)于高速鐵路精密檢測(cè)，三種算法的效率均比較高。

(2)試驗(yàn)2

仍取迭代閾值0.01mm，三種算法分別計(jì)算三段線路中線點(diǎn)對(duì)應(yīng)的里程和橫向偏差，并與仿真數(shù)據(jù)的里程和隨機(jī)加入各中線點(diǎn)的橫向偏差值做差，分別統(tǒng)計(jì)各段線路下各種算法結(jié)果與已知值(仿真里程和隨機(jī)橫向偏差)的較差，列入表4～表9中。表4～表9中，M表示LDACS算法的復(fù)化辛普森積分等分區(qū)間個(gè)數(shù)。

表4 三種算法計(jì)算線路①的里程差 mm

表5 三種算法計(jì)算線路②的里程差 mm

表6 三種算法計(jì)算線路③的里程差 mm

通過(guò)表4～表6的均值行可以看出，DFA、NPTA算法的里程均值與仿真數(shù)據(jù)的差值小于0.01 mm；LDACS算法的計(jì)算精度隨著M值增大而提高，且當(dāng)M≥5時(shí)里程差均值小于0.01mm。

通過(guò)表4～表6的最大值、最小值和均值行可以看出，當(dāng)M值增大后，LDACS算法里程差的最大值、最小值在數(shù)值上基本相等，且均值趨于0，說(shuō)明隨著M值的增加，LDACS算法計(jì)算的里程精度和準(zhǔn)確度逐漸增大。對(duì)比表4～表6的最大值、最小值和均值行發(fā)現(xiàn)，當(dāng)緩和曲線長(zhǎng)度增大后，DFA和NPTA算法的里程精度和準(zhǔn)確度均有所下降；當(dāng)半徑減小后，LDACS算法的里程精度和準(zhǔn)確度降低。

表7 三種算法計(jì)算線路①的橫向偏差較差 μm

表8 三種算法計(jì)算線路②的橫向偏差較差 μm

表9 三種算法計(jì)算線路③的橫向偏差較差 μm

通過(guò)表7～表9的均值行可以看到，DFA、NPTA算法計(jì)算的橫向偏差較差均值小于0.1 μm；當(dāng)M≥4時(shí)LDACS算法計(jì)算的橫向偏差較差均值小于0.01 mm。對(duì)比表7～表9的最大值、最小值和均值行發(fā)現(xiàn)，緩和曲線長(zhǎng)度影響DFA和NPTA算法橫向偏差的精度和準(zhǔn)確性；曲線半徑影響LDACS算法橫向偏差的精度和準(zhǔn)確性，當(dāng)M逐漸增大時(shí)，LDACS算法精度效率逐漸提高。該性質(zhì)在表4～表6的里程差中同樣也有反映。

通過(guò)試驗(yàn)2的結(jié)果分析可知，DFA、NPTA算法計(jì)算三段線路中線點(diǎn)的里程和橫向偏差與仿真數(shù)據(jù)相比，差值均小于0.1 mm(最大里程偏差為63.3 μm，最大橫向偏差為44.74 μm)，且較差均值小于0.01 mm(最大里程差均值為2.8 μm，最大橫向偏差均值為0.05 μm)。對(duì)于LDACS算法，當(dāng)積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M≥5時(shí)里程差小于0.01 mm，當(dāng)M≥4時(shí)橫向偏差較差小于0.01 mm。因此，DFA、NPTA及LDACS(M≥5)算法計(jì)算的里程和橫向偏差精度滿足高速鐵路軌道精密檢測(cè)的技術(shù)要求。

5 結(jié)論

本文針對(duì)高速鐵路軌道精密檢測(cè)中評(píng)價(jià)軌道平順性模型橫向偏差的求解問(wèn)題，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)試驗(yàn)分析，得到以下結(jié)論：

(1)DFA、NPTA和LDACS(復(fù)化辛普森的積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M≥5)算法的計(jì)算精度能夠達(dá)到0.01 mm，滿足高速鐵路軌道精密檢測(cè)的精度要求。

(2)DFA和NPTA算法效率基本相同，均高于LDACS。根據(jù)文中式( 1 )和式( 2 )可知，點(diǎn)到曲線元起點(diǎn)的弧長(zhǎng)分成M段后的積分精度與M值有明顯關(guān)系，積分區(qū)間劃分越密集，積分精度越高，但是計(jì)算越復(fù)雜。通過(guò)試驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)M值的增加，LDACS算法的計(jì)算精度增加、效率降低。根據(jù)結(jié)論(1)可知，在M≥5時(shí)，里程和橫向偏差的精度均達(dá)到了0.01 mm。以M取10等分的LDACS為例，計(jì)算1.71 km軌道(共2 737點(diǎn))的偏差僅需要0.129 s，由此可知，在滿足計(jì)算精度的情況下，三種算法效率仍較高，可用于高速鐵路軌道偏差計(jì)算。

(3)通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著鐵路線路緩和曲線長(zhǎng)度的增加，DFA和NPTA算法的效率和計(jì)算精度均降低；鐵路線路半徑越大，LDACS算法的計(jì)算精度越高。

由此可以得出：DFA、NPTA以及LDACS算法的效率、計(jì)算精度均滿足高速鐵路軌道施工和運(yùn)營(yíng)維護(hù)的相關(guān)要求。建議在高速鐵路精密檢測(cè)和軌道測(cè)量?jī)x算法模型中應(yīng)用。

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