康仁偉， 王俊峰， 程劍鋒， 劉雅晴

(1. 中國鐵道科學(xué)研究院 通信信號研究所，北京 100081；2. 北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

ATP車載設(shè)備是保證列車運(yùn)行安全的關(guān)鍵裝備。全路在用的ATP類型有300T，300S，300H，200H，200C和C3D。隨著設(shè)備本身屬性、走行公里、自然條件等因素的變化，各種類型ATP運(yùn)行故障率變化趨勢不盡相同。目前，ATP車載設(shè)備備品備件的配置大多依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各備件配置數(shù)量短期內(nèi)恒定不變，不能隨著設(shè)備故障的變化而動(dòng)態(tài)調(diào)整。結(jié)果是部分設(shè)備儲(chǔ)備量不足影響故障維修，而部分設(shè)備過多儲(chǔ)備又造成資源浪費(fèi)。如果能預(yù)測ATP設(shè)備短期內(nèi)的故障趨勢，則可以有針對性地提前采購儲(chǔ)備ATP備件，緩解設(shè)備儲(chǔ)備量不足和過剩的矛盾。 用于短時(shí)預(yù)測的方法主要分為基于確定數(shù)學(xué)模型的預(yù)測方法、無明確數(shù)學(xué)模型的預(yù)測方法和組合思想的預(yù)測方法3類[1]。其中，混沌理論屬于無明確數(shù)學(xué)模型的方法，用于研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的規(guī)律，不需建立主觀模型，直接從數(shù)據(jù)中挖掘隱藏的客觀規(guī)律而進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測精度和可信度均很高[1]。混沌理論已經(jīng)用于鐵路貨物運(yùn)量預(yù)測[2-3]，短時(shí)交通流的分析和預(yù)測[1,4-5]，股票預(yù)測[6]等多個(gè)領(lǐng)域，為數(shù)據(jù)未來的變化趨勢提供了科學(xué)有效的參考依據(jù)。目前對于ATP車載設(shè)備運(yùn)行故障趨勢的預(yù)測未見相關(guān)文獻(xiàn)。本文采用混沌理論，從ATP設(shè)備歷史故障數(shù)據(jù)的角度，深入挖掘分析故障數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，短時(shí)預(yù)測ATP設(shè)備的故障趨勢，為合理優(yōu)化配置ATP備品備件提供科學(xué)參考。

1 ATP車載設(shè)備運(yùn)行故障特點(diǎn)

衡量ATP設(shè)備運(yùn)用質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)是百萬公里故障率，即ATP隨著列車運(yùn)行一百萬公里發(fā)生的故障次數(shù)。圖1為2013年8月至2014年12月，全路6種類型ATP設(shè)備按月統(tǒng)計(jì)百萬公里故障率變化趨勢圖。

圖1中，6種設(shè)備類型分別記做A～F，由圖1可得ATP設(shè)備運(yùn)行故障呈現(xiàn)如下特點(diǎn)：

(1)非線性；(2)動(dòng)態(tài)時(shí)變，某種程度上的隨機(jī)性；(3)序列包含ATP車載設(shè)備運(yùn)行的行為特征；(4)貌似無規(guī)則性。

混沌理論非常適合研究整體呈現(xiàn)確定性，但是又具有某種隨機(jī)性的動(dòng)態(tài)變化系統(tǒng)[7]，吻合ATP設(shè)備的故障特點(diǎn)。因而，用混沌理論對ATP設(shè)備百萬公里故障率一維時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，從高維的角度挖掘設(shè)備故障數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏的潛在規(guī)律，短期預(yù)測ATP設(shè)備故障未來的變化趨勢。

2 混沌理論

混沌是確定性的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種貌似隨機(jī)的，實(shí)際上隱含著潛在規(guī)律的動(dòng)態(tài)行為。

Li-Yorke混沌定義[7-8]：[a,b]上的連續(xù)自映射f，存在不可數(shù)子集S?[a,b]，若滿足以下條件，則稱其具有混沌特性：

(1)S中無周期點(diǎn)；

(2) 對?x,y∈S，有

(3) 對?x,y∈S，有

(4) 對?x∈S和f的任意周期點(diǎn)y，有

Li-Yorke混沌定義刻畫了混沌系統(tǒng)的3個(gè)特征[7]，即非周期、對初始條件的敏感性和有界。

混沌狀態(tài)空間長期動(dòng)態(tài)行為的幾何形式用吸引子描述，其中，混沌吸引子[8]是軌道不穩(wěn)定和相空間收縮兩種因素共同作用的極限集合。

3 基于混沌理論的ATP設(shè)備故障率預(yù)測

ATP車載設(shè)備百萬公里故障率一維時(shí)間序列難以挖掘其潛在規(guī)律，因而將其通過相空間重構(gòu)理論映射到高維空間，然后判斷其是否具有混沌特性。若有，則利用支持向量機(jī)模型預(yù)測ATP運(yùn)行故障短期內(nèi)的變化趨勢。整體思路見圖2。

3.1 相空間重構(gòu)

ATP百萬公里故障率是長度為n的一維時(shí)間序列為

X=xi|i=1,2,…,n

( 1 )

以某種類型的ATP設(shè)備為例(以下記做ATP-X)，定義

( 2 )

式中:aj表示第j天全路ATP-X設(shè)備發(fā)生的故障件數(shù)；sj表示第j天全路ATP-X設(shè)備的走行公里。

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)起始日期為2012年7月1日，結(jié)束日期為2014年12月31日。因?yàn)槭抢鄯e求和再進(jìn)行計(jì)算，隨著時(shí)間的遞增，數(shù)據(jù)值相對更穩(wěn)定，剔除前面部分誤差較大的數(shù)據(jù)，選取較穩(wěn)定的數(shù)據(jù)作為樣本，即X={0.443 306, 0.441 469, 0.439 659,…}，樣本容量n=717，其時(shí)間序列見圖3。

圖3中縱坐標(biāo)表示隨著時(shí)間推移的序列個(gè)數(shù)，可見，ATP-X的百萬公里故障率整體呈下降趨勢，局部在小范圍內(nèi)波動(dòng)。

除此之外，很難再得到ATP-X百萬公里故障率的其他變化規(guī)律。因而，將百萬公里故障率一維時(shí)間序列擴(kuò)展到高維空間，且保證高維空間與原百萬公里故障率時(shí)間序列的微分同胚性，從而在高維空間恢復(fù)混沌吸引子，挖掘一維時(shí)間序列的變化規(guī)律。嵌入定理[3,7]表明，只要適當(dāng)選取延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m，ATP百萬公里故障率時(shí)間序列的幾何特性與重構(gòu)m維空間的幾何特性等價(jià)，兩者具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

對X采用延遲嵌入的方式進(jìn)行重構(gòu)，得到軌跡矩陣Y

( 3 )

式中:τ為延遲時(shí)間;m為嵌入維數(shù)。每一列表示一個(gè)相點(diǎn)。記M=n-m-1τ。

采用C-C算法[2-3,9]同時(shí)估計(jì)延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m。

將時(shí)間序列X=xi|i=1,2,…,n劃分為t個(gè)不相交的子序列[3,7]，長度為l=[n/t]([*]表示取整)

{x(1),x(t+1),x(2t+1),…}

{x(2),x(t+2),x(2t+2),…}

?

{x(t),x(t+t),x(2t+t),…}

定義每個(gè)子序列的統(tǒng)計(jì)量

S(m,n,r,τ)=

( 4 )

式中:Cl表示第l個(gè)子序列的關(guān)聯(lián)積分。

定義

C(m,n,r,τ)=

( 5 )

式中:r為鄰域半徑;M為相點(diǎn)數(shù)目;θ(*)為Heaviside單位函數(shù)。

定義

( 6 )

相點(diǎn)Xi與最接近的相點(diǎn)Xj間的歐式距離用無窮范數(shù)表示

d=‖Xi-Xj‖=

( 7 )

當(dāng)n→時(shí)，記做

S(m,r,τ)=

( 8 )

S(m,r,τ)～τ反映了時(shí)間序列的自相關(guān)性。

定義

ΔS(m,τ)=

maxS(m,ri,τ)-minS(m,rj,τ)

( 9 )

為度量S(m,r,τ)～τ對所有鄰域半徑r的最大偏差。

本文采用改進(jìn)的C-C算法[7]，定義

ΔS(m,τ)=stdS(m,r,τ)

(10)

式中:std{*}表示S(m,r,τ)的均方差。

設(shè)

求得延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)后，即可將長度為717的一維時(shí)間序列X相空間重構(gòu)為2×698的高維矩陣Y。

3.2 混沌特性判別

對ATP-X百萬公里故障率時(shí)間序列X相空間重構(gòu)后，應(yīng)該判斷該序列是否具有混沌特性。本文采用Lyapunov指數(shù)法[4,7,10]判斷混沌特性。格里波基證明[7]，只要最大Lyapunov指數(shù)λ大于0，系統(tǒng)就存在混沌特性。

目前求解最大Lyapunov指數(shù)的方法主要有Wolf法[1,7]、Jacobian法[1,7]、P-范數(shù)法[7]和小數(shù)據(jù)量法[5]。Wolf法計(jì)算誤差較大，魯棒性、穩(wěn)定性較差。Jacobian法適用于噪聲較大的序列。P-范數(shù)法計(jì)算量大，操作困難。小數(shù)據(jù)量法計(jì)算量小，易操作，對小數(shù)據(jù)可靠。如下采用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

具體步驟[5,8]如下:

(11)

式中：j=1,2,…,M;P為時(shí)間序列的平均周期。

Step2計(jì)算相點(diǎn)Xj經(jīng)過iΔt演化時(shí)間后的距離

(12)

Step3據(jù)文獻(xiàn)[5]

lndji≈lndj0+λiΔt

(13)

最大Lyapunov指數(shù)為上式直線的斜率，可通過最小二乘法逼近得到，即

(14)

式中:q為非零dji的個(gè)數(shù);yi表示對每個(gè)i，所有j的lndji的平均值。

根據(jù)3.1節(jié)的結(jié)果：τ=19，m=2。本文以全路范圍內(nèi)同一種車載設(shè)備為例，綜合考慮車載設(shè)備日常的運(yùn)用檢修和高級檢修，設(shè)置ATP-X百萬公里故障率時(shí)間序列平均周期P=180。求取最大Lyapunov指數(shù)結(jié)果見圖5。最大離散步進(jìn)時(shí)間設(shè)為50。

圖5中，實(shí)線表示y(i)的值，虛線表示Step3中的直線，其斜率為0.016 7，即最大Lyapunov指數(shù)λ=0.016 7>0。因而，ATP-X型車載設(shè)備百萬公里故障率時(shí)間序列具有混沌特性，可以采用混沌理論對其未來變化趨勢進(jìn)行短期預(yù)測。

3.3 混沌預(yù)測

對ATP百萬公里故障率一維時(shí)間序列相空間重構(gòu)和混沌特性判別之后，在高維空間中挖掘ATP潛在的故障變化規(guī)律，進(jìn)而預(yù)測ATP運(yùn)行故障的變化趨勢和變化的范圍空間。

(1) 預(yù)測原理

ATP-X車載設(shè)備百萬公里故障率X={xi|i=1,2,…,n},相空間重構(gòu)之后得到的M個(gè)相點(diǎn)為

X1=x1,x1+τ,…,x1+m-1τ

X2=x2,x2+τ,…,x2+m-1τ

?

XM=xM,xM+τ,…,xM+m-1τ

(15)

進(jìn)一步演化之后的相點(diǎn)為

XM+1=

{xM+1,xM+1+τ,

…,xM+1+m-1τ}

(16)

上式中的元素xM+1+m-1τ正是需要預(yù)測的下一個(gè)序列點(diǎn)xn+1。

相點(diǎn)Xi與xi+1+m-1τ之間有某種確定的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系[7]，即

xi+1+m-1τ=fXi

(17)

找出XM的K個(gè)鄰近點(diǎn)XMi(i=1,2,…,K)，利用支持向量機(jī)SVM(Support Vector Machine)[11]的逼近能力，用一個(gè)最優(yōu)函數(shù)擬合

fXMi=xMi+1+m-1τ

若確定fx，則有

xn+1=xM+1+m-1τ=

fXM

(18)

同理，可預(yù)測xn+2,xn+3,…。

SVM是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的有效的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，根據(jù)有限的樣本信息在學(xué)習(xí)能力和模型的復(fù)雜性之間尋求最佳折中，具有泛化能力強(qiáng)、容易訓(xùn)練、沒有局部極小值等優(yōu)點(diǎn)[11-12]。本文需要確定函數(shù)f(x)，顯然是一個(gè)回歸問題。ε-SVR(ε-Support Vector Regression)支持向量回歸模型屬于SVM的一種，訓(xùn)練的目標(biāo)為y-f(x)≤ε。

如果指定不敏感度ε，就得到ε-SVR，即

s.t.

yi-w,Φ(xi)-b≤ε+ξi

(19)

其解為

(20)

式中:c是懲罰系數(shù)，其他參數(shù)見文獻(xiàn)[11]。

至此，利用SVR對ATP百萬公里故障率時(shí)間序列做混沌預(yù)測的模型見圖6。

(2) 數(shù)據(jù)歸一化處理

選取第1～M-1個(gè)相點(diǎn)作為自變量，選取第2～M個(gè)相點(diǎn)的最后一個(gè)元素作為因變量。前期粗略預(yù)測發(fā)現(xiàn)，對矩陣Y的數(shù)據(jù)不做處理直接作為輸入預(yù)測準(zhǔn)確率較低。于是，分別對自變量和因變量按照如下映射進(jìn)行歸一化預(yù)處理

(21)

這樣，作為SVR模型輸入的矩陣Y的元素被規(guī)整到[0,1]范圍內(nèi)，以提高預(yù)測精度。

(3) SVR最優(yōu)參數(shù)選擇

首先給出參數(shù)評價(jià)指標(biāo)：

平均平方誤差

(22)

平方相關(guān)系數(shù)

r2=

(23)

式中:n表示樣本數(shù)。

采用SVR解決回歸函數(shù)f(x)的估計(jì)問題，必須確定不敏感度ε、懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)g三個(gè)參數(shù)[12]。不敏感度ε決定了回歸函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)不敏感區(qū)域的范圍及支持向量的個(gè)數(shù)；懲罰系數(shù)c是對經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和置信范圍的折中，表示對超出誤差ε的樣本的懲罰程度。本文選用高斯RBF核函數(shù)[12]

K(x,y)=exp-g‖x-y‖2

(24)

式中:g表示核函數(shù)。

首先，設(shè)定不敏感度ε=0.01。

然后，通過一種交叉驗(yàn)證CV(Cross Validation)[13]的方法，將懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)g在2的指數(shù)范圍網(wǎng)格內(nèi)進(jìn)行查找，尋找一定意義下最佳的c和g。

粗略確定c和g的尋優(yōu)范圍，讓其取值變化都為2-10，2-9，…，210。粗略選擇結(jié)果見圖7。最佳c=0.353 55,g=2.828 4，最小的MSE=0.002 300 6。

圖7中，x軸表示c取以2為底的指數(shù)后的值，y軸表示g取以2為底的指數(shù)后的值，等高線和3D視圖的z軸表示取相應(yīng)的c和g后對應(yīng)CV方法的平均平方誤差。

由圖7可見，c的范圍可縮小至2-8～20，g的范圍可縮小至2-8～28。如此，得出參數(shù)c和g的精細(xì)選擇結(jié)果如圖8所示。最佳c=0.574 35,g=1.741 1，最小的MSE=0.002 226 2。其最小的MSE值小于粗略選擇的最小MSE值，表明精細(xì)選擇參數(shù)結(jié)果更優(yōu)。

(4) 預(yù)測結(jié)果

根據(jù)前文得到的最佳參數(shù)c和g訓(xùn)練SVR，按照圖6的輸入輸出關(guān)系，得出一個(gè)模型回歸擬合f(x) ，據(jù)此預(yù)測ATP-X時(shí)間序列X后200條數(shù)據(jù)，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。

圖9為混沌預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的對比，混沌預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)基本吻合，表明混沌預(yù)測方法適用于ATP車載設(shè)備的百萬公里故障率趨勢預(yù)測。如果預(yù)測呈上升趨勢，那么，鐵路電務(wù)部門應(yīng)該提前儲(chǔ)備足夠的ATP-X的備品備件，并且在日常維修中，應(yīng)該重點(diǎn)檢查或監(jiān)測ATP-X的設(shè)備狀態(tài)，統(tǒng)籌調(diào)配電務(wù)資源，做到預(yù)防維修。

據(jù)文獻(xiàn)[2]，最大Lyapunov指數(shù)λ的倒數(shù)T=1/λ表示混沌系統(tǒng)最長預(yù)測時(shí)間。由前節(jié)可得λ=0.016 7，故T=1/λ≈59。表明根據(jù)ATP-X歷史故障數(shù)據(jù)，可短期預(yù)測未來59 d該設(shè)備的故障率變化趨勢。這為全路備品備件的充分儲(chǔ)備和電務(wù)資源的合理調(diào)配提供了參考依據(jù)。

4 預(yù)測結(jié)果分析

為了說明混沌預(yù)測ATP設(shè)備故障率變化趨勢的有效性，本文將混沌預(yù)測結(jié)果和直接進(jìn)行SVR預(yù)測的結(jié)果做比較。兩者最主要的區(qū)別是：混沌預(yù)測是將相空間重構(gòu)之后得到的矩陣Y作為輸入，而SVR預(yù)測是直接將ATP百萬公里故障率時(shí)間序列X作為輸入；前者處理的對象是相點(diǎn)，后者則是序列的元素。

按照前節(jié)的描述，以ATP-X的百萬公里故障率時(shí)間序列X作為輸入，取ε=0.01，選擇最佳參數(shù)c=1,g=0.001 700 3(相應(yīng)地，最小的MSE=0.004 009 4)，得到得到圖10所示的預(yù)測結(jié)果。

圖9和圖10所示的預(yù)測結(jié)果優(yōu)劣很難定性比較，于是，分別求取兩者預(yù)測的平均平方誤差和平方相關(guān)系數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 混沌預(yù)測和SVR預(yù)測結(jié)果比較

由表1可得，對于同一個(gè)ATP-X的百萬公里故障率時(shí)間序列，混沌預(yù)測的平均平方誤差小于SVR預(yù)測的平均平方誤差，且前者的平方相關(guān)系數(shù)大于后者的平方相關(guān)系數(shù)。表明混沌預(yù)測的精度高于SVR的預(yù)測精度。

此結(jié)論也可通過圖11所示兩者預(yù)測的相對誤差圖 ((預(yù)測值-原始值)/原始值)反映，混沌預(yù)測的相對誤差相對于SVR預(yù)測的誤差，更集中于區(qū)間[-0.01,0.01]。

綜上，基于混沌理論對ATP車載設(shè)備故障率變化趨勢的預(yù)測相對更適合、更準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

ATP車載設(shè)備百萬公里故障率時(shí)間序列具有最大Lyapunov指數(shù)判斷的混沌特性?；诨煦缋碚搶TP車載設(shè)備故障率預(yù)測方法是可行和有效的，其預(yù)測精度高于支持向量回歸方法。

預(yù)測結(jié)果可供優(yōu)化未來維修周期內(nèi)全路ATP備品備件的統(tǒng)一配置和調(diào)配方案參考。在備品備件細(xì)化分類的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，本方法可針對某種特定的備件做專項(xiàng)預(yù)測，提供該備件合理的儲(chǔ)備數(shù)量及維修策略。

參考文獻(xiàn)：

[1] 魏文.基于混沌和PSO神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短時(shí)交通流預(yù)測研究[D].成都:西南交通大學(xué),2010:29-52.

[2] 吳華穩(wěn)，王富章. 基于最大Lyapunov指數(shù)的鐵路貨物運(yùn)量預(yù)測研究[J].鐵道學(xué)報(bào),2014,36(4)：8-13.

WU Huawen, WANG Fuzhang. Research on Railway Freight Traffic Prediction Based on Maximum Lyapunov Exponent[J]. Journal of the China Railway Society, 2014, 36(4): 8-13.

[3] 朱子虎，翁振松. 基于混沌理論的鐵路客貨運(yùn)量預(yù)測研究[J].鐵道學(xué)報(bào),2011,33(6):1-7.

ZHU Zihu, WENG Zhensong. Railway Passenger and Freight Volume Forecasting Based on Chaos Theory[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 33(6): 1-7.

[4] 張洪賓，孫小端，賀玉龍. 短時(shí)交通流復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性分析及預(yù)測[J].物理學(xué)報(bào),2014,63(4)：1-8.

ZHANG Hongbin, SUN Xiaoduan, HE Yulong.Analysis and Prediction of Complex Dynamical Characteristics of Short-term Traffic Flow[J]. Acta Physica Sinica,2014, 63(4):1-8.

[5] 張玉梅，吳曉軍，白樹林. 交通流量序列混沌特性分析及DFPSOVF預(yù)測模型[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62(19)：1-9.

ZHANG Yumei, WU Xiaojun, BAI Shulin. Chaotic Characteristic Analysis for Traffic Flow Series and DFPSOVF Prediction Model[J]. Acta Physica Sinica,2013, 62(19):1-9.

[6] 馬軍海，齊二石，莫馨. 混沌時(shí)序重構(gòu)及上海股票指數(shù)預(yù)測的應(yīng)用研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2003，23(12)：86-93.

MA Junhai, QI Ershi, MO Xin. Application Study on Reconstruction of Chaotic Time Series and Prediction of Shanghai Stock Index[J]. Systems Engineering-Theory & Practice,2003, 23(12):86-93.

[7] 高俊杰.混沌時(shí)間序列預(yù)測研究及應(yīng)用[D].上海:上海交通大學(xué),2013:36-70.

[8] 韓敏.混沌時(shí)間序列預(yù)測理論與方法[M].北京:中國水利水電出版社,2007:10-240.

[9] 孟洋洋，盧繼平，王堅(jiān). 基于Volterra自適應(yīng)濾波器的風(fēng)電功率混沌預(yù)測[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制， 2012,40(4)：90-95.

MENG Yangyang, LU Jiping, WANG Jian. Wind Power Chaos Prediction Based on Volterra Adaptive Filter[J]. Power System Protection and Control,2012, 40(4):90-95.

[10] 張勇，關(guān)偉. 基于最大Lyapunov指數(shù)的多變量混沌時(shí)間序列預(yù)測[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(2)：756-763.

ZHANG Yong, GUAN Wei. Predication of Multivariable Chaotic Time Series Based on Maximal Lyapunov Exponent[J]. Acta Physica Sinica,2009, 58(2): 756-763.

[11] 傅貴，韓國強(qiáng)，逯峰，等. 基于支持向量機(jī)回歸的短時(shí)交通流預(yù)測模型[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,41(9):71-76.

FU Gui, HAN Guoqiang, LU Feng, et al. Short-term Traffic Flow Forecasting Model Based on Support Vector Machine Regression[J].Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition,2013, 41(9): 71-76.

[12] 曹善成，宋筆鋒，殷之平，等. 基于支持向量機(jī)回歸的飛行載荷參數(shù)識別研究[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2013,31(4):535-539.

CAO Shancheng, SONG Bifeng, YIN Zhiping, et al. Establishing a Flight Load Parameter Identification Model with Support Vector Machine Regression[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2013,31(4) :535-539.

[13] 王小川，史峰，郁磊.MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)43個(gè)案例分析[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2013：114-152.