磁針磁矩的測(cè)量和耦合磁針的實(shí)驗(yàn)研究

王思慧，劉振宇，江洪建，周 進(jìn)

（南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇南京210093）

?

磁針磁矩的測(cè)量和耦合磁針的實(shí)驗(yàn)研究

王思慧，劉振宇，江洪建，周 進(jìn)

（南京大學(xué)物理學(xué)院，江蘇南京210093）

摘 要：第3屆全國(guó)大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)題包括3部分：測(cè)量磁針處局域磁場(chǎng)水平分量的大小，測(cè)量磁針的磁矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及地磁場(chǎng)中耦合磁針的運(yùn)動(dòng)研究.介紹競(jìng)賽試題的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容并給出解答，分析了參賽學(xué)生的實(shí)驗(yàn)考試結(jié)果.

關(guān)鍵詞：局域磁場(chǎng)；水平分量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；磁矩；耦合振子；耦合磁針

本文介紹的是第3屆全國(guó)大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題、解答及分析.實(shí)驗(yàn)包括3部分：測(cè)量磁針處局域磁場(chǎng)水平分量的大小，測(cè)量磁針的磁矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以及地磁場(chǎng)中耦合磁針的運(yùn)動(dòng).

試題第一部分采用動(dòng)力學(xué)方法測(cè)量磁場(chǎng)，是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)內(nèi)容［1］.題目雖然涉及的是動(dòng)力學(xué)原理，器材和測(cè)量卻為電磁學(xué)范圍.第二部分借鑒了扭擺和已知配重測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法［1－2］，作為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行考察.第三部分耦合振子的簡(jiǎn)正模是重要的基礎(chǔ)物理概念［3］，演示或定量實(shí)驗(yàn)通常需要專門的器材，或者采用模擬方法實(shí)現(xiàn)［4］.本題設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)裝置，不僅能夠演示各個(gè)簡(jiǎn)正模及其疊加形成的拍運(yùn)動(dòng)，測(cè)量各個(gè)簡(jiǎn)正模的頻率，而且能夠定量測(cè)量耦合系數(shù).這部分原理與常見的耦合擺有所不同，因此試題簡(jiǎn)單介紹了物理背景和現(xiàn)象，再提出觀察和研究的任務(wù)，可以考察學(xué)生理解物理概念、自主實(shí)驗(yàn)、探索物理規(guī)律的能力.

1 實(shí)驗(yàn)試題

懸掛在磁場(chǎng)中磁針的運(yùn)動(dòng)方程是

這里θ是磁矩方向與外磁場(chǎng)水平方向之間的夾角，M是磁針的磁矩，I是磁針的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，B是磁針處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，它由局域磁場(chǎng)（地磁場(chǎng)）水平分量B0和線圈磁場(chǎng)B1疊加而成.當(dāng)線圈軸線與外磁場(chǎng)水平方向平行時(shí)，位于軸線上的磁場(chǎng)水平分量B＝B0＋B1.由此得到磁針擺動(dòng)周期與磁場(chǎng)的關(guān)系：

亥姆霍茲線圈由2個(gè)半徑均為R、匝數(shù)均為N的通電線圈組成，當(dāng)2個(gè)線圈彼此同軸平行而且距離為R時(shí)，其圓心連線中點(diǎn)即O點(diǎn)附近的磁場(chǎng)是近似均勻的，其方向由安培定律確定，其大小與線圈半徑R、匝數(shù)N、通電電流i有關(guān)，理論公式為

其中μ0＝4π×10－7H／m是真空磁導(dǎo)率.

1.1 實(shí)驗(yàn)器材

直流穩(wěn)壓電源、滑線變阻器、2個(gè)相同的磁針（磁鐵厚度為4.15mm）、計(jì)時(shí)器、雙向開關(guān)、安培表、亥姆霍茲線圈（線圈參量為：N＝500，平均半徑R＝10.00cm）、帶刻度的支架、塑料尺、配重（質(zhì)量m＝0.73g）、游標(biāo)尺.

1.2 實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1.2.1 第一小題：測(cè)量磁針處局域磁場(chǎng)水平分量的大小（40分）

1）畫出實(shí)驗(yàn)連線電路圖，使得線圈供電電流的大小和方向都可以改變.

2）如何判斷線圈附加磁場(chǎng)與局域磁場(chǎng)是反向還是同向？

3）選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量范圍，測(cè)量不同電流下磁針的振動(dòng)周期.

以1／T2為縱坐標(biāo)，線圈電流i為橫坐標(biāo)作圖，外推計(jì)算1／T2為零時(shí)的電流，此時(shí)的線圈磁場(chǎng)完全抵消軸線方向的外部磁場(chǎng)，由此可以計(jì)算局域磁場(chǎng)水平分量的大小.

4）通過作圖給出局域磁場(chǎng)水平分量的值.

1.2.2 第二小題：測(cè)量磁針的磁矩以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（30分）

1）設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，用以測(cè)量磁針的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及磁針的磁矩.方案需包含必要的公式.可以用示意圖表示裝置的安排.（測(cè)量方案可以申請(qǐng)?zhí)崾?，提示卡?0分）

2）測(cè)量磁針的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及磁矩.

1.2.3 第三小題：地磁場(chǎng)中耦合磁針運(yùn)動(dòng)的觀察與測(cè)量（30分）

在地磁場(chǎng)中放置2枚相同的磁針，并使它們沿著地磁場(chǎng)方向處于1條直線上.當(dāng)相鄰磁針的磁場(chǎng)不可忽略時(shí)，它們構(gòu)成耦合振動(dòng)系統(tǒng).由于耦合的存在，磁針的運(yùn)動(dòng)形式將更加豐富.

將2個(gè)磁針沿著局部磁場(chǎng)的方向共線放置，使它們同相位運(yùn)動(dòng)，則磁針共同運(yùn)動(dòng)的角頻率為ω.將2個(gè)磁針沿著局部地磁場(chǎng)的方向共線放置，使它們反相位運(yùn)動(dòng)，則磁針共同運(yùn)動(dòng)的角頻率為ω＊.這2個(gè)頻率都與單獨(dú)1個(gè)磁針的角頻率ω0不同.

1）請(qǐng)比較ω，ω＊以及ω0三者的大小.

當(dāng)2個(gè)磁針由靜止釋放，其中一個(gè)磁針的初始角位移為零，另一個(gè)磁針則有非零的初始角位移；此時(shí)會(huì)發(fā)生2種簡(jiǎn)正模式的疊加，2個(gè)磁針的振幅交替增減，能量互補(bǔ)，形成“拍”運(yùn)動(dòng).此時(shí)的拍頻由2個(gè)簡(jiǎn)正模式的頻率之差決定，即

2）改變2個(gè)磁針之間的距離L，觀察拍頻隨L的增加如何變化？（回答變大、變小、不變）

3）改變2個(gè)磁針之間的距離L，測(cè)量ω和ω＊隨L的變化情況.

4）確定系數(shù)α和β的值.

已知2個(gè)磁針之間的耦合系數(shù)其中α和β是常量，M是磁矩.由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定系數(shù)α和β的值.

2 解答與分析

2.1 測(cè)量磁針處局域磁場(chǎng)水平分量的大小

畫實(shí)驗(yàn)連線電路需要注意直流電源的輸出是固定的，需要連接分壓電路.亥姆霍茲線圈應(yīng)串聯(lián)連接，否則式（2）不成立.注意換向開關(guān)的正確連接.

判斷線圈與附加磁場(chǎng)是反向還是同向.當(dāng)附加磁場(chǎng)與局域磁場(chǎng)同向時(shí)，磁針擺動(dòng)頻率增加，正向勵(lì)磁流越大，頻率越高.反向時(shí)起初頻率隨電流增加而減小，隨后磁針指向翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)后隨電流增加，頻率又加快.

圖1 1／T2與線圈電流i關(guān)系圖

第一小題考察學(xué)生的基本實(shí)驗(yàn)?zāi)芰土?xí)慣，例如基本的電路設(shè)計(jì)、連接，換向開關(guān)的使用，外磁場(chǎng)與線圈磁場(chǎng)軸線的準(zhǔn)直，合理測(cè)量范圍的判斷，有效數(shù)字、作圖規(guī)范，等等.為此，此處沒有在實(shí)驗(yàn)方法上設(shè)置障礙.

表1是50名參賽學(xué)生實(shí)驗(yàn)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.第一小題的得分率接近50%.將近一半的學(xué)生正確使用了分壓電路.只有大約40%的學(xué)生正確得出被測(cè)量磁場(chǎng)的大小.本小題已經(jīng)給出了實(shí)驗(yàn)思路，僅要求學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件恰當(dāng)?shù)厥褂秒娐?，判定測(cè)量范圍，結(jié)果卻差強(qiáng)人意.反映出學(xué)生習(xí)慣于按照規(guī)定步驟完成實(shí)驗(yàn)，應(yīng)變和判斷能力尚有欠缺.

表1 成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

2.2 測(cè)量磁針的磁矩以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

從學(xué)生的遷移能力的實(shí)際情況出發(fā)，這里設(shè)置了提示卡.

由式（3）可知，測(cè)量磁針的周期T0以及加載配重以后的周期T可以計(jì)算出磁針轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.要求多次測(cè)量取平均結(jié)果.參考值為T／T0＝1.35，I0＝1.6×10－7kg·m2.

本小題得分率28.7%，零分率為28%（14人）.申請(qǐng)?zhí)崾究ǖ挠?4位同學(xué)，其中13人被扣分后都有凈得分.得分主要來自于測(cè)量方案以及測(cè)量數(shù)據(jù)等中間過程，在提示卡的幫助下，多數(shù)學(xué)生基本上都有思路.但是只有少于20%的學(xué)生能夠正確地計(jì)算配重的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，極個(gè)別學(xué)生求出了磁針轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或者磁矩的正確結(jié)果，沒有1人同時(shí)正確地得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和磁矩.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算屬于比較基礎(chǔ)的知識(shí)，說明多數(shù)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力有待提高.

2.3 地磁場(chǎng)中耦合磁針運(yùn)動(dòng)的觀察與測(cè)量

作為背景知識(shí)，給出沿著外磁場(chǎng)方向平行排列的1對(duì)耦合磁針的運(yùn)動(dòng)方程.把磁針視為磁偶極子，可以導(dǎo)出該耦合磁針系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

式（4）以及這一部分原理與α和β的數(shù)據(jù)沒有在實(shí)驗(yàn)試題中給出.出題者希望學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察和測(cè)量導(dǎo)出其中的物理規(guī)律，從而理解簡(jiǎn)正模及其疊加運(yùn)動(dòng)、耦合系數(shù)這些較為抽象的概念.

以下是這一部分的實(shí)驗(yàn)解答：

1）由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象容易觀察到3個(gè)頻率的大小滿足ω＞ω＊＞ω0.

2）減小.拍頻隨L增加減緩也是很容易觀察到的.

3），4）改變磁針之間的距離L，測(cè)量同相及反相振動(dòng)20個(gè)周期的時(shí)間.實(shí)驗(yàn)上為了確定系數(shù)α 和β的值，根據(jù)

計(jì)算每個(gè)距離對(duì)應(yīng)的k′.求出ln k′與ln L的值并作圖，見圖2.根據(jù)定義，

擬合方程為y＝－3.21x－3.52，可得β＝3.21，ln（αM2）＝l－3.52.代入前面測(cè)量的磁矩M＝0.26A·m2，計(jì)算可得α＝0.45mA－1·s－2.

圖2 ln k′－ln L關(guān)系

第三小題的一些問題設(shè)置帶有提示性，例如：“請(qǐng)比較ω，ω＊以及ω0三者的大小”，“觀察拍頻隨L的增加如何變化？”等問題.既是為了設(shè)置一些容易的內(nèi)容“送分”，使得難度合理區(qū)分，同時(shí)也提醒考生關(guān)注實(shí)驗(yàn)包含的物理現(xiàn)象及規(guī)律，而不是機(jī)械地完成任務(wù).因?yàn)橛辛恕八头帧?，第三小題的均分達(dá)到7.36，只有26%的零分.多數(shù)考生能夠理解題意，不同程度地觀察到了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.在定量測(cè)量部分，約1／4的學(xué)生得到了部分測(cè)量數(shù)據(jù)，只有個(gè)別學(xué)生能夠正確選擇測(cè)量范圍，正確記錄、處理數(shù)據(jù)，最終完成實(shí)驗(yàn).有2位學(xué)生得到了β的正確結(jié)果，沒有學(xué)生給出α的正確結(jié)果.除了部分學(xué)生因?yàn)榭荚嚂r(shí)間緊張、沒有合理分配時(shí)間等原因，多數(shù)學(xué)生基本功不夠扎實(shí)，沒有形成規(guī)范地記錄數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)等習(xí)慣，也缺乏靈活應(yīng)變、獨(dú)立處理問題的能力.

注：文章中給出的局域磁場(chǎng)等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為某組實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果.

3 結(jié)束語

本實(shí)驗(yàn)綜合了力學(xué)和電磁學(xué)知識(shí)，采用簡(jiǎn)單的組裝式器材，緊湊的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，合理地設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了物理原理和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的擴(kuò)展和延伸.通過本實(shí)驗(yàn)，不僅能夠考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本實(shí)驗(yàn)技能，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察現(xiàn)象、實(shí)驗(yàn)測(cè)量探索物理規(guī)律，理解一些較為抽象的概念和知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 胡小鵬，高文莉，萬春華.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)（理科）［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2012：102.

［2］ 朱曄明，王思慧，周進(jìn).磁場(chǎng)及磁矩的測(cè)量實(shí)驗(yàn)［J］.大學(xué)物理，2006，25（4）：58－59.

［3］ 梁昆淼，鞠國(guó)興，施毅.力學(xué)：理論力學(xué)（下）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2009：124.

［4］ 姚盛偉，徐平，Tabuteau.耦合擺特性模擬及振動(dòng)耦合現(xiàn)象演示［J］.大學(xué)物理，2012，31（4）：28－32.

Measuring the magnetic moment of the magnetic needles and study on coupled needles

WANG Si－h(huán)ui，LIU Zhen－yu，JIANG Hong－jian，ZHOU Jin
（School of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

Abstract：The fundamental test problems of the third National College Students’Physics Experiment Competition contained three sections：measurement of horizontal component of local magnetic field，measurement of the moment of inertia and magnetic moment of a magnetic needle，coupled oscillations of a pair of magnetic needles.This paper introduces the contents of the competition problem，then the solution，and gives the analysis on the performances of the contestants.

Key words：local magnetic field；horizontal component；moment of inertia；magnetic moment；coupled oscillators；coupled magnetic needle

作者簡(jiǎn)介：王思慧（1964－），女，北京人，南京大學(xué)物理學(xué)院教授，博士，從事基礎(chǔ)物理理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué).

收稿日期：2016－01－11

中圖分類號(hào)：O441

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005－4642（2016）03－0019－05

［責(zé)任編輯：任德香］