二維分形表面電磁散射特性

齊　超， 劉偉健， 張　磊, 全　勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，150001 哈爾濱)

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二維分形表面電磁散射特性

齊超， 劉偉健， 張磊, 全勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，150001 哈爾濱)

摘要:為深入研究電磁波、光波探測(cè)信號(hào)與不規(guī)則背景表面之間的相互作用機(jī)理及物理本質(zhì)，以便給雷達(dá)目標(biāo)探測(cè)、不規(guī)則材料表面的探測(cè)與遙感提供必要的散射模型，對(duì)具有分形維度的二維粗糙表面采用帶限Weierstrass函數(shù)進(jìn)行建模，推導(dǎo)了基于基爾霍夫近似理論的二維粗糙面散射場(chǎng)，在HH極化條件下，給出了該分形面的電磁平均散射系數(shù)和平均強(qiáng)度系數(shù)，通過理論分析和數(shù)值計(jì)算討論了粗糙面散射特性與諧波數(shù)、入射波波長(zhǎng)、面分維等其他參量之間的關(guān)系. 結(jié)果表明，隨著分維和諧波數(shù)的增大，除鏡向反射以外，散射強(qiáng)度的幅值及其旁瓣分量是增大的. 為基于表面散射強(qiáng)度重構(gòu)粗糙面的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)提供數(shù)據(jù). 關(guān)鍵詞: 分形表面； 電磁散射； 散射系數(shù)； 平均強(qiáng)度； 強(qiáng)度系數(shù)

近年來快速發(fā)展的隨機(jī)粗糙表面電磁散射理論和實(shí)驗(yàn)研究越來越引起人們的重視. 許多理論和工程上的問題需要對(duì)粗糙面上的散射現(xiàn)象進(jìn)行研究. 有關(guān)粗糙面散射理論在雷達(dá)目標(biāo)成像、材料物理、環(huán)境遙感等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-2]. 關(guān)于粗糙面的電磁散射已有許多富有意義的研究成果，粗糙面散射研究中較為經(jīng)典的近似方法是基爾霍夫近似. 文獻(xiàn)[3]提出了一種分析導(dǎo)體目標(biāo)電磁散射特性的有效數(shù)值方法. 文獻(xiàn)[4]通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定不同標(biāo)準(zhǔn)粗糙表面和典型目標(biāo)表面密勒矩陣參數(shù)，得出具有高斯特性的不同粗糙表面的退偏振特性存在顯著差異. 文獻(xiàn)[5]從實(shí)驗(yàn)角度測(cè)量樣品表面的光散射輪廓，引入自仿射分形隨機(jī)表面模型，成功提取了隨機(jī)表面參量，并驗(yàn)證所得參量的正確性. 文獻(xiàn)[6]較完整地分析了具有分形特性的二維海平面的散射問題，其得出的結(jié)論對(duì)于靜止和動(dòng)態(tài)且不具有高斯分布特點(diǎn)的分形表面是適用的. 文獻(xiàn)[7]由二維隨機(jī)粗糙面散射場(chǎng)方程出發(fā)，利用分形幾何方法模擬隨機(jī)粗糙面，研究了隨機(jī)表面散射光場(chǎng)與隨機(jī)粗糙面統(tǒng)計(jì)參量及其分形參量的關(guān)系.

以往的粗糙面散射研究中，通常采用特定的已知周期函數(shù)或隨機(jī)函數(shù)作為粗糙表面的數(shù)學(xué)模型，但在自然界中粗糙面既非純隨機(jī)也非完全周期的[8]. 從統(tǒng)計(jì)意義上來講，一般的二維隨機(jī)粗糙面在一定的標(biāo)度之間都存在著自相似性或自仿射性，具有分形特點(diǎn). 近年來有關(guān)一維分形粗糙面散射的研究較多，但到目前為止對(duì)更為接近于實(shí)際的，從分維角度研究二維分形粗糙面散射文獻(xiàn)較少. 本文通過采用修改的Weierstrass函數(shù)模擬二維分形粗糙面，利用基爾霍夫近似研究分形表面散射特性與分形參數(shù)之間的定量關(guān)系.

1表面模型建立

(1)

其中:cw為常數(shù)，使得W(x,y)具有單位擾動(dòng)幅度，大小取決于材料本身；b(b>1)為空間基頻；D為分形維數(shù),2

當(dāng)N和M不太大時(shí)，在x方向和y方向上是各向異性的，它具有較大的偏導(dǎo)數(shù)和自仿射結(jié)構(gòu)，即使在很小的尺寸下，該函數(shù)模型也具有相同的粗糙度，因此這種分形表面為多測(cè)度表面. 由于自然界中實(shí)際的粗糙表面一般既不是純隨機(jī)的也不完全是純周期的，且經(jīng)常各向異性，因此式(1)是構(gòu)建自然界分形粗糙面物理模型比較好的選擇. 當(dāng)N=6,M=10,b=1.8不同分維下的二維分形表面模型如圖1所示. 由圖可見，當(dāng)二維帶限Weierstrass函數(shù)中主要參數(shù)b、N、M不變時(shí)，二維分形表面的粗糙程度主要由分維D決定.

2分形表面散射場(chǎng)

基爾霍夫近似理論又稱為切平面近似，被廣泛用來分析表面散射問題，它是將粗糙曲面用局部切平面代替，由菲涅爾反射定律獲得切平面總場(chǎng)，從而近似計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng). 本文利用基爾霍夫近似理論分析二維分形粗糙面散射特性，散射幾何示意圖如圖2所示.

為了推導(dǎo)二維粗糙面的散射場(chǎng)，現(xiàn)作如下假設(shè)：散射遠(yuǎn)場(chǎng)作為觀測(cè)點(diǎn)，入射波為單一平面波，平面上任意一點(diǎn)具有有限坡度，反射系數(shù)為常數(shù)，粗糙面單向尺寸遠(yuǎn)大于入射波長(zhǎng). 此時(shí)散射場(chǎng)矢量ψsc(r)表達(dá)式可通過入射角θ1、散射天頂角θ2和散射方位角θ3等表示為[10-11]

∫exp[ikφ(x0,y0)]dx0dy0+ψe.

(2)

其中:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(a) D=2.3

(b) D=2.9

圖2　 二維帶限分形粗糙面散射幾何示意圖

(11)

式中：Ψe為邊緣效應(yīng)； (x0,y0)為二維分形表面上任意一點(diǎn)，且滿足-Lx≤x0≤Lx, -Ly≤y0≤Ly；

2.1散射場(chǎng)的平均散射系數(shù)

二維分形粗糙面的散射系數(shù)ρψ定義[12-13]為

(12)

式中ψsc0(r)指近光滑分形表面鏡像方向的散射場(chǎng)強(qiáng),

(13)

令

(14)

2.2散射場(chǎng)的平均強(qiáng)度系數(shù)

散射場(chǎng)的平均強(qiáng)度定義為

(15)

(16)

(17)

3散射特性分析

圖3(a)～3(d)描述了由式(17)給出的平均強(qiáng)度數(shù)值結(jié)果，其中b=1.8, D=2.5, δ=0.05λ,θ1=30°, K=0.5λ-1, Lx=30λ. 圖3(a)和3(b)表示的是正弦光柵和各向同性表面結(jié)合的各向異性表面的平均強(qiáng)度系數(shù)；圖3(c)和3(d)表示的僅僅是一種各向同性表面的平均強(qiáng)度系數(shù). 由于這4個(gè)表面有相同的均方根高度，相同的入射角和波長(zhǎng)，因此，在鏡像方向上這兩種散射強(qiáng)度具有基本相同的特定值. 圖3(a)和3(b)、圖3(c)和3(d)表明，N的變化對(duì)平均強(qiáng)度系數(shù)影響不大，各峰值的分布位置基本不變，只有微小的峰值變化，且當(dāng)M較小時(shí) ，散射主要集中在特定平面和特定方向上及其附近的區(qū)域；對(duì)比圖3(a)和圖3(d)可得，隨著M的增大，在鏡向反射點(diǎn)以外會(huì)出現(xiàn)越來越多的旁瓣分量，且分量的幅值是增大的. 由圖3的4個(gè)分圖可以看出，隨著分形表面各向同性分量的增加，更多的散射強(qiáng)度分量出現(xiàn)在非鏡像方向和沿著θ2的垂直平面方向上，鏡像方向上的散射對(duì)于探求分形參數(shù)對(duì)散射場(chǎng)不同影響有重要意義[14].

由散射場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)參量定義，可推得表征與平均散射場(chǎng)均方根高度相關(guān)的強(qiáng)度系數(shù)σI為

(18)

(a) N=5, M=10

(b) N=10, M=10

(c) N=10, M=20

(d) N=20,M=20

(a) D=2.1

(b) D=2.8

顯然σI代表的是強(qiáng)度相關(guān)的非相干分量平均值，它主要用來分析除鏡像以外的散射場(chǎng)，分形參量對(duì)其有顯著的影響. 采用式(18)的優(yōu)點(diǎn)在于只需考慮散射場(chǎng)和散射強(qiáng)度的平均效應(yīng)，而無需考慮較難獲得的散射波前相位項(xiàng)的影響. 根據(jù)式(18)可將參數(shù)選擇為b=1.8, N=5, M=10, D=2.5, δ=0.05λ, 然后選擇4種不同的散射形式(K=0.01λ-1,0.1λ-1,λ-1和10λ-1)對(duì)應(yīng)如圖5所示.

對(duì)于K≤0.01λ-1,如圖5(a)所示，散射場(chǎng)的高頻分量集中在鏡像方向，對(duì)于這種表面而言，非鏡像方向散射強(qiáng)度會(huì)迅速下降，與近光滑表面散射特性基本相同，入射波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于若干個(gè)空間周期，計(jì)算結(jié)果趨近于幾何光學(xué)近似. 當(dāng)K≥10λ-1對(duì)應(yīng)圖5(d)，空間周期遠(yuǎn)小于入射波長(zhǎng)，此時(shí)散射不滿足基爾霍夫近似的條件，散射場(chǎng)的均方根高度δ處處很小，該方法計(jì)算結(jié)果不可信，這種散射特性與完全均勻表面接近，此時(shí)入射波波長(zhǎng)可以看成“小棍”用來測(cè)量粗糙表面. 對(duì)于0.01λ-1

(a) K=0.01λ-1, Lx=100λ

(c) K=λ-1, Lx=30λ

(b) K=0.1λ-1, Lx=100λ

4結(jié)論

1)在采用二維帶限Weierstrass分形函數(shù)模擬二維分形粗糙面的基礎(chǔ)上，利用基爾霍夫近似研究了該粗糙面的平均散射系數(shù)和散射強(qiáng)度系數(shù). 結(jié)果表明，對(duì)于微觀高度表達(dá)式中的每一個(gè)參量都影響著二維分形表面的散射特性，諧波數(shù)N、M和空間波數(shù)K都決定著散射場(chǎng)中旁瓣分量的位置和大小，應(yīng)當(dāng)注意K的選取與波長(zhǎng)有關(guān).

2)諧波數(shù)N和M也不能太小，否則粗糙表面將會(huì)變得很光滑，分形特性無法顯現(xiàn). 分析結(jié)果可用于粗糙面遙感和測(cè)量等研究，同時(shí)也可用于粗糙表面的分類以及根據(jù)所測(cè)得的不同形式散射場(chǎng)重構(gòu)粗糙表面等逆問題.

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(編輯魏希柱)

Electromagnetic scattering on two-dimensional fractal rough surface

QI Chao， LIU Weijian， ZHANG Lei， QUAN Yong

(School of Electrical Engineering and Automation, Harbin Institute of Technology, 150001 Harbin, China)

Abstract:In order to further study the interaction mechanism and the physical nature between detection signal from electromagnetic waves and light waves and the background of irregular surface, which provided scattered model for the detection of radar target and the remote sensing of irregular surface. Two-dimensional band-limited Weierstrass function is used to simulate two-dimensional fractal rough surface. Two-dimensional rough surface scattering field is deduced based on the Kirchhoff approximation. The electromagnetic scattering coefficient and the average intensity coefficient of the rough surface is obtained under the HH polarization. The relationship between scattering characteristics and the harmonic number, the incident wavelength and dimension of fractal surface is discussed through theoretical analysis and numerical calculation. The results show that with the harmonic number and fractal dimension increases, apart from the mirror reflection point, the scattering intensity of the amplitude and its high-frequency component is increased. It provided scattering data for refactoring related statistical parameters of rough surface according to the scattering intensity.

Keywords:fractal surface; electromagnetic scattering; scattering coefficient; average intensity; intensity coefficient

中圖分類號(hào):O436.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0367-6234(2016)03-0015-05

通信作者:齊超, qichao@hit.edu.cn.

作者簡(jiǎn)介:齊超(1970—),女, 博士, 教授.

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金(61178066)；

收稿日期:2015-04-17.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.03.003

黑龍江省自然科學(xué)基金(F201013).