陳　飛

(江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心變速箱研究院，安徽 合肥 230601)

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·機(jī)電工程·

基于Hertz接觸理論的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)解析建模

陳飛

(江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心變速箱研究院，安徽 合肥 230601)

摘要：為研究滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性，基于Hertz接觸理論，從分析單個(gè)滾珠與溝槽的接觸入手，在綜合考慮滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)特點(diǎn)基礎(chǔ)上建立靜力學(xué)模型，并對(duì)其垂直方向剛度進(jìn)行理論求解；然后運(yùn)用CoFEM模型對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而分析不同外載荷及預(yù)緊力對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明：在不同外載荷作用下，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性性質(zhì)；增加預(yù)緊力可顯著增加系統(tǒng)的剛度，從而提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：直線導(dǎo)軌；靜力學(xué)；分析模型；赫茲接觸理論

滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副由于定位精度高、容許負(fù)載大、剛度高、變形小等突出特點(diǎn)，在高精度數(shù)控機(jī)床中得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。為實(shí)現(xiàn)高精度、高剛度、易保養(yǎng)等特點(diǎn)，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，主要由軌道、滑塊、滾珠、端蓋板、鋼珠保持架及其他附件組成，如圖1所示。滾珠在軌道與滑塊溝槽之間連續(xù)滾動(dòng)，使得滑塊相對(duì)于軌道發(fā)生直線運(yùn)動(dòng)，將傳統(tǒng)軌道與滑塊之間的滑動(dòng)變?yōu)闈L珠與溝槽之間的滾動(dòng)，大大減小了摩擦力的作用，從而減小磨損，延長(zhǎng)使用壽命。滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副中，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間存在大量的接觸作用。接觸作用為一種典型的強(qiáng)非線性行為，很難獲得滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副準(zhǔn)確的支撐剛度。本文針對(duì)滾珠與溝槽之間的接觸作用，應(yīng)用Hertz接觸理論對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的接觸剛度進(jìn)行理論求解，此思路為滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的設(shè)計(jì)與選擇提供借鑒。

目前，很多學(xué)者對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性進(jìn)行了研究。Dhupia 等[5]通過(guò)實(shí)驗(yàn)并結(jié)合Hertz接觸理論，獲得了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)模型及其剛度; Ohta 等[6]借助有限元方法并應(yīng)用Hertz接觸理論，獲得了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的支撐剛度。為建立準(zhǔn)確的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型，以上2種方法分別借助實(shí)驗(yàn)方法及有限元方法對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了修正。Dadalau 等[7]應(yīng)用有限元理論，建立了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的CoFEM模型，并應(yīng)用該模型分析滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性。文獻(xiàn)[8-9]利用Hertz接觸理論，首先建立了單個(gè)滾珠-溝槽接觸模型，并將此模型應(yīng)用于整體模型，通過(guò)解析方法求解滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)剛度。他們認(rèn)為在不同載荷作用下，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的接觸角不發(fā)生變化。Wu 等[10]和Hung[11]將滾珠與軌道及滑塊溝槽之間的接觸作用應(yīng)用彈簧單元代替，獲得滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的接觸剛度。雖然滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的整體剛度很大，但是將強(qiáng)非線性的接觸剛度應(yīng)用彈簧單元來(lái)代替，不能準(zhǔn)確反映滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副力學(xué)特性。

本文以典型結(jié)構(gòu)的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副為研究對(duì)象，應(yīng)用Hertz接觸理論，建立滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)解析模型，并應(yīng)用該模型對(duì)其垂直方向剛度進(jìn)行理論求解。首先，根據(jù)Hertz接觸理論建立單個(gè)滾珠-溝槽接觸模型；然后，將單個(gè)滾珠-溝槽接觸模型引入整個(gè)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的模型中，建立整體解析模型；最后，應(yīng)用CoFEM模型，驗(yàn)證本文所建模型的正確性。

1滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副接觸模型

根據(jù)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)，建立如圖2所示力學(xué)模型。圖中1、2、3、4分別代表4排滾珠，為便于分析，認(rèn)為滾珠均勻排列于導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間，每排溝槽中參與接觸的滾珠數(shù)量相同(均為n)，在垂直載荷的作用下，假設(shè)同一排滾珠受力情況一致，因此，可選擇導(dǎo)軌系統(tǒng)中一截面的4個(gè)滾珠及溝槽為對(duì)象進(jìn)行分析。在初始預(yù)緊力的作用下，滾珠與溝槽接觸發(fā)生彈性變形且變形量相同，使每排滾珠均處于被壓狀態(tài)，如圖2所示。

圖2　滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副接觸模型(外載荷P=0)

為獲得具有高剛度特點(diǎn)的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副，往往需要施加一定的預(yù)緊力。在預(yù)緊力的作用下，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間產(chǎn)生接觸壓力Q0，在接觸壓力的作用下，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊的接觸面產(chǎn)生局部變形δ0,根據(jù)文獻(xiàn)[8- 9, 12],可得

(1)

式中

其中：δc0,δr0分別為僅在預(yù)緊力作用下滾珠與滑塊及軌道溝槽接觸所產(chǎn)生的彈性變形量；E1、E2、ν1、ν2分別為滾珠、導(dǎo)軌及滑塊材料的彈性模量(GPa)和泊松比；μ為Hertz系數(shù)；∑ρ為綜合曲率(mm-1)。由于滑塊與軌道的材料參數(shù)與幾何參數(shù)相同，所以其變形量相等，即δc0=δr0。

根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到每排軌道溝槽曲率中心與滑塊溝槽曲率中心的中心距s0，為

s0=2r-d0+δ0=m0+δ0。

(2)

由于rr、rc及d0對(duì)于具體的導(dǎo)軌系統(tǒng)而言均是常量，為計(jì)算方便，引入導(dǎo)軌系統(tǒng)幾何參數(shù)m0。

圖3　外載荷作用下，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副接觸模型(P>0)

圖4　溝槽中心位置(P>0)

當(dāng)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副受到垂直載荷作用(P>0)時(shí)，假設(shè)導(dǎo)軌不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，滑塊將產(chǎn)生豎直向下的位移v，由于滑塊被視為剛體，滑塊各排溝槽的曲率中心的位移為v，每排單個(gè)滾珠的受力Qi(i=1,2,3,4)發(fā)生變化，每排滾珠的接觸角γi(i=1,2,3,4)發(fā)生相應(yīng)的變化，從而每排導(dǎo)軌及滑塊溝槽中心距si(i=1,2,3,4)發(fā)生變化，如圖3、圖4所示。根據(jù)圖4可以得出以下幾何關(guān)系：

(3)

根據(jù)式(3)，可以得到1、4排導(dǎo)軌及滑塊溝槽中心距s1、s4及接觸角γ1、γ4：

(4)

根據(jù)中心距與滾珠彈性變形的關(guān)系，可得：

(5)

根據(jù)滾珠與溝槽接觸模型，可得：

(6)

由于同一排溝槽中的滾珠的受力情況是一致的，則根據(jù)牛頓力學(xué)原理，可得

(7)

根據(jù)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的對(duì)稱性，可知Q1=Q2,γ1=γ2；Q3=Q4,γ3=γ4。式(7)可化簡(jiǎn)為

(8)

根據(jù)式(3)—(8)可以得到垂直載荷P與滑塊變形v之間的關(guān)系式，為

(9)

由式(9)可以看出，在垂直外載荷作用下，有預(yù)緊的直線滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)的垂直變形v與垂直載荷P的關(guān)系不是線性關(guān)系。

隨著垂直載荷P的增大，滑塊各溝槽的曲率中心向下運(yùn)動(dòng)，上排滾珠的變形量δ1、δ2逐漸變大，局部載荷Q1、Q2增大，而下排滾珠的變形量δ3、δ4逐漸減小，局部載荷Q3、Q4減??；當(dāng)δ3=δ4=0(或Q3=Q4=0)時(shí)，導(dǎo)軌系統(tǒng)達(dá)到臨界狀態(tài)；隨著垂直載荷P的繼續(xù)增大，下排滾珠失去作用，由上排滾珠實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌系統(tǒng)的支撐作用。

將δ4=0代入式(4)和式(5)可以得到滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副達(dá)到臨界狀態(tài)的滑塊的位移量

(10)

將vc代入式(9)得到導(dǎo)軌系統(tǒng)的臨界載荷

(11)

當(dāng)P>Pc時(shí)，下排滾珠失去支撐作用，垂直載荷P與滑塊垂直位移v的關(guān)系為

(12)

根據(jù)剛度與載荷、變形的關(guān)系，可以得到滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的平均垂直剛度

KR=P/v。

(13)

2仿真驗(yàn)證與分析

2.1仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建模型的可行性，以文獻(xiàn)[9]所選擇的滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副SHS-35為研究對(duì)象進(jìn)行分析，并采用文獻(xiàn)[9]中的CoFEM模型驗(yàn)證本文所建模型的正確性。滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的主要參數(shù)如表1所示。

表1　滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)參數(shù)

由表1及文獻(xiàn)[12]可得，∑ρ=0.327 mm-1,μ=0.634；因此，可計(jì)算得到參數(shù)C=0.122 μmN3/2。

圖5示出采用本文所建滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)解析模型及CoFEM模型的分析結(jié)果。在不同的載荷作用下，滾動(dòng)直線副的位移不同。根據(jù)上節(jié)分析可知，由于接觸非線性特性的存在，隨著載荷的增加，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的位移不是線性增加的。圖5(a)為本文所建解析模型與有限元模型的分析結(jié)果?？梢钥闯觯弘S著載荷的增加，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的位移的確不是線性增加的，與分析結(jié)果一致；解析模型與有限元模型的分析結(jié)果基本一致。這說(shuō)明本文所建滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的解析模型是正確的。圖5(b)為不同載荷作用下，剛度與位移的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度曲線存在2個(gè)明顯不同的階段：在臨界位移之前，隨著位移的增加，剛度逐漸減?。划?dāng)位移大于臨界位移時(shí)，即v>vc，剛度隨著位移的增加而增大。可見(jiàn)，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度與位移關(guān)系曲線的變化趨勢(shì)與上節(jié)分析結(jié)果一致。在臨界位移之前，2種方法所得到的剛度存在一定的誤差；但是，當(dāng)位移超過(guò)臨界位移以后，2種方法所得到的剛度基本一致。由此可以充分說(shuō)明本文提出滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

(a)位移-載荷曲線

(b)位移-剛度曲線

2.2外載荷和預(yù)緊力的影響

通過(guò)上節(jié)仿真驗(yàn)證，說(shuō)明本文所建滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型的正確性。本節(jié)應(yīng)用所建靜力學(xué)模型分析外載荷及預(yù)緊力對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的影響。本文采用預(yù)緊力Q0分別為186.9、373.8、560.7 及747.6進(jìn)行分析。圖6示出不同載荷及預(yù)緊力對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。其中，圖6(a)為位移-載荷曲線，圖6(b)為載荷-剛度曲線。首先，分析載荷對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。可以看出，不同預(yù)緊力條件下，外載荷的影響是基本相同的。當(dāng)位移小于1 μm時(shí)，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度基本保持不變；當(dāng)位移小于臨界位移時(shí)，位移-載荷曲線隨著載荷的增加，斜率逐漸減小，剛度相應(yīng)的減小；當(dāng)位移大于臨界位移時(shí)，隨著載荷的增加，位移逐漸變大，位移-載荷曲線斜率逐漸增大，剛度也隨著增大?？梢?jiàn)，隨著外載荷的不同，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì)。

接下來(lái)，分析預(yù)緊力對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。從圖6(a)位移-載荷曲線可以看出，無(wú)論位移是位于臨界位移之前還是之后，在相同的外載荷作用下，隨著預(yù)緊力的增加，位移逐漸減小。在相同的載荷條件下，隨著預(yù)緊力的增加，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度逐漸增大。當(dāng)載荷小于臨界載荷時(shí)，隨著載荷的增加，不同預(yù)緊力作用下的剛度差基本保持不變；當(dāng)載荷大于臨界載荷時(shí)，隨著載荷的增加，不同預(yù)緊力作用下的剛度差逐漸減小。從分析結(jié)果可知，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度受到外載荷及預(yù)緊力的影響。

(a)位移-載荷曲線

(b)載荷-剛度曲線

圖7示出滾珠與溝槽接觸局部受力情況。其中，圖7(a)示出上排滾珠與溝槽接觸局部接觸力Q1的變化情況；圖7(b)示出下排滾珠與溝槽接觸局部接觸力Q2的變化情況。從圖7(a)可以看出，隨著載荷的增加，上排滾珠局部接觸力逐漸增加，且斜率逐漸增加，與分析結(jié)果一致，單個(gè)滾珠與溝槽的接觸同樣表現(xiàn)出非線性。當(dāng)載荷小于臨界載荷時(shí)，增大預(yù)緊力，上排滾珠的局部接觸力增加；當(dāng)載荷大于臨界載荷時(shí)，上排滾珠的局部接觸力是一樣的，但是由于位移隨著預(yù)緊力的增加而減小(見(jiàn)圖6)，整體剛度增加。從圖7(b)可以看出，隨著載荷(位移)的增加，下排滾珠的接觸力逐漸減小，當(dāng)達(dá)到臨界載荷(位移)時(shí)，減為0。隨著載荷(位移)繼續(xù)增加，下排滾珠的接觸力始終為0，不發(fā)生變化。隨著預(yù)緊力的增加，下排滾珠接觸力變?yōu)?時(shí)的載荷(位移)增加，即臨界(載荷)位移增加，與整體分析得出相同的結(jié)論。從上述分析可知，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì)，以及增加預(yù)緊力以增加系統(tǒng)剛度的原因?yàn)閱蝹€(gè)滾珠與溝槽接觸的非線性及接觸的不可拉伸性。

(a)載荷-接觸力Q1曲線

(b)載荷-接觸力Q4曲線

3結(jié)論

本文基于Hertz接觸理論，在充分考慮滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，建立滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)解析模型，并應(yīng)用該模型對(duì)其垂直方向剛度進(jìn)行理論求解，采用CoFEM方法對(duì)所建模型進(jìn)行了驗(yàn)證，從而證明了本文所建滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型的正確性。最后，應(yīng)用該模型分析了外載荷及預(yù)緊力對(duì)滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明： 1)在不同的外載荷條件下，滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì); 2)增加預(yù)緊力可以顯著增加滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的剛度，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 3)單個(gè)滾珠與溝槽的接觸非線性和接觸本身的不可拉伸性決定了滾動(dòng)直線導(dǎo)軌副的分段非線性的性質(zhì)，為增加預(yù)緊力可提高系統(tǒng)剛度提供了理論參考。

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(編校：饒莉)

Static Analytical Modeling of Linear Guide Based on Hertz Contact Theory

CHEN Fei

(JianghuaiAutomobileCompanyTechnicalCenterTransmissionR&DAcademy，Hefei230601China)

Abstract:To study the static characteristic of the linear guide , the ball-groove contact model is developed based on the Hertz contact theorem. By using the ball-groove contact model, the analytical static mode of the linear guide is established. Moreover, the CoFEM model is utilized to verify the feasibility of the proposed analytical model . Finally, the effects of load and preload on the static model are discussed based on the analytical model. The results indicate that the linear guide has piecewise-nonlinear characteristic in different loads. Additionally, the stiffness of the linear guide can be increased significantly by increasing the preload on the system as well as the stability.

Keywords:linear guide; static; analytical modeling; Hertz contact theory

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.02.008

中圖分類號(hào)：TH132

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-159X(2016)02-0039-5

作者簡(jiǎn)介：陳飛(1988—)，男，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)。E-mail：13721051629@163.com

收稿日期：2015-10-29