雷小華
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 集合A={x | x-10<0},B={x | x=3n+1, n∈N},則A∩B=
( )
A. ?準(zhǔn) B. {4, 7} C. {4, 7, 10} D. {1, 4, 7}
2. 已知命題p:?堝∈R,sin=;命題q:?坌x∈R,x2+1>x,則下列命題為假命題的是( )
A. p∨q B. ?劭 p∨?劭 q C. ?劭 p∨q D. p∨?劭 q
3. 復(fù)數(shù)z =(i是虛數(shù)單位,x∈R),則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點( )
A. 位于x軸上方 B. 位于x軸下方
C. 位于y軸左方 D. 位于y軸右方
4. 若函數(shù)f(x)+g(| x |)是R上的偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是( )
A. f(x)必為偶函數(shù) B. f(x)必為奇函數(shù)
C. g(x)必為偶函數(shù) D. g(x)必為奇函數(shù)
5. 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0) 的漸近線方程為y=±,則雙曲線C的離心率為( )
A. B. 2 C. D. 3
6. 已知x,y滿足約束條件x+y-1≤0,x-y+1≥0,y≥0,記z = ax+y(a>0) 的最大值與最小值分別為M與N,若M+N=0,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. {1} B.[1, 2]
C.[1, 3] D.[1, +∞)
7. 執(zhí)行如圖1所示的程序框圖輸出的結(jié)果是( )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
8. 如圖2,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1厘米),圖中粗線畫出的是某三棱錐的正視圖(主視圖)、側(cè)視圖(左視圖)、俯視圖,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
9. 函數(shù)f(x)=x(x+a)+b(a∈R, b∈R),若方程f(x) = 0有實數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在非負(fù)零點的概率為( )
A. B. C. D.
10. 等差數(shù)列{ an } 中,已知a1=lg2,21a1+a100=11,則a5+a6=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 以BC為直徑的半圓O與直角三角形ABC共面,如圖3,已知BC=2,AB⊥AC, ∠ACB=30°,點P是半圓上的任一點,設(shè)∠BOP=(0≤≤?仔),f()=(+)·,則函數(shù)f()的圖像為( )
12. 已知n∈N?鄢,直線Ln:y=k(x-n2)(k>0)與拋物線Cn:y2=4n2x相交于An、Bn兩點,記AnBn兩點間的距離為dn,d=,則當(dāng)n與k均趨向于無窮大時,d的取值范圍為( )
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,1)
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個試題考生都必須作答. 第22題~第24題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題:本大題共4小題.每小題5分.
13. 已知{ an } 是公比為的等比數(shù)列,Sn為{ an } 的前n項和. 若S3=57,則a4= .
14. 若函數(shù)f(x) = x3+mx在x = m處的切線與x軸相交于點(2m, 0),則實數(shù)m= .
15. 我國著名數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》一書中有計算“三角垛”(圖4)物體總數(shù)的題目:“三角垛,下廣,一面一十二個,上尖,問:計幾何?答曰:三百六十四個. 術(shù)曰:下廣加一乘之,平積,下廣加二乘之,立高方積,如六而一”,意思就是:“有一個三角垛,底層每條邊上有12個物體,上面是尖的(只有1個物體),問:總共有多少個物體?答案是:364個. 計算方法是:用12加1的和乘12,作為底面的面積,再用12加2作為高來乘,得到一個長方體的體積,取它的6分之1,就是這道題目的解.” 推而廣之,如果用表示“三角垛”的層數(shù),也就是底層每條邊上物體的個數(shù),用Sn表示物體總數(shù),就得到“楊輝三角垛公式”:Sn=,用這個公式,就能很方便地算出,“三角垛”中物體的總數(shù).
現(xiàn)有“正方垛”(圖5)自上而下,第1層12個,第2層22個,第3層32個,…,這里仍然用n表示“正方垛”的層數(shù),用Tn表示物體總數(shù),則“正方垛公式”Tn=Sn+ . 化簡即為Tn=,即〔12+22+32+…+n2=〕.
16. 已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1, x≤0-log2(x+),x>0 若a
三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)在?駐ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c. 已知=.
(1)求的值;
(2)若cosB=,?駐ABC周長為(4+),求?駐ABC的面積.
18.(本小題滿分12分)某城市為了解道路交通狀況,工作人員在市內(nèi)隨機(jī)選取處路段,在某段測試的時間內(nèi)記錄到機(jī)動車的通行數(shù)量情況如下(單位:輛):
147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 164 159 189 168 169
(1)完成頻數(shù)分布表,并作出頻率分布直方圖;
(2)如果機(jī)動車通行數(shù)量與道路交通狀態(tài)的關(guān)系如圖6,現(xiàn)用分層抽樣的方法從“擁擠”以上的路段中抽取7處給以改造,從中選2處安裝智能交通信號燈,那么阻塞路段被安裝智能交通信號燈的概率是多少?
19.(本小題滿分12分)如圖7,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°,BC=2,對角線的交點為O,面ABD繞BD向上旋轉(zhuǎn)至EBD,使點E在底面的射影為AO的中點F. CG⊥面ABCD,CG=1.
(1)證明:平面EBD⊥平面GBD;
(2)求三棱錐E-BDG的體積.
20.(本小題滿分12分)直線l:y=x+m(m>0),橢圓C:+=1(a>)的長軸長為4,橢圓的左右焦點分別為F1、F2 . 已知直線與橢圓相切,切點為N.
(1)求a、m的值;
(2)設(shè)M是直線l上的任意一點,當(dāng)·取得最小值時,求線段 | MN | 的長.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e2x-2ax.
(1)若曲線f(x)在某點(x0, f(x0))處的切線恰為x軸,試求a的值;
(2)討論f(x)的零點個數(shù).
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答,注意:只能做所選定的題目. 如果多做,則按所做的第一個題目計分.
22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講
如圖9,AB是⊙O的直徑,AB=BC,CT、ED分別是⊙O的切線,切點分別為T、D.
(1)求證:DE⊥BC;
(2)若∠BAC=30°,BE=,試求切線CT的長.
23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系. 已知曲線C1:x=-1-t,y=2+t(t為參數(shù)),C2:x=2cos?茲,y=2sin?茲(?茲為參數(shù)).
(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=-,Q為C2上的動點,求PQ的中點M到直線L:2ρcos?茲+2ρsin?茲+3=0的距離的最大值.
24.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)= | x-a |-2 | x-3a |(a>0) .
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于,求a的取值范圍.
2016年普通高等學(xué)校招生
全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)模擬試題
參考答案
一、選擇題
1.【答案】選D. 由A={x | x<10},故A∩B={1,4,7},故選答案D.
2.【答案】選B. 由p真q真可知:?劭 p∨?劭 q為假命題. 故選答案B.
3.【答案】選D. z =====i,顯然實部大于零,故復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于y軸右方,故選答案D.
4.【答案】選A. 由函數(shù)f(x)+g(| x |)是R上的偶函數(shù)可知,f(x)必為偶函數(shù). 而對于g(x),可為偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù).故選答案A.
5.【答案】選C. e2==1+=3,所以e=. 故選答案C.
6.【答案】選D. zmin=-a,若要M+N=0,則需a∈[1, +∞).故選答案D.
7.【答案】選B. 直到n=5,y=32-25=7>1跳出循環(huán). 故選答案B.
8.【答案】選A. 還原該幾何體,如圖10.
該幾何體的體積為VA-BCD=·SBCD·h=×××7×7=, 故選答案A.
9.【答案】選C. 方程f(x)=0即為x(x+a)+b=0,即x2+ax+b=0,若有實數(shù)解,則必有?駐=a2-4b≥0,即b≤a2. 若函數(shù) f(x)存在非負(fù)零點,則需a≤0. 從圖形看出滿足題意的概率為. 故選答案C.
10.【答案】選A. 由條件可得:a100=11-21lg2. 故d==(1-2lg2),所以a5+a6=2a1+9d=2lg2+9×(1-2lg2)=1. 故選答案A.
11.【答案】選A. 以CB所在的直線為x軸,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系. 則P(cos, sin),A(, -),由+=2=(-1, ),=cos-, sin+,所以f()=(-1, )·cos-, sin+=sin-cos+2=2sin(-)+2(0≤≤?仔).
故應(yīng)答案在A、C中,因0≤≤?仔,所以sin(-)∈[-,1],故f()∈[1, 4],故答案選A.
12.【答案】選C. 拋物線Cn:y2=4n2x的焦點坐標(biāo)為Fn(n2, 0),直線Ln:y=k(x-n2)(k>0)過定點Fn(n2, 0). 聯(lián)立直線與拋物線組成方程組,y=k(x-n2),y2=4n2x, 消元得:
k2x2-2n2(k2+2)x+k2n4=0,設(shè)An(xn ′, yn ′)、Bn(xn ″, yn ″),則:
dn=| An Bn |=xn ′+xn ″+2n2=4n2·. 故d=·,當(dāng)k趨向于無窮大時,
d=<[1+++…+]=(2-)→,故的范圍為,選C.
d=>[++…+]=(1-)→,故d的范圍為(,) ,選C.
二、填空題
13.【答案】8.由S3==57,得a1=27.故a4=a1·()3=27×=8.
14.【答案】0或-. f′(x)=3x2+m,故f′(m)=3m2+m,
f(m)=m3+m2,切線方程為:y-(m3+m2)=(3x2+m)(x-m),由于過點(2m,0),故有0-(m3+m2)=(3m2+m)(2m-m),解得:m=0或m=-.
15.【答案】Sn-1(或).正方垛可化為兩個三角垛,層數(shù)相差一層,故填Sn-1.
16.【答案】(-2,-),由于a+b=-2為定值,且c∈(0,),故a+b+c∈(-2,-).
三、解答題
17.解析:(1)由正弦定理,設(shè)===k
則==…………1分
所以=…………2分
即(cosA-cosC)sinB=(sinC-sinA)cosB,……3分
化簡可得sin(A+B)=sin(B+C),…………………5分
又A+B+C=?仔,
所以sinC=sinA,因此=,即=………………6分
(2)由(1)得:c=a. 由余弦定理得:
b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2×a2×=2a2………8分
所以b=a,因a+b+c=4+,故a=,因此b=2.………………10分
由S△BDG=acsinB=××2×=……………12分
18. 解析:(1)
……………………………………………2分
……………6分
(2)“擁擠”以上的路段共處,用分層抽樣的方法抽取7處給以改造,則擁擠、很擁擠、阻塞三路段各被抽出4條、2條、1條.用事件A1、、A2、、A3、A4表示被選中的“擁擠”路段,用事件B1、B2表示被選中的“很擁擠”路段,用事件C表示被選中的“阻塞”路段,則從這7處中選2處安裝智能交通信號燈的基本事件有
(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,A4)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,C);(A2,A3)、(A2,A4)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,C);(A3,A4)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A3,C);(A4,B1)、(A4,B2)、(A4,C);(B1,B2)、(B1,C);(B2,C)共21種情況…………………………9分
其中符合要求的有(A1,C)、(A2,C)、(A3,C)、(A4,C)、(B1,C)、(B2,C)共6種………10分
所以阻塞路段被安裝智能交通信號燈的概率是:P==…………12分
19. 解析:(1)連接OE、OG,由四邊形ABCD為菱形,故AC⊥BD,BO=OD.由∠ABC=120°,BC=2,故AO=OC=,BO=OD=1…………2分
由點E在底面的射影為AO的中點F,即EF⊥面ABCD,因FO?奐面ABCD,故EF⊥FO,由EO=2FO,故cos∠FOE==,所以∠FOE=60°……………4分
因CG⊥面ABCD,CO?奐面ABCD,故CG⊥OC.在△COG中,tan∠COG===,所以∠COG=30°…………………………………6分
由EF⊥面ABCD,CG⊥面ABCD,故E,F(xiàn),O,C,G共面,所以∠EOG=180°-60°-30°=90°.
由△CBG?艿△CDG得BG=DG,故OG⊥BD. 根據(jù)二面角的平面角定義可知,∠EOG即為二面角E-BD-G的平面角.
由∠EOG=90°,平面EBD⊥平面GBD………………8分
(2)由(1)可知:EO平面BDG,OG==2……………………9分
故三棱錐E-BDG的體積VE-BDG=S△BDG·OE=××2×2×=…………12分
20. 解析:(1)由2a=4得a=2………………………1分
聯(lián)立直線與橢圓的方程得y=x+m,+=1,消去y得:3x2+4mx+2m2-4=0…………………………3分
由于直線l與橢圓相切,故△=16m2-12(2m2-4)=0,解得:m=±,因m>0,所以m=……………………6分
(2)橢圓的左右焦點為F1(-,0)、 F2(,0) …………7分
設(shè)M(x,x+),則=(--x,-x-),=(-x,-x-),由·=(--x,-x-)·(-x,-x-)=2x2+2x+4=2(x+)2+1.
故當(dāng)x=-時,·有最小值.此時點M的坐標(biāo)為M(-,)…………10分
又由方程3x2+4x+12=0可知,N(,)…………………11分
故|MN|==…………………12分
21. 解析:(1)由f ′(x)=2e2x-2a=2(e2x-a), 故f ′(x0)=2(e2x0-a).
故切線方程為 y- f(x0)=2(e2x0-a)·(x-x0), 即y-(e2x0-2ax0)=2(e2x-a)·(x-x0)………………………2分
因為切線恰為x軸,故 e2x0-a=0,e2x0-2ax0=0 ………3分
消去x0,得a(1-lna)=0,解得:a=0或a=e ………4分
當(dāng)a=0時,f(x)=e2x,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增,不合,舍去,故a=e……………………5分
(2)①若a=0, 則f (x)=e2x=(e2)x, 函數(shù)f(x)無零點……6分
②若a<0,則f ′(x)>0, 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f ()=
e-1<1-1=0,故f(0)=1>0僅存在唯一零點………7分
③若a>0, 則f ′(x)=2(ex-)(ex+), 當(dāng)x∈(0,lna)時,f ′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f ′(x)>0,f (x)單調(diào)遞增;故函數(shù)f (x)的最小值為:
g(a)=f(lna)=e2×lna-2a×lna=a-alna(a>0)……8分
下面對f (x)的最小值g(a)作如下分析:
當(dāng)a→0+時,顯然g(a)=a-alna>0,
由g′(a)=-lna,當(dāng)a∈(0,1)時,g′(a)>0,g(a)單調(diào)遞增;當(dāng)a∈(1,+∞)時,g′(a)<0,g(a)單調(diào)遞減;又g(1)=1-1×ln1=1,g(e)=e-e×lne=0 ………………9分
故當(dāng)a∈(0,e)時,g(a)>0,函數(shù)f(x)無零點 ……10分
當(dāng)a=e時,g(a)=0,函數(shù)f(x)有唯一零點 ………11分
當(dāng)a∈(e,+∞)時,g(a)<0,函數(shù)f(x)有兩個零點.
綜上所述,f(x)的零點個數(shù)為:①當(dāng)a∈[0,e)時,f(x)無零點;②當(dāng)a<0或a=e時,f(x)有一個零點;③當(dāng)a∈(e,+∞)時,f(x)有兩個零點 ……12分
22. 解析:(1)連接OD,則OD⊥DE …………1分
連接BD,則AD⊥BD ……………2分
因為AB=BC,所以AD=DC ………………3分
又AO=OB,所以O(shè)D∥BC ………………4分
所以DE⊥BC ………………………5分
(2)若∠BAC=30°,則∠BDE=30° ………6分
由BE=,故DB=1,AD=DC= ………8分
由切割線定理得:CT2=CD·CA=×2=6 ……9分
所以CT= ………………………………………10分
23. 解析:(1)C1:x+y-1=0,過(1,0)、(0,1)兩點的一條直線 …………2分
C2:x2+y2=4,以原點為圓心,2為半徑的圓 ………4分
(2)當(dāng)t=-時,P(,). Q(2cos?茲,2sin?茲) ………5分
故M(+cos?茲,+sin?茲)…………………………6分
L為直線2x+2y+3=0 ……………………7分
∴點M到直線L的距離d==|cos?茲+sin?茲+| = |sin(?茲+)+|≤1+ …………9分
即當(dāng)?茲=2k?仔+,k∈Z時,d取得最大值1+ ……10分
(也可從圓心到直線的距離再加上圓的半徑這一思路入手,同樣可得)
24. 解析:(1)當(dāng)a=1時,不等式 f(x)>1 化為│x-1│-2│x-3│>1,
當(dāng)x≤1時,不等式化為x>6,無解;
當(dāng)1 當(dāng)x>3時,不等式化為x<4,解得3 所以f(x)>1的解集{x│ (2)由題意可得:f(x)=x-5a,x≤03x-7a,a 所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A(, 0), B(0, 2a), C(5a, 0),三角形的面積為 |5a-|·2a= ……9分 因為三角形的面積大于,故a的取值范圍為a>1 …………………………10分 責(zé)任編輯 徐國堅