劉斯禹 韓雪 郭天超

摘 要：本文對(duì)應(yīng)用MATLAB計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編寫李薩如圖形演示軟件進(jìn)行了研究，在介紹了李薩如圖形形成機(jī)理的基礎(chǔ)上，編寫了用于演示李薩如圖形的圖形用戶界面，實(shí)現(xiàn)了直接輸入振動(dòng)參數(shù)，直接繪圖得功能；并且可以直接對(duì)比有無(wú)阻尼的李薩如圖形的對(duì)比。直觀地分析出各參量的變化對(duì)于結(jié)果的影響與理論分析相吻合，并總結(jié)了李薩如圖形的實(shí)際應(yīng)用。圖形用戶界面可以有效地應(yīng)用于教學(xué)之中。

關(guān)鍵詞：李薩如圖形 MATLAB 圖形界面 頻率比 相位差

中圖分類號(hào)：O32 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）2（c）-0000-00

當(dāng)兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)相耦合時(shí)，振動(dòng)將為兩個(gè)振動(dòng)的疊加，其結(jié)果比一維振動(dòng)復(fù)雜得多。如果這兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率相同，則合成的總振動(dòng)可形成橢圓曲線，一些極端情況下還可能形成圓或直線；若兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率不同，且頻率比為整數(shù)比，則合振動(dòng)可形成封閉曲線，稱為李薩如圖形。若振動(dòng)頻率比不為整數(shù)，則合成的總不能形成穩(wěn)定的圖案。而兩個(gè)振動(dòng)的頻率比、初相位、相位差這些因素均會(huì)影響合振動(dòng)的軌跡形狀。將李薩如圖形繪制出來(lái)則可以比較直觀地看出這些因素如何影響軌跡形狀。MATLAB是美國(guó)Math Works公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理及計(jì)算軟件；本文采用MATLAB為工具，并編寫圖形用戶界面以繪制不同參數(shù)條件下的李薩如圖形，進(jìn)一步討論以上提及的多種因素對(duì)垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的影響以及實(shí)際的應(yīng)用。

1 基于MATLAB的李薩如圖形演示

1.1 李薩如圖形的形成

李薩如圖形中的點(diǎn)是兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，都可以用以下的公式表示：

由以上公式可以看出，李薩如圖形本質(zhì)上是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上振動(dòng)而形成的，其合成交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是李薩如圖形。但是，如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值，那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。然而，如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形，這就是李薩如圖形 [1] 。

1.2 李薩如圖形演示圖形用戶界面

本文利用MATLAB語(yǔ)言編寫了李薩如圖形演示圖形用戶界面，剛打開界面時(shí)的狀態(tài)如圖1所示 。在該圖左側(cè)有四個(gè)動(dòng)態(tài)文本框，從上到下分別獲取阻尼系數(shù)，水平方向振動(dòng)方程的振幅，頻率，初相。中間有兩個(gè)按鈕和三個(gè)動(dòng)態(tài)文本框，三個(gè)動(dòng)態(tài)文本框從上到下分別獲取豎直方向振動(dòng)方程的振幅，頻率，初相。按鈕的作用分別是繪圖和復(fù)位，并在圖片下方的兩個(gè)名為“水平方程”，“豎直方程”的靜態(tài)文本框中顯示出兩個(gè)垂直方向分運(yùn)動(dòng)的方程。圖片右側(cè)為兩個(gè)坐標(biāo)軸，上方的坐標(biāo)軸繪制無(wú)阻尼的李薩如圖形，下方的坐標(biāo)軸繪制考慮阻尼系數(shù)的李薩如圖形。在該圖中，我們可以清晰地看到有無(wú)阻尼系數(shù)的李薩如圖形的對(duì)比。點(diǎn)擊plot繪圖，得到圖2。

1.3 有無(wú)阻尼的李薩如圖形對(duì)比

以下，我們將對(duì)不同頻率比，不同相位差的李薩如圖形進(jìn)行對(duì)比研究其性質(zhì)。繪制出部分圖像見(jiàn)表1。從表中的對(duì)比可以明顯看出有無(wú)阻尼的李薩如圖形在軌跡上大致走向相同。而不同點(diǎn)在于，廣義李薩如曲線隨著時(shí)間的衰減使其最終歸到原點(diǎn)后停止，圖像將不是封閉曲線，也不像無(wú)阻尼李薩如圖形一樣具有明顯的對(duì)稱性。

在實(shí)際情況中，通常都存在著阻尼現(xiàn)象，因此有必要掌握廣義李薩如圖形的特征，以了解實(shí)際情況中的振動(dòng)參數(shù)。

2 李薩如圖形的應(yīng)用

通過(guò)研究李薩如圖形的特征性的圖像可以得知兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)參數(shù)，因而在測(cè)量振動(dòng)頻率等方面具有重要價(jià)值[3]。可以通過(guò)李薩如圖形的走向判斷兩分振動(dòng)的頻率比，通過(guò)頻率比可由已知頻率測(cè)量未知頻率，利用這種方法可進(jìn)行兩正弦電壓相位差的測(cè)量可達(dá)到很高的精確度。音叉頻率的測(cè)量也是利用這個(gè)原理，即用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)分運(yùn)動(dòng)，并不斷調(diào)節(jié)其運(yùn)動(dòng)頻率，直到合成運(yùn)動(dòng)是直線、橢圓或者圓，則音叉的頻率就和此時(shí)的信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的頻率相同[4]。還可以利用李薩如圖形驗(yàn)證普通物理教學(xué)中“相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)”[5]。利用李薩如圖形來(lái)檢測(cè)力平衡式加速度傳感器的動(dòng)態(tài)特性[2]。

3 結(jié)語(yǔ)

（1）利用MATLAB作為仿真平臺(tái)可以制作圖形用戶界面有效地模擬互相垂直不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，并繪出李薩如圖形。

（2）無(wú)阻尼的李薩如圖形具有周期性、對(duì)稱性。

（3）有阻尼振動(dòng)的廣義李薩如圖形具有縮減性、非對(duì)稱性等特點(diǎn)，在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)有很大的意義。

（4）物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的學(xué)科，其理論是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的[6]。由于實(shí)驗(yàn)條件有限，物理學(xué)中的許多內(nèi)容無(wú)法在課堂上直接用實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，給學(xué)生對(duì)理論的理解帶來(lái)了一定的困難。所以對(duì)物理實(shí)驗(yàn)的仿真十分適用于物理課堂。它形象生動(dòng)，感染力強(qiáng)。有利于講清概念，有助于我們理解和記憶。

（5）通過(guò)制作了本文中的圖形用戶界面，可以方便快捷地研究有無(wú)阻尼的李薩如圖形，直接地對(duì)比其差別；圖形用戶界面也方便應(yīng)用于課堂教學(xué)中。

參考文獻(xiàn)

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