田祎　樊景博

摘 要：浮點(diǎn)數(shù)是C語(yǔ)言中的一種數(shù)據(jù)類(lèi)型，但在標(biāo)準(zhǔn)C中并沒(méi)有給出其具體的描述，即數(shù)的存儲(chǔ)格式及表示范圍。部分經(jīng)典的C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程中給出了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍，但存在不嚴(yán)謹(jǐn)和值得商榷的地方。結(jié)合IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，就C語(yǔ)言中浮點(diǎn)數(shù)內(nèi)在存儲(chǔ)格式進(jìn)行分析并給出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：C語(yǔ)言；浮點(diǎn)數(shù)；表示范圍

中圖分類(lèi)號(hào)：TP313 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：The float is a data type in C language，but its in standard C and did not give a specific of description：that is the number of storage format and the scope of representation.Part of classically C language programming tutorial gives a range of floating-point represent，but there is not rigorous and need to discussion.Combined IEEE754 standards，provided analyzation and conclusions in C language in internal storage floating-point format.

Keywords：C language；floating-point；scope of representation

1 引言（Introduction）

浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算是科學(xué)計(jì)算必須面對(duì)的問(wèn)題，由于計(jì)算機(jī)內(nèi)部本身不能精確地處理某些整數(shù)或小數(shù)，因此在運(yùn)算時(shí)可能存在較大的誤差，運(yùn)算結(jié)果將直接影響到系統(tǒng)的可靠性和安全性等。C語(yǔ)言因功能強(qiáng)大、程序設(shè)計(jì)靈活且支持底層應(yīng)用，在科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，但C語(yǔ)言在浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算方面也存在數(shù)據(jù)表示的不精確性等問(wèn)題。經(jīng)典C語(yǔ)言并沒(méi)有對(duì)浮點(diǎn)數(shù)專(zhuān)門(mén)說(shuō)明，國(guó)內(nèi)很多教材雖述及浮點(diǎn)數(shù)，但也只是給出表示范圍，對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)的解釋尚不夠充分，描述尚不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因此學(xué)生在對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常存在這樣或那樣理解上的困惑。這里就浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍，結(jié)合IEEE754做進(jìn)一步的分析，為以后浮點(diǎn)數(shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)給出參考[1]。

2 浮點(diǎn)數(shù)的表示及范圍（The range of floating-point and representation）

總體而言，浮點(diǎn)數(shù)的表示形式一般格式指滿足一般的二進(jìn)制數(shù)機(jī)器碼（包括定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)）的規(guī)定規(guī)則；而IEEE754[2]格式則在一般格式上進(jìn)一步做了一些約定，以便表示數(shù)時(shí)比較方便和高效。

（1）一般表示法

其主要有兩種格式，分別如圖1和圖2所示。

一般浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)采用純小數(shù)（隱含位為0）來(lái)表示，即尾數(shù)M與定點(diǎn)小數(shù)表示方法相同，由于尾數(shù)的符號(hào)位決定整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)，故有時(shí)采用圖2的形式；當(dāng)尾數(shù)真值為0（不論階碼何值），或階碼的值比能在機(jī)器中表示的最小值還小，計(jì)算機(jī)把該浮點(diǎn)數(shù)看成零值，稱為機(jī)器零，即浮點(diǎn)數(shù)表示不了真值絕對(duì)值很接近0的數(shù)，只能看成0處理；尾數(shù)通常用原碼或補(bǔ)碼表示，階碼一般用移碼或補(bǔ)碼表示。因此其表示范圍如圖3所示。

3 C語(yǔ)言中浮點(diǎn)數(shù)的表示（C language representation of floating point numbers）

C語(yǔ)言所使用的浮點(diǎn)數(shù)符合IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)在1985年審核通過(guò)，目的是讓遵守IEEE標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)器之間運(yùn)行的程序可以相互直接移植，另外也讓程序員可以輕松寫(xiě)出有用的、魯棒的浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)用程序。

3.1 IEEE754

IEEE標(biāo)準(zhǔn)從邏輯上用三元組{S，E，M}表示一個(gè)數(shù)N[3]，如圖4所示。

IEEE標(biāo)準(zhǔn)754規(guī)定了三種浮點(diǎn)數(shù)格式：?jiǎn)尉?、雙精度、擴(kuò)展精度，分別對(duì)應(yīng)C語(yǔ)言里頭的float、double和long double。不同的編譯系統(tǒng)對(duì)long double型的處理方法不同，Turbo c分配16個(gè)字節(jié)，而Visual C++6.0則分配8個(gè)字節(jié)。

單精度：N共32位，其中S占1位、E占8位、M占23位，如圖5所示。

M雖然是23位或者52位，但它們只是表示小數(shù)點(diǎn)之后的二進(jìn)制位數(shù)，也就是說(shuō)，假定 M為“010110011...”，在二進(jìn)制數(shù)值上其實(shí)是“.010110011...”。而事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定小數(shù)點(diǎn)左邊還有一個(gè)隱含位[4]，絕大多數(shù)情況下是1，當(dāng)N對(duì)應(yīng)的n非常小的時(shí)候，比如小于2^（-126）（32位單精度浮點(diǎn)數(shù)），于是M對(duì)應(yīng)的m最后結(jié)果可能是“m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”。

3.2 楊路明先生教材中對(duì)實(shí)數(shù)類(lèi)型的描述

楊路明先生在其主編的《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程》是這樣描述實(shí)數(shù)類(lèi)型的：實(shí)數(shù)類(lèi)型的數(shù)據(jù)即實(shí)型數(shù)據(jù)，在C語(yǔ)言中實(shí)型數(shù)據(jù)又被稱為浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)[1]。實(shí)型數(shù)據(jù)的值域在計(jì)算機(jī)中表示只是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的一個(gè)子集。Turbo C的實(shí)型數(shù)據(jù)又分為單精度型和雙精度型兩種，它們所占內(nèi)存字節(jié)數(shù)及取值范圍如表1所示。

3.3 存在問(wèn)題

根據(jù)以上描述，單精度數(shù)的取值范圍大約在-1038—1038；雙精度數(shù)的取值范圍大約-10308—10308，這個(gè)表述本身是沒(méi)有問(wèn)題的，但為了有利于基礎(chǔ)教學(xué)，為學(xué)生建立一個(gè)正確的概念[5]，認(rèn)為以上表述不夠精確。因?yàn)槲矓?shù)隱藏位值可能為1或者0，因此存在最小可以規(guī)格化的數(shù)。如果按標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定隱藏位值為1，以上表述的取值范圍就過(guò)于籠統(tǒng)，而且從最小可規(guī)格化的數(shù)到0的表示之間，也沒(méi)有任何形式的過(guò)渡。比如最小規(guī)格化的數(shù)再小一點(diǎn)的數(shù)，便只能是0了，所以這種籠統(tǒng)的表示一方面不利于學(xué)生理解；另一方面，不能使學(xué)生真正明白為什么不能進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)判等。

4 結(jié)論（Conclusion）

浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍與階碼和尾數(shù)的位數(shù)以及采用的浮點(diǎn)數(shù)表示格式有關(guān)。IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，單精度數(shù)所能表示的最大正規(guī)格化數(shù)，其階碼和尾數(shù)的值分別為（11111110）b，（111 1111 1111 1111 1111 1111）b，該數(shù)二進(jìn)制數(shù)值為1.（23個(gè)1）×2127，而能表示的最小正規(guī)格化數(shù)，其階碼和尾數(shù)部分的二進(jìn)制值分別為1和0，該數(shù)二進(jìn)制數(shù)值為1.（23個(gè)0）×2-126。同理可得，雙精度所能表示的最大正規(guī)格化數(shù)和最小正規(guī)格化數(shù)，其二進(jìn)制數(shù)值分別為1.（51個(gè)1）×21023和1.（51個(gè)0）×21022。因此，在基礎(chǔ)課程教學(xué)中，應(yīng)將其表示如表2所示。

由表2學(xué)習(xí)者可清楚看到浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍，并可得到兩個(gè)問(wèn)題，一是0如何表示，是否有正負(fù)0之分；二是在最小規(guī)格化數(shù)到0之間的數(shù)如何表示。

0的偏移指數(shù)為00…00b，有效數(shù)字段亦為00…00b。0的偏移指數(shù)是保留的，也就是說(shuō)0的偏移數(shù)不能用來(lái)表示正常的實(shí)數(shù)。并且，只有0做除數(shù)時(shí)，0才有正負(fù)之分，否則正0和負(fù)0沒(méi)有區(qū)別。

當(dāng)N對(duì)應(yīng)的n非常小的時(shí)候，在最小規(guī)格化數(shù)到0之間，稱其為微小數(shù)，比如小于2^（-126）（32位單精度浮點(diǎn)數(shù)），于是M對(duì)應(yīng)的m最后結(jié)果是m=0.010110011...，它的有效數(shù)字的最高位為0，這種表示為非規(guī)格化表示，引起精度丟失，但有效擴(kuò)展了能表示的非常小數(shù)的范圍。

《C程序設(shè)計(jì)》是理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生步入計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)世界的第一門(mén)課程[5]，建立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算機(jī)認(rèn)識(shí)觀尤為重要，而楊路明先生主編的《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程》是C語(yǔ)言教學(xué)的經(jīng)典教材，在諸如以上討論的方面有值得商榷的地方，應(yīng)該給予必要的論述，促使學(xué)生深入理解計(jì)算機(jī)的內(nèi)部世界[6]，為學(xué)生步入計(jì)算機(jī)世界打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)（References）

[1] 楊路明.C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2008.

[2] 唐朔飛.計(jì)算機(jī)組成原理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 朱亞超.基于IEEE754的浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)格式分析研究[J].計(jì)算與信息技術(shù)，2010，8（10）：1207-1280.

[4] IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic.ANSI/IEEE Standard 754-1985.Institute of Electrical and Electronics Engineers，August 1985.

[5] 田祎，樊景博.計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言類(lèi)課程整合教學(xué)探討[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，4（26）：28-30.

[6] 田祎.項(xiàng)目教學(xué)法在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，5（24）：91-93.

作者簡(jiǎn)介：

田 祎（1983-），男，碩士，講師.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù).

樊景博（1966-），男，本科，教授.研究領(lǐng)域：數(shù)據(jù)庫(kù).