李蕊杉 朱雨晨 賀婉瑩

摘 要：建立了兩個(gè)模型來確定出使用者可以采取的最佳策略，使浴缸中水的溫度盡可能地一直保持一致并且不浪費(fèi)過多的水。簡單來說，第一階段的模型解釋了水的流速和水的流量之間的關(guān)系如何維持浴缸中的水溫；第二階段的模型是根據(jù)水龍頭關(guān)閉時(shí)熱量散失的方向來建立的，模型解釋了水溫降低時(shí)的熱量散失等于通過水面蒸發(fā)的熱量、人體吸收的熱量和浴缸壁吸收的熱量的總和，通過該模型就可以確定注入熱水的頻率。利用兩個(gè)模型來計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果，便可以得出在浴缸中泡澡時(shí)解決熱量散失問題的最佳策略了。

關(guān)鍵詞：“熱水浴”模型；注入熱水；熱傳導(dǎo)；熱量散失；能量守恒定律

當(dāng)你結(jié)束一天忙碌的工作后，最想做的事情是否是悠閑地泡一個(gè)熱水澡呢？研究表明，一個(gè)熱水澡是最原始也是效果最好的水療。

如果你擁有的只是一個(gè)普通的浴缸，并沒有維持溫度的裝置，往浴缸中注入熱水是唯一可以維持水溫的方法。

但浴缸只具有一定的容量，當(dāng)水量達(dá)到極限便會從特定管道中溢出。因此，我們的目標(biāo)就是在維持浴缸水溫的同時(shí)阻止水的過于浪費(fèi)。

1 問題分析與假設(shè)

首先，維持水溫是一個(gè)重要的方面?？紤]到我們使用的是傳統(tǒng)控制器，因此我們需要預(yù)先掌握非線性和復(fù)雜控制問題的數(shù)學(xué)建模進(jìn)程。

在這個(gè)階段，我們可以使用Water-Bath system，使用過程中必須具有好的溫度跟蹤能力，才能在指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到所需溫度，并且避免過度以及絕對誤差。

另一個(gè)重要的方面是盡量避免水的浪費(fèi)，因此我們的策略是使水龍頭在水溫降低時(shí)才開啟，水溫一旦達(dá)到原始溫度水龍頭立即關(guān)閉。

根據(jù)以上分析的考慮因素以及模型建立的依據(jù)，我們做出假設(shè)如下：

1）浴缸形狀為方形，浴缸材質(zhì)均衡分布；

2）注入熱水的速度與溫度是恒定的；

3）簡化浴缸使用者的形態(tài)為圓柱體，并且忽略使用者的動作對水溫造成的影響；

4）只存在浴缸壁的散熱而不存在空氣的邊緣散熱；

5）傳熱系數(shù)不會隨水溫的變化而變化。

2 計(jì)算與簡述模型

2.1 系數(shù)、定義以及符號說明

2.2 詳細(xì)模型與計(jì)算

2.2.1溫度維持模型

模型顯示了水的原始熱量也就是我們需要維持的熱量等于流入熱水的熱量加上流出的熱量，因此我們需要控制水的流速和水持續(xù)流入的時(shí)間來達(dá)到維持溫度的目的。

得出公式表達(dá)如下：

其中Δt2為水持續(xù)注入的時(shí)間，mw為水的質(zhì)量（可通過人出去頭后與浴缸之間的體積差來進(jìn)行計(jì)算），并且 ΔT3與 ΔT1滿足ΔT3=Ts-T0和 ΔT=T0-T1的條件。

根據(jù)公式我們可以看出每次注入的水與浴缸的體積呈正線性關(guān)系，與人的體積呈負(fù)線性關(guān)系。將初始值代入求值，得出每次注入的熱水質(zhì)量應(yīng)為66.9kg，日常水龍頭的流速為每秒0.15kg，進(jìn)而得出注入熱水維持的時(shí)間約為7.4分鐘。

2.2.2熱傳遞模型

模型考慮了以下三種熱量傳遞：水面與空氣之間的熱傳遞；水與人體之間的熱傳遞；水與浴缸壁之間的熱傳遞。根據(jù)能量守恒定律，得出公式如下：

其中t1為使用者開始洗澡的時(shí)間，t2為開始注入熱水的時(shí)間；Sp為人體接觸熱水的面積，Sxy為浴缸的表面積；注意φa是由通過熱傳導(dǎo)和熱輻射散失的熱量組成的。

根據(jù)設(shè)定的初始值我們可以計(jì)算出Δt1= 5.8172 mins，即在開始洗澡的5.8172分鐘后開始注入熱水。由于第一次注入熱水后，浴缸表面和人體表面的溫度都與初始值不同，所以第二次注入熱水的時(shí)間也不再與第一次相同。

三、結(jié)語

基于以上兩個(gè)模型，我們可以得出何時(shí)注入熱水、注入熱水的量、注入熱水維持的時(shí)間等具體的值，即得出解決浴缸中水的熱量散失問題的最佳策略。

但是除了文章中提到的會影響熱量散失的因素之外，還存在人體在浴缸中的行動和使用者在泡澡時(shí)使用了泡泡劑等因素會影響熱量的散失。

若使用者在泡澡時(shí)做出了動作，這會加劇水與空氣之間的熱傳遞，即第一次注入熱水的時(shí)間會變得更短；若使用者在泡澡時(shí)使用了泡泡劑，泡泡會吸收一部分熱水的熱量，并且泡泡也會影響水的比熱容和熱傳導(dǎo)系數(shù)，因此我們無法確定泡泡劑會對我們的模型有何影響。

參考文獻(xiàn)：

[1] Jafar Tavoosi， et al. "A Novel Intelligent Control System Design for Water-Bath Temperature Control" Australian Journal of Basic and Applied Sciences， 5（12）： 1879-1885， 2011.

[2]Springer Netherlands，2014：1736-1736.

[3] FP Miller， AF Vandome， et al. "Specific Heat Capacity"，