關(guān)于隨機變量的幾個基本問題

崔召磊

摘 要 本文討論了連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量的分布函數(shù)的部分性質(zhì)，并探討了二維連續(xù)型隨機變量在任意曲線上的概率是否為零以及其與一維連續(xù)型隨機變量的關(guān)系。這幾個問題是描述幾個常用概念之間聯(lián)系的基本問題，然而也是在教學中容易忽略的問題，本文為此進行歸納整理，以期對隨機變量有更清楚的認識。

關(guān)鍵詞 階梯函數(shù) 連續(xù)型隨機變量 邊緣分布

中圖分類號：O211.6 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.04.026

Abstract This paper discussed some properties of the distribution function of continuous random variables and discrete random variables， and to explore the probability of the two-dimensional continuous random variable in arbitrary curve is zero and the and one dimensional continuous random variable relationship. These problems are a few concepts between contact the basic problem description， but also in teaching easy to overlook problems. For this reason， to collate， to have a more clear understanding of random variables.

Key words step function； continuous random variable； marginal distribution

概率論是研究隨機現(xiàn)象的科學，通俗地講，就是研究某種現(xiàn)象或某個事件發(fā)生的可能性大小，比如投擲硬幣，出現(xiàn)正、反面的可能性有多大；在路上，偶遇一個孕婦，那么此孕婦生男孩和生女孩的可能性又各有多大？這個可能性就是概率論學科要研究的最主要目標——概率，那么要如何研究事件的概率問題，這就需要把隨機現(xiàn)象引入到一個合理有效、邏輯嚴謹?shù)睦碚擉w系中，在這個過程中，隨機變量就像一座橋梁或基石，在理論研究中起著無可替代的作用。隨機變量從本質(zhì)上看就是一個函數(shù)，或者更加清楚準確地描述為：從由隨機試驗的結(jié)果構(gòu)成的樣本空間到實數(shù)上的一對一或多對一的映射。正是由于隨機變量的存在，隨機現(xiàn)象的研究中才將高等數(shù)學引入到了整個理論體系中，使得概率論學科獲得了巨大的進步。隨機變量在我們的教學過程中，一般只討論兩種典型情形：離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。在概率論的講解過程中，可以發(fā)現(xiàn)離散型隨機變量的定義淺顯而直觀，易于理解和接受， 而連續(xù)型隨機變量的定義則有些抽象了。對連續(xù)型隨機變量的深層次理解，嚴重依賴于對高等數(shù)學相關(guān)內(nèi)容的理解，尤其是對積分和各種函數(shù)知識的掌握。另外，無論是離散型隨機變量還是連續(xù)型隨機變量，我們的主要目標都要研究其概率的取值情況，也就是隨機變量的概率分布情況，因此在本文中我們主要討論的內(nèi)容就是隨機變量的分布函數(shù)的一些特點。通過對概率分布函數(shù)的詳細分析，進一步加強對隨機變量，尤其是連續(xù)型隨機變量的認識，本文將幾個關(guān)于概率分布的基本問題進行整理和歸納，其中第一個問題分別討論了離散型隨機變量和連續(xù)型變量的分布函數(shù)的基本特點；第二個問題討論了一維、二維連續(xù)型隨機變量在什么情況下，概率的取值為零；第三個問題討論了二維連續(xù)型隨機變量與邊緣分布之間的關(guān)系。在下文中，我們將以上三個問題逐一加以討論。

第一個問題：離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。這個結(jié)論正確嗎？其逆命題成立嗎？

這里，我們首先要明確階梯函數(shù)的定義。定義在區(qū)間[]上的函數(shù)，如果存在有限個分點 = …，在每個開區(qū)間（）， 上取常數(shù)，則稱之為階梯函數(shù)。將此定義推廣到無限區(qū)間上時，只要求滿足在任意有限區(qū)間上如上定義（參見王梓坤（1996））即可?？傊?，無論有限情形還是無限情形，從圖像上看，階梯函數(shù)都會出現(xiàn)階梯形狀。 故而，當離散型隨機變量取有限個值時，容易知道其分布函數(shù)一定是階梯函數(shù)；然而當其取值為可列多個值時，則不一定是階梯函數(shù)了。

例： 定義一個取值于（0，1）中的有理數(shù) （互質(zhì)）的離散型隨機變量如下：

= ，

其中 = ， 為（0，1）上的有理數(shù)集。

顯然，此隨機變量確定的分布函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的有理數(shù)點處都發(fā)生跳躍，其圖象無法形成階梯形狀，也就不是階梯函數(shù)。另外，更多的例子可以在朱作賓（1984）中找到。

這個問題的反向結(jié)論則顯然是成立的，即如果一個分布函數(shù)是一個單調(diào)上升且右連續(xù)的階梯函數(shù)時，則與其對應的隨機變量一定是離散型的，并且隨機變量的取值點就是跳躍間斷點。

那么連續(xù)型隨機變量的情形又是怎樣呢？ 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是一個變上限積分函數(shù)，一定是連續(xù)的，但其反向，則不然。如果一個分布函數(shù)連續(xù)且在每一點都可導，那么其導數(shù)就是對應的密度函數(shù)，也就是這個分布函數(shù)一定是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。然而，將此結(jié)論中的可導條件稍微弱化一點，改成幾乎處處可導，則結(jié)論不成立。一個例子可以參見桂春燕（2015）。這個例子是基于康托爾集構(gòu)造的，其過程比較繁瑣，本文只介紹一下該例子的構(gòu)造思想。其具體思路為：在非康托爾集上按特定規(guī)則定義為常數(shù)（該常數(shù)與點所在的區(qū)間有密切聯(lián)系），而在康托爾集上定義為由非康托爾集上的常數(shù)序列確定的上確界（極限值）以保證連續(xù)， 通過這種方法構(gòu)造的函數(shù)在非康托爾集上可導且導數(shù)為零，在康托爾集上不可導，而康托爾集為零測集，也就是說，我們得到了一個幾乎處處可導且導數(shù)幾乎處處為零的分布函數(shù)，故這個分布函數(shù)不是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。

第二個問題：一維連續(xù)型隨機變量在任意一點的概率為零，這是一個顯然的事實。那么這個結(jié)論推廣到多維情形又如何呢？是否可以推廣為二維連續(xù)型隨機變量在任意曲線上的概率為零？

這個問題的本質(zhì)是考慮一個二元可積函數(shù)在曲線上的二重積分問題，而在二維空間內(nèi)曲線的測度一般為零，比如常見的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)確定的曲線，此時上述推廣的結(jié)論是成立的。然而，數(shù)學常常會有讓人驚訝的奇妙之處。事實上，曲線的測度不一定是零， 一個有趣的例子就是皮亞諾曲線（可參見那湯松（1965））。關(guān)于此曲線的一種經(jīng)典的構(gòu)造方法是通過把一個正方形分割成4個小正方形，然后將小正方形的中心點相連，此過程不斷重復遞歸，取極限后，可構(gòu)造出一條曲線，該曲線可以覆蓋整個正方形。這種語言描述顯得有點不夠嚴謹，趙明方（1965）給出了一類皮亞諾曲線的解析表達式，其具體定義如下：

在閉區(qū)間[0，2]上，令

且 = ，是整數(shù)，是[0， 36]上任意的一個實數(shù)。 再令

= ， =

從而可由， 構(gòu)造出一條曲線：，趙明方（1965）證明了此曲線就是正方形[0，1]譡0，1]上的皮亞諾曲線，可以表示正方形中的任何一個點。因此，如果在某個正方形上定義一個服從二維均勻分布的隨機變量，則其在對應的皮亞諾曲線上的概率為1。不過，這種曲線是極其特殊的，值得更進一步的研究和討論。為避開這種特殊情形，我們可以限制曲線為可由一元參數(shù)方程確定的光滑曲線，此時光滑曲線的面積（測度）一定為零，那么我們的結(jié)論在光滑曲線上就一定是成立的，也就是說二維連續(xù)型隨機變量在光滑曲線上的概率一定為零。

第三個問題：二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布是否一定對應連續(xù)型隨機變量？反之， 如果邊緣分布都對應連續(xù)型隨機變量，其二維隨機變量是否一定是連續(xù)型的？

這一個問題的前半部分的答案是肯定的。事實上，假設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)為，則的邊緣分布為

= ，

故存在一個非負函數(shù) = 滿足連續(xù)型隨機變量的定義。然而，其反向結(jié)論則不成立，可見下面的例子。

例：假設(shè)隨機變量服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，，則二維隨機變量的分布函數(shù)為：

此時， = 0， 從而不存在一個滿足二維連續(xù)型隨機變量的定義的非負二元函數(shù)，即不是二維連續(xù)型隨機變量。

以上幾個問題，是概率論教學過程中需要留意的幾個小問題，這些問題因為都是在非常規(guī)情形下出現(xiàn)，往往容易忽視，故而在學習研究概率論的過程中，要始終保持謹慎認真的態(tài)度，既要對知識有直觀的認識，又要嚴格對待理論體系的嚴密邏輯。

參考文獻

[1] 王梓坤.隨機過程通論.北京師范大學出版社，1996：73.

[2] 朱作賓.關(guān)于離散型分布函數(shù)的一個問題.安徽師大學報（自然科學版），1984：19-21.

[3] 桂春燕.連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系. 安慶師范學院學報（自然科學版），2015.21（1）：101-102.

[4] . .那湯松，張德英，曹治平.皮亞諾曲線.數(shù)學通報，1964：43-46.

[5] 趙明方.再論皮亞諾曲線.數(shù)學通報，1965：35-36.