李東方　胡夢(mèng)薇

摘 要 對(duì)于代數(shù)中所講的求解方程組的方法，大家都很熟悉，但是在遇到比較復(fù)雜的方程形式時(shí)，求解的復(fù)雜程度就會(huì)隨之增加。本文我們給出一種統(tǒng)計(jì)求法，稱(chēng)為全局-局部分析方法或者Global-Local算法。

關(guān)鍵詞 方程組 試驗(yàn)設(shè)計(jì) 穩(wěn)定性 信息分解比

中圖分類(lèi)號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.04.030

Abstract We are familiar with the algorithm of the equation set from the algebra. But the algorithm will become more complicated when the equation is more complicated. This paper gives a new algorithm using the designs of experiments， called GL Algorithm （Global-Local Algorithm）.

Key words equations； designs of experiments； stability； information-decomposition ratios

眾所周知，方程組的求解是線性代數(shù)課程研究和討論的一個(gè)重要問(wèn)題。在物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)管理和預(yù)測(cè)、產(chǎn)品質(zhì)量控制、工程等學(xué)科領(lǐng)域的許多問(wèn)題，最終都轉(zhuǎn)化成了方程組的求解問(wèn)題。因此，對(duì)方程組的求解研究有重要的理論意義及應(yīng)用價(jià)值。求解方程組的通常方法，大家都很熟悉，但是在遇到比較復(fù)雜的方程形式時(shí)，求解的復(fù)雜程度也會(huì)隨之增加。本文我們給出一種統(tǒng)計(jì)求法，稱(chēng)為全局-局部分析方法或者GL算法。在這里我們除了關(guān)心解的精確度之外，還關(guān)心解的穩(wěn)定性，這對(duì)許多實(shí)際問(wèn)題都有著重要的價(jià)值。

1 GL算法介紹

全局-局部分析方法（Global-Local算法）是華東師范大學(xué)張應(yīng)山教授在文獻(xiàn)中提出的，文獻(xiàn)中有詳細(xì)的理論介紹和算法步驟，在這里我們不再累贅，直接運(yùn)用此法。

2 問(wèn)題轉(zhuǎn)化

考慮方程組的一般形式

求解關(guān)于自變量的穩(wěn)定中心，使得 =1。在求解方程時(shí)無(wú)波動(dòng)是最小的要求，用GL算法求解的中心點(diǎn)，可以使得在此點(diǎn)處函數(shù) 的波動(dòng)最小，這對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題有穩(wěn)健性的意義。

我們選取適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)容差（ ，…， ），選取合適的正交表（…），利用上面已知的函數(shù)（2），用計(jì)算機(jī)獲得數(shù)據(jù)并用GL算法對(duì)原方程組的解進(jìn)行判斷。

3 實(shí)例分析

下面我們進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：

（1）觀察控制指標(biāo)，由于都很小，說(shuō)明在這個(gè)初始穩(wěn)定中心處的扭曲度確實(shí)相對(duì)比較小，符合初始穩(wěn)定中心的定義。由于，這說(shuō)明偏離度相對(duì)過(guò)大，需要進(jìn)行線性調(diào)優(yōu)。

（2）觀察線性調(diào)優(yōu)信息分解比向量，由于，說(shuō)明線性調(diào)優(yōu)的因子是。

（3）觀察線性調(diào)優(yōu)中心點(diǎn)。由于∣∣>（6 ，6），并且不在所考慮的因子的取值范圍[0，4]內(nèi)，說(shuō)明不能用線性調(diào)優(yōu)，但調(diào)優(yōu)因子的原試驗(yàn)中心可以減小偏離度。這說(shuō)明，在線性調(diào)優(yōu)方向和有目標(biāo)信息分解比表調(diào)優(yōu)方向一致的時(shí)候，要根據(jù)因子的有目標(biāo)信息分解比表來(lái)減小偏離度。

（4）觀察扭曲度信息分解比。由于，說(shuō)明因子是扭曲度調(diào)優(yōu)因子。這說(shuō)明根據(jù)因子用有目標(biāo)信息分解比表進(jìn)行調(diào)優(yōu)可減少扭曲度。

（5）觀察有目標(biāo)信息分解比表。由于，，說(shuō)明有目標(biāo)信息分解比表確定的因子的調(diào)優(yōu)水平是2水平，的調(diào)優(yōu)水平是0水平。

分析結(jié)論：應(yīng)該用因子，進(jìn)行有目標(biāo)信息分解比表調(diào)優(yōu)，將原試驗(yàn)中心 = 0調(diào)向 = + = 1， = 4調(diào)向 = = 3。我們應(yīng)將試驗(yàn)中心（0，0，4）調(diào)整到（0，1，3）。

隨后又經(jīng)過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，又要將試驗(yàn)中心（0，1，3）依次調(diào)整到（0，1，2），（1，1，2），（1，1，1），（2，1，1），（2，2，1），最終調(diào)整到（3，2，1），此時(shí)分析表與指標(biāo)變?yōu)椋?/p>

4 結(jié)論

在實(shí)際問(wèn)題中，方程組（1）可能有無(wú)窮多解，可能有唯一解，亦可能無(wú)解。但是無(wú)論哪種情況，Global-Local算法都將給出一個(gè)解。在方程組（1）有無(wú)窮多解時(shí)，我們所求的解是解中最為穩(wěn)定的那一個(gè)；在方程組（1）有唯一解時(shí)，我們所求的解就是這個(gè)唯一解；在方程組（1）無(wú)解時(shí)，我們所求的解是使方程條件最接近滿足的那個(gè)解。這對(duì)生活中的許多實(shí)際問(wèn)題有著非常重要的意義。

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