表示論在本科抽象代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

楊涌 馮良貴 文軍 劉春林

【摘要】本文通過大量實例說明在本科抽象代數(shù)的教學(xué)過程中如何自然和較為容易的向初學(xué)者傳授群表示的思想和方法.這些實例是筆者在實際教學(xué)過程中系統(tǒng)總結(jié)和應(yīng)用過的，收到了良好的教學(xué)效果.這些內(nèi)容完全可以系統(tǒng)化的在一個學(xué)期的授課過程中講授完畢，使得學(xué)生可以在第一時間接受更為系統(tǒng)的現(xiàn)代代數(shù)學(xué)思想和方法.

【關(guān)鍵詞】Sylow定理；群的表示；正規(guī)群

本文受到國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)校預(yù)研基金“代數(shù)矢量叢的Euler類群研究”項目資助

本文受到國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院教學(xué)改革“數(shù)學(xué)專業(yè)高水平專業(yè)課程內(nèi)容建設(shè)可行性研究”項目資助

《近世代數(shù)》是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其之于現(xiàn)代數(shù)學(xué)相當(dāng)于線性代數(shù)之于高等數(shù)學(xué).對于大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生而言，這門課程無疑是非常重要的.然而作為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)所包含的最主要的兩大思想：“表示的思想”和“同調(diào)的思想”，卻很少被包括在本科抽象代數(shù)教學(xué)之中.特別是表示的思想，其將抽象問題具體化的作用可以第一時間降低初學(xué)者對抽象概念的畏懼，增強(qiáng)對現(xiàn)代代數(shù)學(xué)方法的感性認(rèn)識.然而長久以來，這一內(nèi)容卻很少在數(shù)學(xué)專業(yè)本科代數(shù)學(xué)核心課程中有所體現(xiàn).實際上，表示的思想最初已經(jīng)蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)專業(yè)本科生近世代數(shù)課程內(nèi)容：Sylow定理的證明中了.但是教學(xué)內(nèi)容在此戛然而止，沒有上升到表示的方法和應(yīng)用層面，從而使學(xué)生感覺到Sylow定理雖然有著強(qiáng)有力的應(yīng)用但是沒能體會到該定理成立的本質(zhì)，更不能繼續(xù)發(fā)展這一定理的深刻內(nèi)涵，應(yīng)用也僅能局限在對一些特殊群的計算上.本文將介紹針對大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)本科《近世代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容中體現(xiàn)表示的思想及基本方法的點滴認(rèn)識，以及本人在教學(xué)中滲透和介紹表示思想方法的一些嘗試.

一、Sylow定理和群的表示

Sylow定理和群的表示

Sylow定理是有限群的置換表示的基礎(chǔ)，同時也是群表示理論最原始的體現(xiàn).實際上，在本科近世代數(shù)有關(guān)Sylow定理的證明中就已經(jīng)引入了“表示”的思想和方法，只是這種表示是局限于群對特定集合的作用.具體的，我們看一下該定理的證明：

Sylow定理

第一定理：設(shè)G為群，|G|=mpn，其中p為素數(shù)，p和m互素，則群G一定有pn階子群H.

第二定理：設(shè)G為群，則群G的Sylowp-子群皆共軛，即在內(nèi)自同構(gòu)作用下屬于同一軌道.

第三定理： 設(shè)G為群，|G|=mpn，其中p為素數(shù)，p和m互素，設(shè)G的Sylowp-子群的個數(shù)為r，則有

r|mr≡1（mod p）

Sylow定理的一種較為簡單的證明是利用群G作用在一定的集合上，（定理一是作用在集合S={s|sG，|s|=pn}上；定理二和定理三第一部分是作用在全體Sylow子群的集合上；定理三的第二部分是作用在Sylow子群的陪集組成的集合上），然后通過計算這些作用后的軌道及穩(wěn)定子群指標(biāo)并結(jié)合集合本身的指標(biāo)信息從而得出關(guān)于Sylow子群存在和個數(shù)的信息.這一證明中實際上已經(jīng)體現(xiàn)了群表示的思想：給定一個抽象的群G，由于其抽象的“不可見性”，對于其子群等性質(zhì)很難把握.所以我們令其作用在一個集合上，通過計算和分析作用后的軌道等信息反過來得到關(guān)于抽象群G的信息.簡單地說就是通過將抽象群G表示為一個在集合上的作用，使得“不可見”的抽象群G的信息通過“可見的”集合軌道等表現(xiàn)出來.

一方面，一般情況下我們當(dāng)然趨于使用具有一定群結(jié)構(gòu)的“表示元”來表示抽象的群G.

另一方面，我們自然應(yīng)當(dāng)取相對已知群N對未知群G進(jìn)行“表示”.相對來說，最一般已知的群有兩個：置換群Sn和一般線性群GLn.

如此，當(dāng)我們構(gòu)造了一個群G在有限集合S上的作用：g∈G，φ（g）s∈S以后.一種方法是我們可以把這種作用當(dāng)成是S上的元素的置換，從而上面的作用就等價于一個群的同態(tài)φ：G→Sn，其中n=|S|.另一種方法是首先以S中元素為基構(gòu)造一個復(fù)的（或?qū)嵉模┚€性空間Cn.這時，任意g的作用自然誘導(dǎo)出Cn上的一個可逆線性變換，這顯然還是一個一一對應(yīng).于是上面的群作用等價于一個群同態(tài)φ：G→GLn（C）（或GLn（R））其中GLn（C）（或GLn（R））為C（或R）上一般線性群.

由此我們有了群表示的概念：

群的表示：

給定群G和置換群N（或一般線性群），任意群同態(tài)φ：G→N稱為一個群G的一個置換表示（或線性表示）.

進(jìn)一步地，由于置換群本身是有限群所以針對一般的無限群（即便是對按拓?fù)溆邢薜木o群這一觀點顯然也是站得住腳的）可想而知其“表現(xiàn)”能力也是“有限”的，所以關(guān)于群表示理論更一般的是線性表示理論（當(dāng)然，這里面還有一個原因是相對一般線性群GLn而言，一般置換群Sn則明顯還不夠“已知”.要知道，如果把所有有限群都自然的看作一般置換群的子群的話，對于一般置換群的完全的“已知”也就蘊(yùn)含了對于所有有限群的“已知”，這一點對當(dāng)今數(shù)學(xué)來說還是個巨大的未知數(shù).要知道僅僅是有限單群的完全分類還是上世紀(jì)末才剛剛完成，況且這種分類本身很大一部分還是基于一般線性群來實現(xiàn)的.而相對地，一般線性群則有更加豐富的“已知”理論可以使用，例如：線性代數(shù)！）.

二、置換表示的應(yīng)用——小Sylow子群的計算

（一）S4的所以Sylow子群

借助于表示的思想和方法，我們就可以分析一些看似抽象的有限群的性質(zhì).例如我們可以利用置換表示求出4階置換群的所有Sylow子群：

基本思路是利用一個4階置換群S4的3階置換群S3表示，從而由比較簡單的3階置換群S3的信息來實現(xiàn)計算.具體地

對4階置換群S4我們有：

H={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}S4是4階置換群S4的正規(guī)子群；

H是S4的所有Sylow 2-子群的交；

首先，根據(jù)Sylow定理和置換群的基本性質(zhì)我們知道S3有一個正規(guī)的Sylow 2-子群.給定4階置換群S4，由Sylow第一定理我們知道其總存在Sylow 2-子群（階數(shù)為2×4=8），取為G.由于G的指數(shù)為3，故其左陪集全體構(gòu)成一個3元集合S={G，a1G，a2G}，當(dāng)然，這里我們可以取a1為一個3階元.令S4通過左乘作用在這個3元集上，由此得到一個S4的S3表示，即一個群同態(tài)φ：S4→S3.

分析這個表示有：

1.由于φ（a1）是三階的，得到該同態(tài)是非平凡的且像φ（G）至少是3階群；

另一方面，如果像φ（G）確實是3階的，則同態(tài)φ的核H為S4的一個8階子群，且H正規(guī).取S4的唯一的正規(guī)Sylow3-子群P，則顯然HP為一個24階群，且由H，P都正規(guī)得到HP是直和.故HP=S4中至少有一個6階元，但是我們知道這個是不存在的，即像φ（G）是2×3=6階群.故我們有：

2.該同態(tài)為非平凡滿的，核HG是一個S4的4階正規(guī)子群；

設(shè)h∈H，則由于φ（h）為恒等置換，故對于任意G的共軛類gGg-1，有φ（h）gG=gG，即存在g′∈G，使得h=gg′g-1.故H包含在G的全體共軛類的交之中；

反過來，若有h′屬于G的任意共軛類，則對于任意aiG，由于h′∈aiGa-1i，φ（h′）aiG=aiG，即h′屬于核H.綜上，我們有：

3.這個同態(tài)的核是Sylow 2-子群G的所有共軛類的交（根據(jù)Sylow第二定理，這也是S4的所有Sylow 2-子群的交）；

若H中有4階元h，即H為4階循環(huán)群，取S4得唯一的正規(guī)Sylow3-子群P，則顯然HP為一個12階循環(huán)群.但是我們知道S4中是沒有12階元的.由此我們有：

4.H中任意非平凡元都是2階的；

進(jìn)一步地，若H中包含一個對換，則由對換之間的共軛性有H包含所有的對換，共6個.但這與|H|=4矛盾.由此我們得到

5.S4中如下的4個元{（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24）}必構(gòu)成一個子群，即為S4的正規(guī)子群H.

6.進(jìn)一步地，我們可以計算出S4的所有Sylow 2-子群；

取S4的所有兌換{（12），（13），（14），（23），（24），（34）}，我們知道相交的兌換不能同時屬于同一個Sylow 2-子群中（否則將有3階元）.故（12），（13），（14）屬于不同的Sylow2-子群.另一方面，由上分析有任意Sylow 2-子群都包含正規(guī)子群H，由此得到S4的所有Sylow2-子群為：

G1=<（12）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G2=<（13）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

G3=<（14）>H=<（12）>（（1），（12）（34），（14）（23），（13）（24））

綜上，我們利用一個相對已知的群S3來表示未知的置換群S4，從而得到S4的所有Sylow子群等信息.

（二）S5的所有Sylow子群

進(jìn)一步地，我們可以做的更復(fù)雜一點兒，求出5階置換群S5的所有Sylow子群.

考慮到求解過程中真正用到置換表示的只有Sylow3子群的求解，所以這里我們只講一下Sylow 3子群的求解（Sylow 2子群的求解是利用4階置換群S4在S5中的5個天然的嵌入，每個有3個Sylow 2子群，共計15個Sylow 2子群）

由Sylow定理知道Sylow3子群的個數(shù)可能的情況有1、4、10、40個.

1.若只有1個，即Sylow3子群HS5正規(guī)，則可以用這個正規(guī)子群乘任意Sylow5子群，得到一個15階的循環(huán)群，但是這在S5中顯然是不可能的.

2.同時，直接計算有S5中最多有20個不同的3排列，故S5中不可能有40個不同的Sylow3子群

3.若有4個Sylow3子群H1，H2，H3，H4，由Sylow定理知道它們是共軛的.令S5通過共軛作用在集合S={H1，H2，H3，H4}上，得到一個S5的S4表示，即群同態(tài)φ：S5→S4.注意到這個同態(tài)的核KS5是所有4個Sylow 3子群的正規(guī)化子的交，且必有5K.令H1的正規(guī)化子為N，則有5||N|，|N||5！，故N中必包含Sylow5子群T，且H1在N中正規(guī).取子群H1T，知其為|H1T|=15階群，必為循環(huán)群.但是這是不可能的.

故S5中有10個Sylow3子群，恰好是C35，即3組合的個數(shù).當(dāng)然這個觀察也幫助我們寫出這10個不同的Sylow3子群.

最后，看一個更為直接的例子：

（三）255階群G一定是循環(huán)群

由于有255=5×3×17，則根據(jù)Sylow定理，只有一個正規(guī)的Sylow17-子群，令其為H17，故當(dāng)G中元素通過共軛作用到H17上時，實際上定義了一個群G到H17的自同構(gòu)群的表示.另一方面，我們知道H17的自同構(gòu)群Aut（H17）共有16個元|Aut（H17）|=16.于是，表示φ：G→Aut（H17）的像的階數(shù)整除16，|φ（H17）||16.但是，我們有256與16互素，故只能有φ是一個平凡表示.即G的任意元素都與H17的元素相交換.于是H17包含在群G的中心中.另一方面，商群GH17因為是15階群，一定是循環(huán)群.所以群G模中心的商群是循環(huán)群，得到群G必然是交換群，故而是循環(huán)群.

這個例子中我們利用已知的置換群S3，S5的信息，通過構(gòu)造一定的表示得到關(guān)于階數(shù)為255的抽象群（考慮到這個群除了滿足群的基本定義以及階數(shù)為255以外我們對其一無所知，可以說的確是足夠抽象的了）的具體結(jié)構(gòu).

實際上，群的表示適用于非常廣泛的抽象群的計算和論證，有興趣的讀者可以嘗試?yán)弥脫Q表示證明如下關(guān)于抽象群的性質(zhì).同時上面第二個例子也可以推廣到更為廣泛的群上而不是僅限于255這個具體的數(shù)據(jù).關(guān)于這一點可以參考文獻(xiàn)[1][2].

三、置換表示的應(yīng)用——抽象群的計算

以下是Sylow子群定理，我們借助群的置換表示給出一個初等的證明.

設(shè)群G的階數(shù)為G=∏ni=1Pi為有限個素數(shù)的乘積，且這些素數(shù)滿足∏ni=1Pi與∏ni=1（Pi-1）互素.則群G為循環(huán)群.

證明：

對n做歸納假設(shè)

易知，n=1或2時命題成立，假設(shè)n≤k-1時命題成立，往證n=k時成立.

取G的換位子群G′，則有三種情況

故矛盾.

四、小 結(jié)

通過以上一些例子我們看到，在加入群的表示的思想和方法后，原來零散的、構(gòu)造性的證明被系統(tǒng)的理論方法取代.同時，這樣也有利于學(xué)生第一時間感受和學(xué)習(xí)現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的思想和方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]抽象代數(shù)；李超，謝端強(qiáng)，馮良貴；國防科技大學(xué)出版社；2008.9.

[2]代數(shù)學(xué)I；B.L.范德瓦爾登；科學(xué)出版社；2006.8.