淺析一致收斂的判斷

成豐琰

【摘要】本文通過揭示一致連續(xù)與一致收斂概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)出了利用連續(xù)性判定一致收斂的方法.此方法對(duì)于通常的初等函數(shù)及函數(shù)列一致收斂與非一致收斂的判定非常有效.它不僅用于一致連續(xù)與一致收斂區(qū)間上的討論，而且可用于更廣意義下的討論.

【關(guān)鍵詞】一致連續(xù)；一致收斂；初等函數(shù)；函數(shù)列.

【中圖分類號(hào)】O171

1.一致收斂概念的推廣

設(shè) f（x，y）在區(qū)域G上有定義，點(diǎn)集DG.

定義1 limy→y0f（x，y）= φ（x，y0）在D上一致收斂，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)ε>0，δ>0，對(duì)

（x，y）∈G，（x，y0） ∈D，只要︱y-y0 ︱<δ，則有

︱f（x，y）一φ（x，y0）︱<ε.

特殊地，若D為曲線L：y=y（x），a≤x≤b時(shí)，則有

limy→y（x）f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收斂.

更特殊地，若D為線段L：y=y0，a≤x≤b時(shí)，則有

limy→y0f（x，y）= φ（x）在[a，b]上一致收斂.

定義2 lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y） =φ（x0，y0）在G上一致收斂，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)ε> 0，δ>0，對(duì)（x，y），（x0，y0） ∈G，只要∣x-x0∣<δ，∣y-y0∣<δ，則有

∣f（x，y） - φ（x0，y0）∣<ε.

2.一致收斂與一致連續(xù)的關(guān)系

我們將定義2與一致連續(xù)的ε-δ定義對(duì)照，可得

命題 f（x，y）在區(qū)域G上一致連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)

lim（x，y）→（x0，y0） f（x，y）=f（x0，y0）

在區(qū)域G上一致收斂.

令 μ={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤d}.

證明 必要性顯然成立；

充分性：由（1）得：對(duì)ε> 0，δ1 > 0，對(duì)（x，y），（x0，y）∈μ，只要∣x-x0∣< δ1，則有

∣f（x，y）-f（x0，y）∣< ε2.

又由（2）得 δ2> 0，對(duì) （x，y），（x，y0）∈μ，只要∣y-y0∣< δ2，則有

∣f（x，y）-f（x，y0）∣<ε2.

于是，取δ=min{δ1，δ2}，則對(duì)（x，y），（x0，y0）∈μ，只要∣x-x0∣<δ， ∣y-y0∣<δ，則有

∣f（x，y）-f（x0，y0）∣≤∣f（x，y）-f（x0，y）∣+∣f（x0，y）-f（x0，y0）∣<ε2+ε2=ε （ （x0，y） ∈μ）

lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）=f（x0，y0）在μ上一致收斂.

3.閉矩形上連續(xù)函數(shù)的一致收斂性

定理1 若f（x，y）在有界閉矩形上連續(xù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意曲線：y=y（x），

a≤x≤b，有

limy→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致收斂.

證明 f（x，y）在有界閉矩形上連續(xù)，故必一致連續(xù).于是由命題1 、2、 3可知結(jié)論顯然成立.

常用的是定理1結(jié)論的特殊情形：

limy→d-f（x，y）=fx，d在[a，b]上一致收斂.

limy→c+f（x，y）=fx，c 在[a，b]上一致收斂.

4.函數(shù)列的一致收斂性

借助于二元函數(shù)的一致收斂性可以判定函數(shù)列的一致收斂性.

實(shí)際上可以證明φ（x）在[a，b]上連續(xù)，當(dāng)然在[a，b]上也不一定一致連續(xù).

以下?。害?={（x，y）∣a≤x≤b，c≤y≤+∞，a，b∈R-}.

定理3 若f（x，y）在μ-上連續(xù)，則limn→+∞f（x，n）=f（x，+∞）在[a，b]上一致收斂.

無須多舉例子我們已可看出定理3與4已足以解決一般函數(shù)列的一致收斂性.從理論上來說由定理2的一般結(jié)論容易得到定理4的如下一般情形：

定理4 若f（x，y） 在μ-上連續(xù)，存在曲線族ya（x） μ-，n= 1，2…x∈[a，b]，若ya（x）一致收斂于曲線y（x），則limyα→y（x）f（x，y）=fx，y（x）在[a，b]上一致連續(xù)且在[a，b]上一致收斂.