戴之卓

【摘要】觀察了市場(chǎng)中355毫升易拉罐的形狀，從節(jié)約材料、美觀、焊接等方面對(duì)易拉罐進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立了5個(gè)層次的數(shù)學(xué)模型，借助不等式、單調(diào)性、一元函數(shù)微分等知識(shí)進(jìn)行分析探討，最后對(duì)模型進(jìn)行拓展改進(jìn)，提出更合理的數(shù)學(xué)模型.

【關(guān)鍵詞】易拉罐；最優(yōu)；一元函數(shù)微分學(xué)

市面上，飲料量為355毫升的易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的，這應(yīng)該不是偶然現(xiàn)象.易拉罐的設(shè)計(jì)是在應(yīng)用很多數(shù)學(xué)知識(shí)優(yōu)化后設(shè)計(jì)出來(lái)的，我們用數(shù)學(xué)模型分析易拉罐的形狀和尺寸，探尋在某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì).

1.只考慮材料最省的正圓柱體易拉罐設(shè)計(jì)

圖 1假設(shè)包裝是標(biāo)準(zhǔn)的圓柱，忽略包裝材料的接縫，設(shè)圓柱底面半徑為r，圓柱高為h，上底厚度為a，圓柱厚度為b、下底厚度為c，易拉罐的容積為V，易拉罐制作用料體積為y，則有

V=πr2h，y=2πrhb+πr2（a+c），

r2h=Vh，

由不等式a+b+c≥33abc[1]可得

y=πrhb+πrhb+πr2（a+c）≥3π3r4h2b2（a+c）=3π3（Vπ）2b2（a+c）

當(dāng)且僅當(dāng)πrhb=πr2（a+c），即rh=ba+c時(shí)，易拉罐制作用料體積最小.

根據(jù)測(cè)量，飲料量為355毫升的可樂(lè)、雪碧等的易拉罐上底厚度為約在0.034 cm，圓柱厚度約為0.012 cm、下底厚度約為0.040 cm[2]，則rh=ba+c≈0.162，實(shí)際下底半徑約為3.28 cm，高約為10.90 cm，rh≈0.301，通過(guò)該模型測(cè)算結(jié)果與實(shí)踐值出入很大.

2.只考慮焊縫工作量最小的正圓柱易拉罐設(shè)計(jì)

如果易拉罐是圖1這樣的正圓柱體，焊縫是在上下底圓周和側(cè)面，總的焊縫工作量為L(zhǎng)=4πr+Vπr2=2πr+2πr+Vπr2≥334πV，當(dāng)r=3V2π2時(shí)，總的焊縫工作量取最小值334πV.

3.材料最省和焊縫工作量都考慮的最小正圓柱易拉罐設(shè)計(jì)

假設(shè)鋁合金的價(jià)格為k1元/cm3，假設(shè)易拉罐的焊接價(jià)格為k2元/cm.那么目標(biāo)函數(shù)需要為

y=[2πrhb+πr2（a+c）]k1+[4πr+Vπr2]k2.

可用導(dǎo)數(shù)去求解最優(yōu)值：

dydr=[2πhb+2πr（a+c）]k1+[4π-2Vπr3]k2

令dydr=0，即π（πhbk1+2πk2）r3+πk1（a+c）r4-Vk2=0，求此方程的非負(fù)實(shí)數(shù)解，就可以得到最優(yōu)設(shè)計(jì).

4.基于黃金分割律的正圓柱體易拉罐設(shè)計(jì)

黃金分割律又稱(chēng)黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長(zhǎng)段為全段的0.618.在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割（golden section），點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中ACAB≈0.618.

著名的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一句名言：“凡是美的東西都具有共同的特征，就是部分與部分及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致.”自從古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索首次發(fā)現(xiàn)了“黃金比”后，0.618這一數(shù)據(jù)便成了“協(xié)調(diào)一致”公認(rèn)的美學(xué)規(guī)律.

考慮易拉罐的美觀，易拉罐設(shè)計(jì)應(yīng)該滿(mǎn)足2rh=0.618，則r=0.309h，易拉罐制作用料體積y=2πrhb+πr2（a+c）=[0.618π+0.3092（a+c）π]h2，此函數(shù)為二次函數(shù)，在h>0時(shí)，y單調(diào)自增函數(shù).又有V=πr2h，h=3V0.3092π，則r=30.309Vπ.很顯然，實(shí)際體積可以不小于V，所以當(dāng)r=30.309Vπ，h=3V0.3092π時(shí)，y取最小值.用V=355帶入得到r=3.269，h=10.579，改進(jìn)后的模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際易拉罐尺寸測(cè)量數(shù)據(jù)比較接近.

圖 25.上部分是正圓臺(tái)和下部分是圓柱體的易拉罐設(shè)計(jì)

圓柱形易拉罐在開(kāi)啟時(shí)用力拉伸容易使易拉罐變形，所以把易拉罐設(shè)計(jì)成上面部分是正圓臺(tái)和下面部分圓柱體，從而使其剛性增加.最優(yōu)為以實(shí)際的易拉罐并不是一個(gè)圓柱體，把易拉罐設(shè)計(jì)成上面部分是正圓臺(tái)和下面部分圓柱體.設(shè)圓柱上表面半徑為r1，圓柱下底面半徑為r2，圓臺(tái)高為h1，圓柱高為h2，上底厚度為a，圓柱厚度為b、下底厚度為c，圓臺(tái)厚度為d，易拉罐的容積為V，易拉罐制作用料體積為y，則y=2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d，

V=πr22h1+π3（r21+r22+r1r2）h2，

考慮到美觀，基于黃金分割律可得

2r2h1+h2=0.618，從而r2=0.309h1+0.309h2.

考慮圓臺(tái)和圓柱體結(jié)合處的粘合性，圓柱臺(tái)的坡度最優(yōu)為tanα=h2r2-r1=103[3]，從而得r1=r2-0.3h2=0.309h1+0.009h2.這個(gè)數(shù)學(xué)模型為帶有約束條件的最小值問(wèn)題，求解較為復(fù)雜.按照飲料量為355毫升的可樂(lè)、雪碧等的易拉罐上底厚度為約在0.034 cm，圓柱厚度約為0.012 cm、下底厚度約為0.040 cm，圓臺(tái)厚度0.020 cm，可以通過(guò)lingo軟件求解h1=9.857，從而可以得h2=0.739，r1=3.052，r2=3.274.

6.模型的改進(jìn)

制作易拉罐的費(fèi)用除了材料費(fèi)外，易拉罐的制造過(guò)程中焊接接口工作量.那么目標(biāo)函數(shù)需要改進(jìn)為

y=[2πr2h1b+πr21a+πr22c+π（r1+r2）h22+（r2-r1）2d]k1+[h1+2π（r1+r2）+h22+（r2-r1）2]k2在滿(mǎn)足體積、焊接粘合性和黃金分割律約束條件下，所求得最優(yōu)值，應(yīng)該會(huì)更加合理.另外，易拉罐底部，也不一定是平的.在考慮耐受沖擊力的情況下，底部是一個(gè)圓凹槽可能會(huì)更好，這些都值得我們進(jìn)一步研究.

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