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《中心對稱圖形
——平行四邊形》測試卷參考答案

1. D 2. C 3. C 4. D 5. D 6. D 7. C 8. C

19.四邊形AEDF為菱形.

證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.又∵AD平分∠BAC，∴∠1= ∠2，∵DE∥AC，∴∠2 =∠EDA，∴∠1=∠EDA，∴AE=ED，∴平行四邊形AEDF為菱形.

20.（1）證明：∵在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，又∵CE=CG，∴△BCG≌△DCE（SAS）.

（2）由（1）得：BG=DE，∵由旋轉(zhuǎn)得：△DAE′≌△DCE，∴DE′=DE，AE′=CE，∴DE′= BG，AE′=CG，又∵正方形ABCD中，AB=CD，∴BE′=DG，∴四邊形E′BGD是平行四邊形.

21.∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，又∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB=∠MFB=90°，四邊形EBFM為矩形.又∵BM平分∠ABC，ME⊥AB，MF⊥BC，∴ME=MF，∴矩形EBFM為正方形.

22.（1）證明：∵在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90°，又∵BF=BP，∴△BCF≌△BAP（SAS），∴CF=AP.∠BFC=∠BPA.又由旋轉(zhuǎn)得：∠EPA=90°，PA=PE，∴PE=CF.∵∠BFC+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180°，∴PE∥CF.∴四邊形PCFE為平行四邊形.

（2）四邊形PCEF是平行四邊形.

證明：同（1）得：△BCF≌△BAP，∴∠BCF=∠BAP，AP=CF.由旋轉(zhuǎn)得：AP=PE，∠EPA=90°，∴PE=CF.∴∠BPE+∠BPA=90°，∵在△ABP中，∠ABP=90°，∴∠BAP+ ∠BPA=90°，∠BPE=∠BAP，∴∠BPE=∠BCF，∴PE∥CF，∴四邊形PCFE為平行四邊形.

23.（1）證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）.∴∠BAC=∠DAC，又AB=AD，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠BFA=∠DFA，∵∠CFE=∠BFA，∴∠AFD=∠CFE；

（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴DC=DA，∴AB=AD=DC=CB，∴四邊形ABCD是菱形.

（3）當(dāng)BE⊥CD時(shí)，∠EFD=∠BCD.證明：∵菱形ABCD中，∠BCA=∠DCA，又BC=DC，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∠CBF+∠BCD=90°，∠EFD+ ∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BCD.

24.（1）證明：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形.

又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形.

②設(shè)菱形的邊長AF=CF=x cm，則BF=（18- x）cm，

在Rt△ABF中，62+（18- x）2=x2，

解得x=10，∴AF=10 cm.

（2）①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形.

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒10 cm，點(diǎn)Q的速度為每秒6 cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=10t，QA=24- 6t，

②由題意得，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上.

分三種情況：

?。┤鐖D1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，x=24- y，即y=24- x，

ⅱ）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，24- y=x，即y=24- x，

ⅲ）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，24-x=y，即y=24- x.

綜上所述，x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式是y=24- x.

圖1

圖2

圖3