余敏（海軍蚌埠士官學(xué)校，安徽　蚌埠　233012）

平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的矩陣分析

余敏
（海軍蚌埠士官學(xué)校，安徽蚌埠233012）

摘要：平面四桿機(jī)構(gòu)是組成多桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。在已知機(jī)構(gòu)尺寸和原動件運(yùn)動規(guī)律的情況下，通過建立從動件運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，可以分析、確定機(jī)構(gòu)的各種性能指標(biāo)。矩陣模型方便分析有關(guān)機(jī)構(gòu)運(yùn)動及性能的綜合問題，而且計算精度高。

關(guān)鍵詞：四桿機(jī)構(gòu)；運(yùn)動；矩陣；分析

Abstract:The planar four-bar mechanism is the foundation of the multi-bar mechanism. In the case of knowing the size of the mechanism and the motion law of the prime motion，the various performance indicators can be ana-lyzed and determined by the establishment of the follower motion mathematical model. Matrix model is convenient to analyze the comprehensive problems of the mechanism motion and performance，with high precision computing.

Keywords:Four-bar mechanism; motion; matrix; analysis

平面四桿機(jī)構(gòu)由四個剛性構(gòu)件通過低副聯(lián)接而成，各個運(yùn)動構(gòu)件均在同一平面內(nèi)運(yùn)動。它能夠?qū)崿F(xiàn)多種運(yùn)動規(guī)律和運(yùn)動軌跡的要求，結(jié)構(gòu)簡單，傳動性能較好，是平面連桿機(jī)構(gòu)中最常見的形式，也是組成多桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。

一、四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的分析

（一）分析的內(nèi)容

平面四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動分析是高職《機(jī)械原理》課程的重要內(nèi)容。機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的內(nèi)容就是在已知機(jī)構(gòu)的主動輸入、構(gòu)件尺度的情況下，確定所有裝配構(gòu)件并從中選優(yōu)，確定從動件的位置、角位移、角速度和角加速度，確定從動件上某些點(diǎn)的軌跡、位移、速度和加速度，從而分析、評價機(jī)構(gòu)是否符合設(shè)計要求，標(biāo)定機(jī)構(gòu)的工作性能指標(biāo)。（如表1所示）

（二）分析的方法

機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的方法有圖解法和解析法，矩陣法是解析法的一種，即利用矩陣模型將機(jī)構(gòu)的未知運(yùn)動參數(shù)與已知運(yùn)動參數(shù)、尺寸參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，對機(jī)構(gòu)運(yùn)動進(jìn)行分析。其優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)推理嚴(yán)謹(jǐn)，計算精度高，方便把機(jī)構(gòu)分析和機(jī)構(gòu)綜合問題聯(lián)系起來作一個運(yùn)動循環(huán)過程的研究，從而獲取最優(yōu)方案。

矩陣分析四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的一般思路是：在直角坐標(biāo)系中，由機(jī)構(gòu)的幾何條件，建立機(jī)構(gòu)的位置矢量方程，再改寫為分量方程，然后對其求關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)，得機(jī)構(gòu)的速度（矩陣）方程，求二階導(dǎo)數(shù)得到機(jī)構(gòu)的加速度（矩陣）方程。

二、四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型的建立與矩陣分析

如圖1所示，設(shè)各構(gòu)件的尺寸已知，構(gòu)件4重合于x軸；在圖示位置原動件1的初始轉(zhuǎn)角θ1和等角速度ω1已知。確定（1）構(gòu)件2、3的角位移、角速度及角加速度；（2）連桿（構(gòu)件2）上P點(diǎn)的坐標(biāo)、速度及加速度。

表1　

圖1　機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析示意圖

規(guī)定x軸的正向?yàn)楦鳂?gòu)件轉(zhuǎn)角θ的起始線，沿逆時針為正。四桿機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件用矢量表示，得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，即矢量方程：

（一）軌跡（或位置）分析

1.構(gòu)件2、3的角位移θ2和θ3

將矢量方程（1）寫成直角坐標(biāo)形式，得

2.連桿上P點(diǎn)的坐標(biāo)（xP，yP）

P點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

這也是P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程

（二）速度分析

1.構(gòu)件2、3的角速度ω2和ω3

對方程（2）求導(dǎo)并寫成矩陣形式，得到角速度矩陣方程

2.連桿上P點(diǎn)的速度vP

對P點(diǎn)的位置方程（3）求導(dǎo)，得P點(diǎn)的速度為

（三）加速度分析

1.構(gòu)件2、3的角加速度α2和α3

對速度矩陣方程（4）求導(dǎo)，得加速度矩陣方程

2.連桿上P點(diǎn)的加速度aP

對P點(diǎn)的速度式（5）求導(dǎo)，得P點(diǎn)的加速度為

矩陣法作機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析時，建立的數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜，計算工作量大，但由于計算機(jī)的利用和數(shù)學(xué)工具的日臻完善，矩陣法已得到廣泛應(yīng)用。特別是當(dāng)需要確切知道或要了解機(jī)構(gòu)在整個運(yùn)動循環(huán)過程中的運(yùn)動特性時，或者作多桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析時，采用矩陣法并借助計算機(jī)軟件（如Matlab軟件），不僅可獲得很高的計算精度及一系列位置的分析結(jié)果，還能繪出機(jī)構(gòu)相應(yīng)的運(yùn)動曲線圖，提高機(jī)構(gòu)的設(shè)計與分析效率。

參考文獻(xiàn)

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中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）03-0250-02

作者簡介：余敏（1965-），女，漢族，本科，學(xué)士，海軍蚌埠士官學(xué)校教員，研究方向：士官基礎(chǔ)教