ESG40股指及其成份股之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析

楊茜麟

摘 要：在本文選取2014.8.25—2014.11.18的60分鐘線ESG40的指數(shù)走勢與其40支成分股的數(shù)據(jù)并以“收盤價(jià)”作為主要關(guān)系指標(biāo)。本文主要考慮兩部分內(nèi)容：第一，使用不同的估計(jì)方法來獲得ESG40股指與其成份股之間的模型關(guān)系。主要考慮了兩類有偏估計(jì)。同時(shí)，對(duì)所建立的模型進(jìn)行了顯著性檢驗(yàn)，誤差分析及其預(yù)測能力的考察。第二，考慮到各成分股之間可能存在較強(qiáng)的相關(guān)性，我們首先對(duì)數(shù)據(jù)做了聚類分析，又因?yàn)椴煌兞恐g可能存在有依賴關(guān)系，所以利用LASSO估計(jì)和彈性網(wǎng)估計(jì)做了變量選擇，以期望能利用較少的變量，進(jìn)行低復(fù)雜度的運(yùn)算，獲得一個(gè)具有良好預(yù)測能力的模型。

關(guān)鍵詞：主成分估計(jì) 嶺估計(jì) 變量選擇

本文以ESG40股指以及其成分股作為為研究對(duì)象，一方面研究該股指與其成分股之間的關(guān)系，另一方面以較少的成分股的組合，來跟蹤指數(shù)，為基金管理者這類投資者提供以風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖為目的的投資選擇。選取2014.8.25—2014.11.18的60分鐘線ESG40的指數(shù)走勢與其40支成分股的數(shù)據(jù)，并以“收盤價(jià)”作為主要關(guān)系指標(biāo)。從成份股的變更時(shí)間來看，在我們選取的時(shí)間段內(nèi)并沒有成份股的變更。因此不需要對(duì)選取的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

一、模型估計(jì)

筆者首先利用正回歸模型來估計(jì)參數(shù)，但相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)為16506.84，即存在嚴(yán)重的共線性，且最大以及最小的特征值間差異巨大，這會(huì)使得正回歸得到的模型具有很大的均方誤差，因此考慮有偏估計(jì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

1.主成分估計(jì)。由于變量間的相關(guān)性較高，主成分法就是通過降為將變量轉(zhuǎn)化為能解釋大多數(shù)變量的不相關(guān)的新變量，該方法由Pearson，K. 以及Hotelling， H. 分別在非隨機(jī)變量以及隨機(jī)向量情況下進(jìn)行的討論。在實(shí)際使用中，注意首先要利用scale函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后利用R軟件中的pr=princomp（）命令即可得到主成分分析結(jié)果。首先選取四個(gè)主成分做最小二乘估計(jì)，發(fā)現(xiàn)：模型與每一個(gè)主成分的系數(shù)都是顯著的。于是，我們利用坐標(biāo)變換之后，我們得到每個(gè)成分股所對(duì)應(yīng)的參數(shù)。此時(shí)我們得到主成分估計(jì)的殘差為2603.218，在我們選取的4個(gè)主成分時(shí)，雖然在指數(shù)的走勢上主成分估計(jì)和真實(shí)值是一樣的，但是預(yù)測值在估計(jì)的精度上還是比較差的。為了減小估計(jì)的殘差，我們采取增加主成分的方法，通過對(duì)協(xié)方差矩陣特征值的計(jì)算，我們設(shè)定閥值為0.1，發(fā)現(xiàn)前14個(gè)主成分滿足要求。重復(fù)上面的步驟，可以得到得到估計(jì)殘差平方和為360.7032，出現(xiàn)了不顯著的主成份的系數(shù)，但是模型依舊通過了顯著性檢驗(yàn)。同時(shí)我們還利用R軟件畫出了殘差圖及預(yù)測圖是的我們的結(jié)果更為直觀的展示出來。 下圖為4個(gè)主成分與14個(gè)主成分?jǐn)M合的對(duì)比圖。

2.嶺估計(jì)。另一種有偏估計(jì)就是嶺估計(jì)。因?yàn)檫@里我們要使用嶺估計(jì)（使用MASS程序包）。通過lm.ridge建立嶺估計(jì)，涉及到嶺參數(shù)lambda的選擇，首先我們利用R軟件畫出數(shù)據(jù)的嶺跡圖。

嶺跡圖中我們可以發(fā)現(xiàn)雖然調(diào)節(jié)參數(shù)lambda的值在5之后有了趨于穩(wěn)定的趨勢，但是我們看到在10的時(shí)候還是出現(xiàn)了交叉的現(xiàn)象。因此，我們使用R軟件中的select（）函數(shù)選取嶺參數(shù)而不是從嶺跡圖中選取，利用select函數(shù)選取嶺參數(shù)，選取在命令中自帶的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量（modified HKB estimator， Lawless-Wang， Generalized Cross Validation）中較小的modified HKB estimator 結(jié)果，為：0.1698289，選取該參數(shù)，得到的嶺估計(jì)的殘差平方和為88.42984，而對(duì)應(yīng)的擬合圖（圖2）如上。從該擬合圖看來預(yù)測值與實(shí)際值之間差異已經(jīng)很小了。

二、變量選擇

在利用最小二乘估計(jì)對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，雖然擬合效果很好，模型也通過了顯著性檢驗(yàn)，但是，較多的系數(shù)是沒有通過顯著性檢驗(yàn)的。而且，利用主成分估計(jì)來計(jì)算模型參數(shù)的時(shí)候，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們選取四個(gè)主成分的時(shí)候得到每個(gè)主成分的參數(shù)是顯著的，隨著主成分的增加模型的預(yù)測值與真是值之間的差距越來越小，但是主成分的系數(shù)也就變得不再都是顯著的。另外，從相關(guān)系數(shù)矩陣我們也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是存在嚴(yán)重的共線性的，這說明變量之間存在這較為嚴(yán)重的相互性、關(guān)聯(lián)性。因此，這里我們考慮變量選擇問題，利用較少的變量來來做預(yù)測。這樣就在保證模型較好的預(yù)測能力的前提下，大大的降低計(jì)算量。由于變量選擇是為了選取幾個(gè)相關(guān)性較強(qiáng)的變量中的具有代表性的變量，而相關(guān)性強(qiáng)的變量是可以被看作是屬于一類的。于是，在做變量選擇之前，我們先對(duì)數(shù)據(jù)做一個(gè)簡單的聚類分析。通過聚類來觀察各個(gè)變量之間在某個(gè)準(zhǔn)則下的相關(guān)性關(guān)系。我們按照離差平方和的標(biāo)準(zhǔn)，分成兩類，這里為了分析表述的方便，我們稱最底層的括號(hào)為一級(jí)分類，第二次的括號(hào)為二級(jí)分類，依次我們可以得到七級(jí)分類。事實(shí)上我們在進(jìn)行變量選擇時(shí)主要觀察哪一些變量被分離出來，而這些變量又是分屬于不同的級(jí)類的。一級(jí)分類如下：

1：廣匯能源。2：北京銀行，長江電力，大慶鐵路。3：招商銀行，興業(yè)銀行。4：馳宏鋅鍺。5：浦發(fā)銀行，特變電工。6：華能國際，民生銀行。7：保利地產(chǎn)，中國重工。8：中國交建。9：中國鐵建。10中國北車，中國南車。11：寶鋼股份，交通銀行。12：上港集團(tuán)，中信銀行。13：光大銀行，中國銀行。14：中國中鐵。15：中國鋁業(yè)。16：中國建筑，中國聯(lián)通，工商銀行。17：天士力，青島啤酒。18：中國神華。19：青島海爾。20：海正藥業(yè)，國電南瑞。21：包鋼稀土。22：上汽集團(tuán)，萬花藥業(yè)。23：中國太保。24：宇通客車，復(fù)星醫(yī)藥。

但是按照不同的準(zhǔn)則是有很多的變量選擇標(biāo)準(zhǔn)的，我們這里主要考慮以下兩類基于最小二乘估計(jì)帶有不同懲罰項(xiàng)的變量選擇方法：1. 絕對(duì)約束估計(jì)（LASSO）； 2. 彈性網(wǎng)約束估計(jì)。

1.絕對(duì)約束估計(jì)（LASSO）。LASSO（the least absolute shrinkage and selection operator）方法是由Tibshirani在1996年提出來的，近幾年在大批優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)學(xué)家的努力下有了長足的發(fā)展。這也使得LASSO方法日益成熟，在R軟件中也逐漸形成了專門的軟件包來做實(shí)現(xiàn)變量選擇，其中比較優(yōu)秀的算法應(yīng)該是有Efron等人提出的最小角回歸方法（LARS）， 我們這里也直接采用LARS算法來求解LASSO估計(jì)。在LARS軟件包中可以通過Cp準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則等來實(shí)現(xiàn)變量選擇，在我們的實(shí)際數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)如果采用Cp準(zhǔn)側(cè)，我們只是從40個(gè)變量中選取39個(gè)變量，并沒有很好的實(shí)現(xiàn)變量選擇。因此，我們這里只列出采用BIC準(zhǔn)則做變量選擇的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。首先，我們使用LARS中的predict函數(shù)給出參數(shù)s與BIC值之間的關(guān)系，并給出合適的s使得BIC達(dá)到最小。直接利用程序我們可以得到s=1.73時(shí)，我們得到最小的BIC值為7.518394。當(dāng)BIC的值為7.518394是我們利用LASSO估計(jì)選取了26個(gè)變量，且得到線性模型結(jié)果如下：

Y=6.888*浦發(fā)銀行+7.093*華能國際+0.7099*上港集團(tuán)+7.128*中國聯(lián)通+2.308*宇通客車+5.146*特變電工+1.483*上汽集團(tuán)+2.418*復(fù)新醫(yī)藥+2.252*萬華化學(xué)+0.858*國電南端+0.726*馳宏鋅鍺+0.205*青島海爾+2.192*長江電力+2.714*大秦鐵路+5.384*北京銀行+1.783*中國鐵建+0.559*中國北車+11.787*中國中鐵+12.538*工商銀行+5.78*中國鋁也+3.024*中國太保+10.362*中國建筑+2.659*中國交建+4.79*中國重工+10.152*中信銀行。然后我們得到利用LASSO估計(jì)得到的的殘差為159.4559。我們發(fā)現(xiàn)無論是從殘差或者模型預(yù)測的角度，我們得到的LASSO估計(jì)與真實(shí)值之間具有良好的擬合程度。

2.彈性網(wǎng)估計(jì)。鑒于LASSO估計(jì)的一些缺陷，例如，在一組相關(guān)性較高的數(shù)據(jù)中LASSO估計(jì)只能從其中選取一個(gè)變量，而舍棄了其他相關(guān)性較高的變量。我們這里再使用彈性網(wǎng)估計(jì)來實(shí)現(xiàn)變量選擇。該估計(jì)是合并考慮嶺估計(jì)以及絕對(duì)約束估計(jì)得到的。在R軟件中，使用glmnet程序包，首先我們利用交叉驗(yàn)證實(shí)現(xiàn)（cv.glmnet）參數(shù)的選擇，并得到最小的調(diào)節(jié)參數(shù)為0.1616009。具體的可以直接利用cv.glmnet函數(shù)直接實(shí)現(xiàn)CV交叉驗(yàn)證。我們發(fā)現(xiàn)利用彈性網(wǎng)估計(jì)可以選擇出的26個(gè)變量，得到估計(jì)的殘差：210.2164。建立的線性模型為：

Y=6.887*浦發(fā)銀行+7.095*華能國際+0.710*上港集團(tuán)+7.129*中國聯(lián)通+2.306*宇通客車+5.146*特變電工+1.482*上汽集團(tuán)+2.418*復(fù)新醫(yī)藥+2.253*萬華化學(xué)+0.858*國電南端+0.725*馳宏鋅鍺+0.204*青島海爾+2.195*長江電力+2.717*大秦鐵路+5.384*北京銀行+1.778*中國鐵建+0.557*中國北車+11.793*中國中鐵+12.534*工商銀行+5.779*中國鋁也+3.024*中國太保+10.379*中國建筑+2.656*中國交建+4.786*中國重工+10.155*中信銀行

我們可以發(fā)現(xiàn)彈性網(wǎng)估計(jì)和LASSO估計(jì)選取的變量是相同的，但是被選取的變量的系數(shù)還是不一樣的。LASSO估計(jì)和彈性網(wǎng)估計(jì)擬合圖對(duì)比如下：

最后，與前面的聚類分析對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn)：一級(jí)分類里面1中的變量被踢出了；2中的變量都得到了保留；3中的變量都被踢出了； 4中被保留；5中只有浦發(fā)銀行被保留；6中只有華能國際被保留，依次進(jìn)行下去，我們可以發(fā)現(xiàn)在離差平方和的準(zhǔn)則下和BIC的準(zhǔn)則下，變量選擇和聚類分析之間并沒有很大的關(guān)聯(lián)性。 這其中的主要原因就是因?yàn)槲覀冊谧鼍垲惙治鍪沁x取的離差平方和準(zhǔn)則，在做變量選擇是用的BIC準(zhǔn)則，我們猜測根據(jù)合適選擇標(biāo)準(zhǔn)，在做變量選擇時(shí)應(yīng)該與聚類分析中的一級(jí)聚類有很高的關(guān)聯(lián)性，但是這需要進(jìn)一步的驗(yàn)證，我們就不再這里贅述了。

三、結(jié)語

在本文中我們首先應(yīng)用最小二乘估計(jì)研究了ESG40股指及其成份股之間的模型建立問題?？紤]到實(shí)際問題中成份股與股指之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們借助主成分回歸和嶺回歸這種有偏估計(jì)方法建立了有偏估計(jì)的模型，對(duì)相應(yīng)的模型進(jìn)行了檢驗(yàn)分析。另外，在數(shù)值例子中我們發(fā)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣有著很高的共線性，同時(shí)，我們在對(duì)最小二乘回歸的模型做顯著性檢驗(yàn)是可以發(fā)現(xiàn)，有些變量的系數(shù)是不顯著的。因此，我們首先做了依據(jù)離差平方和準(zhǔn)則做了聚類分析，從40支股票中的到了24個(gè)一級(jí)聚類，這說明在離差平方和的準(zhǔn)則下，40支股票中是存在相關(guān)性很強(qiáng)的股票的。然后，我們利用LASSO估計(jì)和彈性網(wǎng)估計(jì)做了變量選擇。從我們的數(shù)值例子中可以發(fā)現(xiàn)，盡管LASSO估計(jì)與彈性網(wǎng)估計(jì)兩種方法選出了相同的26支股票，但是對(duì)應(yīng)變量的系數(shù)還是不同的。而且從殘差的角度來看，LASSO估計(jì)的殘差要跟小一些。另外，當(dāng)我們使用LASSO估計(jì)（彈性網(wǎng)估計(jì)）選取的變量跟聚類分析中的一級(jí)分類之間看上去是沒有什么關(guān)系的。我們猜測這里導(dǎo)致這個(gè)結(jié)果的主要原因是我們選取的標(biāo)準(zhǔn)的問題（聚類分析：離差平方和；LASSO： BIC； 彈性網(wǎng)：CV），如果選取合適標(biāo)準(zhǔn)，我們認(rèn)為變量選擇選取的變量是應(yīng)該在一級(jí)分類里面的，至少應(yīng)該存在某種合適的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這方面的探索就不再這里贅述了。

參考文獻(xiàn)：

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