李馭骉，李海濱

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051）

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粘彈性藥柱泊松比的實(shí)驗(yàn)研究

李馭骉，李海濱

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051）

摘要：泊松比作為材料的基本參數(shù)，對結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能有著重要影響。粘彈性材料的泊松比與線彈性材料相比，具有在時域或頻域下為變量的特點(diǎn)。為了研究固體火箭發(fā)動機(jī)粘彈性藥柱的泊松比，本文結(jié)合理論推導(dǎo)與試驗(yàn)測量，得到粘彈性材料泊松比在時域下的表達(dá)式。結(jié)合拉普拉斯變換和各向同性理論，利用粘彈性材料基本理論得到時域下的積分型表達(dá)式，最終將粘彈性材料的泊松比以Prony級數(shù)形式表達(dá)。通過試驗(yàn)得到材料相應(yīng)的參數(shù)，并利用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和計(jì)算，最終得到粘彈性材料泊松比的實(shí)際函數(shù)，為固體火箭整體分析提供了相應(yīng)參數(shù)。

關(guān)鍵詞：泊松比；粘彈性；蠕變；固體推進(jìn)劑

0　引言

泊松比是材料基本參數(shù)之一，因此泊松比的測量有著很重要的意義。線彈性材料在受力情況下橫向應(yīng)變和縱向應(yīng)變的比值是一個常數(shù)，由此它的泊松比即為常數(shù)。但在粘彈性材料中，泊松比是與作用時間或頻率和溫度有關(guān)的變量參數(shù)［1-2］。并且大多數(shù)粘彈性材料滿足各向同性，因此在泊松比的推導(dǎo)中可利用各類模量結(jié)合得到最終結(jié)果［3］。粘彈性材料在測量泊松比時不能應(yīng)用彈性力學(xué)模量和應(yīng)變之間簡單的關(guān)系來求，需要通過拉氏變換求出相應(yīng)的積分關(guān)系［4］。在本文中應(yīng)用了拉伸松弛模量、剪切蠕變?nèi)崃吭诶嫌蛑械淖儞Q最終推導(dǎo)出泊松比的積分表達(dá)式。

1　理論分析

粘彈性材料的力學(xué)行為介于彈性胡可定律和粘性牛頓理論之間，并且粘彈性的力學(xué)行為大多由單軸拉伸和剪切試驗(yàn)得出；其中蠕變，應(yīng)力松弛（此后簡稱松弛）和正弦變化的動載荷比較常見［5］。

1.1粘彈性基本理論

在恒定載荷（或應(yīng)力）作用下，應(yīng)變隨時間逐漸增加的過程叫做蠕變［6］。并且應(yīng)變與恒定的應(yīng)力的比值叫做蠕變?nèi)崃?，D（t）。

在恒定應(yīng)變下應(yīng)力隨時間而減小的過程叫做應(yīng)力松弛［6］。并且應(yīng)力與恒定的應(yīng)變比值叫做松弛模量，E（t）。

上述公式（1）和（2）中都可以將定值用階躍函數(shù)表示，H（t）。例如蠕變中，σ（t）=σ0H（ t ）。利用玻爾茲曼疊加原理，可得到：

同理松弛中可得到：

1.2時域下的泊松比

粘彈性泊松比在求解時需要應(yīng)用相應(yīng)理論，其中有微分型和積分型兩種。力學(xué)模型和載荷歷史決定了泊松比具體表達(dá)式；微分型由于不同的形式所得出的表達(dá)式不同，因此表達(dá)式不能統(tǒng)一，并且在拉式逆運(yùn)算時計(jì)算復(fù)雜；與之相對的積分型就具有很大的優(yōu)勢［7-10］；既本文中利用積分型求解。

泊松比在時域下可以表示為：

其中εx（t）為橫向應(yīng)變，εy（t）為縱向應(yīng)變。粘彈性材料在縱向單向受力的情況下，橫向上的響應(yīng)滯后于縱向變形歷史。因此在求粘彈性材料的泊松比時不能直接用橫縱應(yīng)變的比值來求，需要在拉氏域進(jìn)行運(yùn)算后得出相應(yīng)的計(jì)算公式。

在拉氏域中泊松比表達(dá)式轉(zhuǎn)換為式（6）。

當(dāng)進(jìn)行蠕變試驗(yàn)時：

粘彈性材料在時域下具有各向同性，因此它滿足彈性力學(xué)中泊松比μ與拉伸模量E、剪切模量G、剪切柔量J、體積模量K、體積柔量B的關(guān)系，如下式（9）-（11）。

根據(jù)彈性和粘彈性對應(yīng)原理，利用拉普拉斯變換可得式（12）-（14）［7］。

對式（12）中進(jìn)行拉氏逆變換得：

對式（13）中進(jìn)行拉氏逆變換得：

對式（14）中進(jìn)行拉氏逆變換得：

由式（15）-（17）可得泊松比的計(jì)算中，當(dāng)?shù)玫嚼焖沙谀Ａ縀（t）、剪切蠕變?nèi)崃縅（t）、剪切松弛模量G（t）、體積蠕變?nèi)崃緽（t）、體積松弛模量K（t）就可以推導(dǎo)出粘彈性材料的泊松比μ（t）。本文中應(yīng)用的是公式（15），因此需要求E（t）和J（t）。

2　試驗(yàn)過程

2.1試驗(yàn)樣品和設(shè)備

試樣來源于某型號固體火箭發(fā)動機(jī)藥柱。根據(jù)試驗(yàn)臺對試樣尺寸的特殊要求將拉伸試樣加工為高50.00mm、寬11.00mm、厚度為3.60mm；剪切試樣為高10.00mm、寬10.00mm、厚度為3.60mm的試樣；拉伸試樣如圖1所示。

在實(shí)際加工中，試樣的尺寸和設(shè)計(jì)尺寸存在差異，為了保證試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在計(jì)算中都采用形狀的真實(shí)尺寸。拉伸和剪切試樣各制作5個。具體尺寸如表1。

圖1　拉伸試樣Fig. 1 Tension Specimen

表1　試樣尺寸Tab.1 Sample Size

為了減少試樣加工對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，試樣加工完成后在高溫環(huán)境中（50℃）存放24小時，消除加工時產(chǎn)生的殘余應(yīng)力。

試驗(yàn)中總共應(yīng)用兩種器材；德國GABO公司生產(chǎn)的EPLEXOR動態(tài)力學(xué)熱分析儀。其中動態(tài)力學(xué)熱分析儀對試樣進(jìn)行蠕變和松弛試驗(yàn)，并測得縱向上的相應(yīng)參數(shù)，如圖2。兩種試驗(yàn)臺獲得的數(shù)據(jù)精度都在小數(shù)點(diǎn)后6位以上，完全滿足試驗(yàn)所需精度。

2.2試驗(yàn)過程與數(shù)據(jù)處理

總共做兩組試驗(yàn)；其中每組用不同的試樣重復(fù)做五次，除去異常數(shù)據(jù)后求均值。兩組試驗(yàn)分別為拉伸松弛（圖3）和剪切蠕變（圖4）。在進(jìn)行試驗(yàn)時保持試驗(yàn)過程恒溫，控制在室溫27℃。

圖2　試驗(yàn)設(shè)備Fig. 2 Test Equipment

圖3　拉伸試驗(yàn)Fig. 3 Tension Test

圖4　剪切試驗(yàn)Fig. 4 Shear Test

上述兩種試驗(yàn)分別得到了松弛模量E（t）和剪切蠕變?nèi)崃縅（t）。得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)需要排除異常數(shù)據(jù)，在取舍時應(yīng)用格拉布斯準(zhǔn)則判斷（設(shè)置信度α=95%）［11］；將異常數(shù)據(jù)刪除得到最終數(shù)值。

3　結(jié)果處理

將試驗(yàn)中測得將拉伸松弛模量E（t）和剪切蠕變?nèi)崃縅（t），通過MATLAB模擬成9階Prony級數(shù)的函數(shù)；E（t）擬合的結(jié)果如圖5。

應(yīng)用MATLAB中函數(shù)擬合中存在的誤差對計(jì)算泊松比有很大影響；因此在函數(shù)擬合時應(yīng)將擬合精度提高，保證所得到的函數(shù)與真實(shí)值的誤差足夠小；并且在函數(shù)擬合時保證系數(shù)準(zhǔn)確性。

圖5　松弛模量Fig. 5 Relaxation Modulus

其中E（t）公式為：

參數(shù)見表2：

表2　松弛模擬參數(shù)Tab.2 Relaxation Modulus Parameter

將模擬出的E（t）和J（t）結(jié)果帶入上述理論推導(dǎo)得出計(jì)算泊松比的公式（15）中得到泊松比函數(shù)μ（t），如圖6。

最終也利用7階Prony級數(shù)的模擬成式（21），參數(shù)見表3。

圖6　泊松比擬合結(jié)果Fig. 6 Poisson's Ratio Fitting Result

表3　泊松比參數(shù)Tab.3 Poisson's Ratio Parameter

4　結(jié)論

在藥柱的粘彈性分析中泊松比的恒定假設(shè)已被普及使用；在研究中設(shè)為0.49左右［12］。由圖（6）可見，在時間歷程下，泊松比的變化只有在前期變化幅度很大。因此在粘彈性的力學(xué)分析中，這種對泊松比近似成常數(shù)的方法對最終結(jié)果產(chǎn)生的誤差結(jié)果在初期影響較為明顯，在后期則可以認(rèn)定這種假設(shè)是允許的。并且通過本文最終得到結(jié)果可得出藥柱泊松比隨時間變化逐漸增大并趨近于0.5。

由于各個試驗(yàn)的時間歷程都是104s，因此最終結(jié)果在104s以內(nèi)的數(shù)據(jù)都為真實(shí)數(shù)據(jù)；在104s后的數(shù)據(jù)為估算數(shù)據(jù)。雖然在得到的結(jié)果在104s后仍然符合客觀規(guī)律，但和實(shí)際值之間存在的差異暫時無法獲得。

由于測量方法的制約不能進(jìn)行變溫測量，因此泊松比在溫度變化下的規(guī)律仍然無法得到。粘彈性材料的泊松比是否存在時溫等效原理也需要進(jìn)一步的研究。

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本文引用格式：李馭骉，李海濱.粘彈性藥柱泊松比的實(shí)驗(yàn)研究［J］. 新型工業(yè)化，2016，6（4）：16-21.

Citation: LI Yu-biao， LI Hai-bin. Experimental Study on Poisson’s Ratio of Viscoelastic Grain［J］. The Journal of New Industrialization，2016，6（4）: 16-21.

Experimental Study on Poisson’s Ratio of Viscoelastic Grain

LI Yu-biao， LI Hai-bin
（College of Science， Inner Mongolia University of Technology， Hohhot 010050， China）

Abstract:As the basic parameters of the material， Poisson’s ratio has an important influence on the mechanical properties of the structure. Compared with elastic material， the viscoelastic material Poisson ratio is variable in the time domain or frequency domain. In order to study the Poisson’s ratio of solid rocket motor， the expressions of Poisson’s ratio in time domain are obtained based on the theoretical derivation and experimental measurement. Based on Laplasse transform and isotropic theory，the integral expressions in time domain are obtained by using the basic theory of viscoelastic materials， and the Poisson’s ratio of viscoelastic materials is expressed by Prony series. Material’s corresponding parameters are obtained through the experiment，and experiment data is fit and calculated by using MATLAB software. Finally， gained actual function of viscoelastic material Poisson’s ratio， and provided corresponding parameters for the analysis of solid rocket.

Keywords:Poisson’s Ratio； Viscoelasticity； Creep； Solid Propellant

DOI：10.19335/j.cnki.2095-6649.2016.04.003

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（11262014）

作者簡介：李馭骉（1990-），男，碩士，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，主要研究方向：粘彈性材料研究；李海濱（1973-），男，教授，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，主要研究方向：結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化計(jì)算，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算