周　平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

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M-矩陣與其逆矩陣的q(A°A-1)的進(jìn)一步研究

周平

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

摘要：利用特征值包含域定理，對(duì)M-矩陣A與其逆矩陣的τ(A°A-1)作了進(jìn)一步研究，并獲得新的估計(jì)式；理論分析且數(shù)值算例表明，新估計(jì)式改進(jìn)了Fiedler和Markham的猜想，同時(shí)也改進(jìn)了有關(guān)的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：M-矩陣；最小特征值；下界；雙隨機(jī)

1符號(hào)說(shuō)明和基本定義

定義1[1]設(shè)A=(ai j)∈Rn×n,若aij>0;i,j∈N,則稱(chēng)A為正矩陣,記為A>0；若aij≥0;i,j∈N,則稱(chēng)A為非負(fù)矩陣,記為A≥0.

定義2[1-10]設(shè)A=(ai j)∈Rn×n且ai j≤0;i≠j;i,j∈N，則稱(chēng)A為Z-矩陣,記所有n×n階Z-矩陣所成之集為Zn.

定義3[2-3]若A=(ai j)∈Zn可表示為A=sI-P,其中P≥0,s≥ρ(P),則稱(chēng)A為M-矩陣.特別地,當(dāng)s=ρ(P)時(shí),稱(chēng)A為奇異M-矩陣；當(dāng)s>ρ(P)時(shí),稱(chēng)A為非奇異M-矩陣.記所有n階非奇異M-矩陣所組成的集合為Mn.

定義4[4]設(shè)A=(ai j)∈Cm×n,B=(bi j)∈Cm×n,定義A°B=(ai jbi j)∈Cm×n，即：

A°B稱(chēng)為A和B的Hadamard積.

定義6[2]設(shè)A=(ai j)∈Zn,記q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)},稱(chēng)q(A)為A的最小特征值.

定義8[4]設(shè)A≥0且A的每一列元素和為1，則A稱(chēng)為隨機(jī)的；若A≥0，A的每一列元素和為1且A的每一行元素和也為1，則A稱(chēng)為雙隨機(jī)矩陣.

2τ(A°A-1)的新估計(jì)式

引理2[6-7]設(shè)A-1是雙隨機(jī)矩陣，則Ae=e，ATe=e，其中e=(1,1,…,1)T.

引理3[8]設(shè)A=(ai j)∈Rn×n,若A有如下不可約標(biāo)準(zhǔn)形：

其中P為置換矩陣，Ai或不可約或?yàn)?，i=1,2,…,s,則:

引理4[10]如果A=(ai j)為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，那么A-1=(βi j)存在，且有：

定理1設(shè)A=(ai j)∈Rn×n是非奇異M-矩陣,A-1=(βi j)是雙隨機(jī)矩陣，則:

證明當(dāng)n=1時(shí)顯然成立.下面對(duì)n≥2的情況進(jìn)行證明.

情形Ⅰ 記λ=q(B°A-1).當(dāng)A為不可約矩陣時(shí)，根據(jù)已知條件和引理2有：

所以

即

故

情形Ⅱ當(dāng)A是可約矩陣時(shí)，為了不失一般性，根據(jù)引理3，假設(shè)A具有如下塊上三角形式：

文獻(xiàn)[10]中給出的定理3.3,說(shuō)明文獻(xiàn)[10]中的結(jié)果包含于定理1內(nèi).

3數(shù)值例子

根據(jù)定義3知，A∈Mn,且既是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)又是嚴(yán)格列對(duì)角占優(yōu)矩陣.又應(yīng)用引理2便知，A-1是雙隨機(jī)的.

應(yīng)用Fiedler和Markham在文獻(xiàn)[4]中的猜想，得q(A°A-1)≥2n-1=0.2.

應(yīng)用LiHou-biao等在文獻(xiàn)[6]中給出的定理3.1，得q(A°A-1)≥0.742 3.

應(yīng)用ZhouDuan-mei等在文獻(xiàn)[9]中給出的定理3.1，得q(A°A-1)≥0.447 1.

應(yīng)用ChenFu-bin在文獻(xiàn)[10]中給出的定理3.3，得q(A°A-1)≥0.897 6.

但應(yīng)用本文定理1，當(dāng)α=1/2時(shí)，得τ(A°A-1)≥0.936 7.

事實(shí)上，應(yīng)用Matlab7.1計(jì)算得q(A°A-1)≥0.967 8.對(duì)比以上各估計(jì)式的計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)文中給出的對(duì)非奇異M-矩陣與其逆的q(A°A-1)下界的估計(jì)式有效地改進(jìn)了Fiedler和Markham的猜想以及一些現(xiàn)有的結(jié)果，提高了現(xiàn)有的估計(jì)精確度.

注2矩陣的特征值最主要是與矩陣的元素相關(guān)，但Fiedler和Markham的猜想給出的估計(jì)式僅與矩陣的階數(shù)有關(guān)，文獻(xiàn)[4,6,9,11,12,13]中給出的估計(jì)式，要么與M-矩陣的最小特征值相關(guān),要么與Jacobi迭代矩陣的譜半徑相關(guān),當(dāng)矩陣的階數(shù)較大時(shí)，這些量都是難以計(jì)算的,從而應(yīng)用它們估計(jì)q(A°A-1)的下界是難以實(shí)現(xiàn)的，但文中定理給出的這些估計(jì)式僅與矩陣的元素有關(guān)系，計(jì)算簡(jiǎn)單易行.

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責(zé)任編輯：時(shí)凌

Further Research on theq(A°A-1) of anM-matrix and its Inverse

ZHOU Ping

(School of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China)

Abstract：The q(A°A-1)of an M-matrix and its inverse is further researched by using the theorem for localizations of matrix eigenvalues，and some new estimations are obtained.There are the theoretical analysis and numerical figure show that the new estimating formulas have improved the conjecture of Fiedle and Markham effectively and other existing results in some cases.

Key words：M-matrix;minimum eigenvalue;lower bound;doubly stochastic

收稿日期：2016-01-07.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261049)；云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2013FD052)；文山學(xué)院“解析幾何”精品課程項(xiàng)目.

作者簡(jiǎn)介：周平(1987- )，女，碩士,講師，主要從事數(shù)值代數(shù)和矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用.

文章編號(hào)：1008-8423(2016)01-0031-04

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.008

中圖分類(lèi)號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A