李長(zhǎng)軍, 任幸福

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的存在性?

李長(zhǎng)軍, 任幸福

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

摘要：由于具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，因此對(duì)其進(jìn)行研究不但是理論需要也是應(yīng)用需要。本文通過(guò)利用拓?fù)涠壤碚摵筒坏仁郊记?，研究了具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性，給出了周期解存在的判據(jù)，并舉例說(shuō)明了所得結(jié)果的正確性，推廣了相關(guān)文獻(xiàn)[4，7]等的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 拓?fù)涠壤碚摚?周期解； S-分布時(shí)滯

引用格式：李長(zhǎng)軍. 具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的存在性[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016, 46(5)： 138-144.

LI Changjun. The Existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed delays[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(5)： 138-144.

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由Chua和Yang 1998年提出的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1-3]。它是一個(gè)大規(guī)模非線性模擬系統(tǒng)，且能高速并行計(jì)算，提高運(yùn)行速度。目前，關(guān)于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為研究已經(jīng)有很多結(jié)果[4-7]。由于受到時(shí)滯，參數(shù)以及各種隨機(jī)因素的影響，細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。因此被應(yīng)用于各種復(fù)雜的力學(xué)、化學(xué)、電磁學(xué)以及生物學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域[7-13]。因?yàn)殡x散時(shí)滯與分布時(shí)滯互不包含，而S-分布時(shí)滯包含這兩部分，所以本文用S-分布時(shí)滯替換原有的離散時(shí)滯與分布時(shí)滯，解除了人們的困擾，同時(shí)又加上了中立型，將已有的結(jié)果進(jìn)行了推廣，使得具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用更加廣泛，更具有研究的必要性。本文通過(guò)利用拓?fù)涠壤碚摵筒坏仁郊记?，研究了某種具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性，給出了周期解存在的判據(jù)，并舉例說(shuō)明了所得結(jié)果的正確性，推廣了文獻(xiàn)[4,7]等的結(jié)果。

1模型

首先給出具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

(1)

假設(shè)：

定義映射L,N如下：

L:X→Y

N:X→Y

2預(yù)備知識(shí)

為了方便起見(jiàn)，引入下面一些符號(hào)說(shuō)明：

定義 2.2設(shè)X,Y是兩個(gè)向量空間，L:DomL?X→Y是一線性映射，如果dimker=codimImL<+∞和ImL是Y中的閉集，則稱映射L是一零指標(biāo)的Fredholm算子。

設(shè)L:X→Y是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子,記

對(duì)所有的有界子集A∈X}。

引理2.1[5]設(shè)L:X→Y是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子,Ω?X是有界開(kāi)集，并且關(guān)于0∈Ω對(duì)稱,N:Ω→X是k-集合壓縮映射且k

引理2.4[10]令，如果x:[0,+∞)→R是周期的，則

gi(t,x,x1,…，xn,z)-gi(t,u,u1,…，un,z)=

所以，

3周期解的存在性

現(xiàn)在討論系統(tǒng)(1)的周期解的存在性。

D=diag(1-pa1,L,1-pan)。

定理3.1若在條件(T1)-(T3)下，且下列條件成立

證：(1)考慮算子方程：

(2)

(3)

(4)

因此，可得

由上式，則有

AX≤BY+H

(5)

其中，

由(T2)、(T3)和引理2.7可得

所以，

其中1-aipi>0，上式等價(jià)于

DY≤CX+H

(6)

由(5)和(6)可得

由(T5)可得

即：

(7)

類似可得

將方程(3.2)兩端從0到ω積分，有

由假設(shè)(T2)、(T3)和引理2.7和Cauchy-Schwarz不等式知

(8)

另一方面，由方程(3)可得

(9)

則由式子(8)和(9)，可得

同理可得

所以，綜上可知

將(3.2)從0到ω積分，得

所以，

又因?yàn)?/p>

-Bi。

其中,

由系統(tǒng)(3)、條件(T2)和(T3)可得

(2)定義投影算子：

不失一般性，設(shè)x≡M，

則取適當(dāng)大的A0和C0使得

則

同理可得

所以可得，QNx≠0,?x∈?Ω∩kerL。

4舉例

例考慮二維具有S-分布時(shí)滯的中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，

且各個(gè)參量的取值結(jié)果如下：

顯然D是一個(gè)對(duì)角陣且dii>0，又因?yàn)?/p>

1.6663>0,1.7726>0,-0.3525<0,-0.2925<0

且det(A-BD-1C)=2.8506>0。

所以矩陣A-BD-1C為非奇異的M矩陣。上述二維系統(tǒng)滿足定理3.1的所有條件，因此該系統(tǒng)至少有一個(gè)以2π為周期的解。

5結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)利用拓?fù)涠壤碚摵筒坏仁郊记桑C明了此類具有S-分布時(shí)滯的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的周期解的存在性，并給出了周期解存在的判據(jù)。在研究的過(guò)程中猜測(cè)此系統(tǒng)的周期解還具有穩(wěn)定性，但是由于該系統(tǒng)的復(fù)雜性以及個(gè)人專業(yè)知識(shí)的欠缺，沒(méi)能證明該系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性。此類問(wèn)題還有待于近一步研究。

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責(zé)任編輯陳呈超

The Existence of Periodic Solutions of Neutral Type Cellular Neural Networks with S Type Distributed Delays

LI Chang-Jun, REN Xing-Fu

(School of Mathematical Sciences, Oceean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:With the development of science and technology, the Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays were widely used in many fields. So its study is not only needed by theory but also by practice. By using the theory of coincidence degree and with the help of methods of differential inequality, the problem on the existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays was studyed. A criterion of periodic solutions was obtained. An example was given to demonstrate the accuracy of the proposed results and some results were extended in the paper.

Key words:Cellular Neural Network; coincidence degree theory; periodic solutions; S type distributed delays

基金項(xiàng)目：?國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41275013)資助

收稿日期：2014-06-15；

修訂日期：2015-04-20

作者簡(jiǎn)介：李長(zhǎng)軍(1956-)，男，博士，副教授，主要分析領(lǐng)域?yàn)閺?fù)分析，離散群幾何。E-mail:licj@ouc.edu.cn

中圖法分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)05-138-07

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140174

Supported by National Natural Science Foundation of China(41275013).