摘要：在現(xiàn)實(shí)生活中，類似石油井架的一些桁架結(jié)構(gòu)形式較多，而在進(jìn)行該類結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)，還需使用幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，才能獲得更為精確的設(shè)計(jì)結(jié)果。文章在對(duì)桁架結(jié)構(gòu)幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題展開分析的基礎(chǔ)上，在石油井架設(shè)計(jì)中進(jìn)行了該種設(shè)計(jì)方法的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：桁架結(jié)構(gòu)；幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)；石油井架設(shè)計(jì)；有限元靜力分析 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：TE922 文章編號(hào)：1009-2374（2016）17-0009-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.201617.004

作為石油鉆采機(jī)械的重要組成部分，石油井架的設(shè)計(jì)得到了石油行業(yè)的重視。但就目前來看，使用線性穩(wěn)定分析和有限元靜力分析方法進(jìn)行井架的設(shè)計(jì)，將無法滿足所有井架的應(yīng)用需求。因此，還需要在石油井架設(shè)計(jì)中進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的運(yùn)用，從而更好地滿足石油工業(yè)的發(fā)展需要。

1 幾何非線性分析的概念

在工程設(shè)計(jì)過程中，通常使用的理論都是線彈性理論，比如幾何方程、平衡方程和物理方程等。但是一些實(shí)際工程并不能保持上述線性關(guān)系，所以就無法使用線彈性方程進(jìn)行工程力學(xué)關(guān)系的描述。例如，工程結(jié)構(gòu)形狀的不連續(xù)變化、在外載荷作用下出現(xiàn)的工程結(jié)構(gòu)局部材料進(jìn)入塑性、鋼架結(jié)構(gòu)大變形和高溫下的結(jié)構(gòu)蠕變，都屬于需要利用非線性理論描述的問題。而在工程結(jié)構(gòu)的非線性分析中，又可以劃分成幾何非線性、材料非線性和狀態(tài)非線性。所謂的幾何非線性，其實(shí)就是其應(yīng)變位移是非線性的。比如，工程結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的大位移、大轉(zhuǎn)動(dòng)和小應(yīng)變問題，就屬于幾何非線性問題。

與線性方法不同，幾何非線性方法使用的小變形線性理論平衡方程需要在工程結(jié)構(gòu)未發(fā)生變形的情況下建立。但是在實(shí)際生活中，平衡方程需要在變形之后建立。所以結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)將與平衡狀態(tài)出現(xiàn)差異，這種差異則會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)產(chǎn)生一定的影響。使用幾何大變形結(jié)構(gòu)分析理論，則能夠使二者保持統(tǒng)一協(xié)調(diào)。此外，采用線性分析方法，一定能夠獲得問題的解。但是，使用幾何非線性分析方法，在桿件界面過小或荷載過大的情況下，就可能無法求到解。而這也說明，工程結(jié)構(gòu)可能不存在變形與平衡統(tǒng)一的狀態(tài)。

2 桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

2.1 桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性穩(wěn)定性分析

針對(duì)小變形桁架結(jié)構(gòu)，可以使用幾何非線性歐拉理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的分析。而使用該理論，其實(shí)就是以歐拉穩(wěn)定條件為臨界點(diǎn)理論的約束條件，可以順利求得方程的正確解。在任何桁架結(jié)構(gòu)中，該方法都能夠適用。而針對(duì)高荷載和大截面的桁架結(jié)構(gòu)，也可以通過將其自動(dòng)歸結(jié)為臨界點(diǎn)理論進(jìn)行問題的求解。具體來講，就是在桁架變形狀態(tài)下進(jìn)行平衡方程的建立，然后利用幾何非線性理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的分析。但此時(shí)，結(jié)構(gòu)變形是未知的，所以還需要使用迭代的方法進(jìn)行求解，并且直到前后兩次迭代的解的誤差小于給定誤差。在進(jìn)行迭代求解時(shí)，需要使用線性平衡方程進(jìn)行內(nèi)力向量的求解，然后利用歐拉穩(wěn)定條件進(jìn)行桿件的橫截面積的修改。針對(duì)細(xì)長圓桿，需要進(jìn)行材料對(duì)應(yīng)的長細(xì)比下界的設(shè)置，而針對(duì)中長桿和短桿，需要有相應(yīng)的穩(wěn)定條件，以便對(duì)橫截面積的修改進(jìn)行約束。完成該兩個(gè)步驟之后，需要使用胡克定律進(jìn)行各桿變形量的求解。但是，如果遭遇超靜定問題，則需要進(jìn)行與自由度數(shù)相同個(gè)數(shù)的桿件變形量的計(jì)算。此時(shí)就不需要進(jìn)行其與桿件變形量的計(jì)算，但是需要得到桿件的內(nèi)力值。根據(jù)計(jì)算得到的桿件變形量，可以對(duì)各節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行節(jié)點(diǎn)位移向量的求解。在這一過程中，需要先進(jìn)行各桿的變形量，然后再計(jì)算長度。針對(duì)已經(jīng)變形的幾何構(gòu)形，需要建立內(nèi)力平衡方程，然后進(jìn)行平衡方程的求解，從而得到待定的內(nèi)力。最后根據(jù)求得的結(jié)果，就可以判斷桁架結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定。

2.2 桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.2.1 優(yōu)化模型。完成桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性穩(wěn)定分析后，就可以使用工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。利用該方法可以將優(yōu)化算法與結(jié)構(gòu)分析結(jié)合起來，從而得到滿足設(shè)計(jì)要求的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。針對(duì)確定幾何形狀和給定拓?fù)浒才诺蔫旒芙Y(jié)構(gòu)，想要進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)就可以重量極小為目標(biāo)。而結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下式，需要進(jìn)行A的范圍的求解：

式中：A為桿件的橫截面積，即設(shè)計(jì)變量向量；則為某個(gè)方向的位移界限；為給定應(yīng)力上下限；為尺寸上下限；N、M、N1、Lk和ρk分別為設(shè)計(jì)變量總數(shù)、位移約束總數(shù)、桿件總數(shù)、第K類桿件長度和第K類桿件的重度。

在處理該模型時(shí)，需要使用準(zhǔn)則法，并且按照應(yīng)力法進(jìn)行應(yīng)力約束的處理，以便形成相應(yīng)的函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)變換就可以得到迭代公式，然后通過求解獲得桁架結(jié)構(gòu)的線性優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。而由于整個(gè)過程未進(jìn)行本構(gòu)關(guān)系的引入，所以也可以利用該模型求解桁架結(jié)構(gòu)的非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

2.2.2 桁架的靜力分析。針對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)，可以使用Newton-Raphson法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的靜力分析。在分析的過程中，可以采取單元?jiǎng)偠汝囘M(jìn)行桿件的局部坐標(biāo)系的表示，從而使結(jié)構(gòu)坐標(biāo)得到適當(dāng)?shù)恼恚^而滿足優(yōu)化公式推導(dǎo)需要。在此基礎(chǔ)上，還要將公式轉(zhuǎn)換成全局坐標(biāo)系，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定情況進(jìn)行掌握?？紤]到大部分桁架結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)位移發(fā)散現(xiàn)象，而一些結(jié)構(gòu)則會(huì)出現(xiàn)位移過大或位移振蕩不收斂的問題，所以在利用模型求解后，一旦位移收斂于有限的確定值，就可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)整體比較穩(wěn)定。

2.2.3 桁架的敏度分析。就目前來看，在使用幾何非線性分析法進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，通常需要使用位移對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。所以在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中，還需要進(jìn)行位移靈敏度的求解。針對(duì)線性問題則可以利用一些推導(dǎo)能用顯式進(jìn)行位移對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)，但是針對(duì)幾何非線性問題，考慮到位移與載荷之間的非線性關(guān)系，則需要使用其他方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的敏度分析。具體來講，就是需要將位移靈敏度顯式進(jìn)行兩邊求導(dǎo)。在求導(dǎo)的過程中，需要對(duì)設(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)，從而得到關(guān)于位移靈敏度的線性方程組。而在該方程組中，結(jié)構(gòu)剛度矩陣是在幾何非線性的影響下得到的，所以還可以根據(jù)總剛的組裝規(guī)則進(jìn)行公式的簡(jiǎn)化。最后通過求解位移靈敏度的系數(shù)矩陣，就能夠得到單元?jiǎng)偠汝囉兴淖兊臈U件設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果。

2.2.4 桁架的近似重分析。在進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，往往需要進(jìn)行設(shè)計(jì)變量的多次修改，從而得到最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。而在每次進(jìn)行方案的修改后，都需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)的重分析。但是非線性問題的重分析則需要較大的計(jì)算量，所以將導(dǎo)致設(shè)計(jì)矛盾的出現(xiàn)。因此為了利用幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行大型實(shí)際結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，還需要使用近似重分析法對(duì)修改后的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行分析。使用該方法，其實(shí)就是直接將一次迭代的計(jì)算結(jié)果作為二次迭代的輸入值，并且直至兩次迭代相差不大。但在解決線性問題時(shí)，由于需要進(jìn)行剛度陣的重新組裝，所以使用該方法并沒有實(shí)際意義。在幾何非線性問題的解決上，使用該方法可以將幾十次迭代過程簡(jiǎn)化成一兩次迭代，所以能夠有效降低非線性分析的工作量。

3 桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)在石油井架設(shè)計(jì)中的運(yùn)用

在生產(chǎn)的過程中，石油井架時(shí)常會(huì)出現(xiàn)破壞現(xiàn)象，從而給石油企業(yè)的生產(chǎn)帶來阻礙。所以在設(shè)計(jì)石油井架的過程中，還應(yīng)該實(shí)現(xiàn)井架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而使井架得到更好的應(yīng)用。而考慮到井架結(jié)構(gòu)形式多樣，并且承受的載荷并不相同的問題，還需要使用幾何非線性桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)井架設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 平面桁架的優(yōu)化設(shè)計(jì)

通過將上述方法編寫成計(jì)算機(jī)程序，就可以利用幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行平面桁架的優(yōu)化設(shè)計(jì)。而石油井架的平面桁架結(jié)構(gòu)具有39根桿件，各桿件許用應(yīng)力為1.5×108N/m2，截面積下限和上限分別為1cm2和1000cm2，各桿截面積的初始設(shè)計(jì)值為50cm2。使用幾何非線性方法進(jìn)行該結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以將設(shè)計(jì)縱向邊緣節(jié)點(diǎn)的y向位移不超過±7cm，并且橫向邊緣節(jié)點(diǎn)的水平位移不超過±1cm，從而對(duì)結(jié)構(gòu)變形進(jìn)行約束。而通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，則能夠發(fā)現(xiàn)得到的目標(biāo)函數(shù)和桿件截面積與線性優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果有較大的差異。

3.2 A型井架的優(yōu)化設(shè)計(jì)

針對(duì)A型井架結(jié)構(gòu)，其大腿橫截面為邊長1.5m的等邊三角形，結(jié)構(gòu)內(nèi)共有188個(gè)桿件，自由度174個(gè)，橫截面初始設(shè)計(jì)值為40.21cm2，并且以橫桿、斜桿和弦管為設(shè)計(jì)變量。同時(shí)各設(shè)計(jì)變量下限為5.88cm2，應(yīng)力約束為1.6×108N/m2，并且需要承受自重、鉤載和風(fēng)載。在使用幾何非線性方法進(jìn)行該結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，可以將頂部y向位移不超過±12cm，然后通過載荷簡(jiǎn)化將每個(gè)節(jié)點(diǎn)沿z向的作用力設(shè)定為-3×103N，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)該結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4 結(jié)語

總而言之，相較于線性計(jì)算方法，非線性計(jì)算方法將更加精確。在進(jìn)行一些高柔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，使用幾何非線性設(shè)計(jì)方法將得到差別較大的計(jì)算結(jié)果。而在現(xiàn)實(shí)生活中，包括石油井架在內(nèi)的很多桁架結(jié)構(gòu)都屬于高柔結(jié)構(gòu)，所以還需要使用幾何非線性方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而提升結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。因此，通過本文對(duì)桁架結(jié)構(gòu)的幾何非線性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題展開分析，可以為相關(guān)工作的開展提供指導(dǎo)。

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作者簡(jiǎn)介：劉斌（1979-），男，四川長寧人，四川宏華石油設(shè)備有限公司機(jī)械工程師，研究方向：石油鉆井機(jī)械設(shè)計(jì)。

（責(zé)任編輯：黃銀芳）