【摘 要】 奔福德定律（Benfords Law）是早在1881年就被偶然發(fā)現(xiàn)的一個古老而奇妙的數(shù)學定律。該定律揭示了序數(shù)0—999在不同數(shù)位上出現(xiàn)的概率分布規(guī)律。文章在簡述這一古老數(shù)學定律的發(fā)展歷程與基本內(nèi)容的基礎(chǔ)上，利用 “人為造假”的樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)對該定律進行測試，證明了奔福德定律在舞弊偵測方面的有效性，并就該定律以及與之相關(guān)的數(shù)值分析技術(shù)在我國的運用等問題談了看法，認為奔福德定律在識別“人為造假”數(shù)據(jù)方面具有明顯作用，可以將奔福德定律及其相關(guān)的數(shù)值分析工具視為“財務(wù)舞弊檢驗器”，將其納入我國的審計理論與方法體系，豐富我國在現(xiàn)代信息技術(shù)環(huán)境下應(yīng)對高智能財務(wù)舞弊與經(jīng)濟犯罪的偵測手段。

【關(guān)鍵詞】 奔福德定律； 舞弊審計； 測試； 虛假數(shù)據(jù)； 隨機數(shù)

中圖分類號：F233；D918.95 文獻標識碼：A 文章編號：1004-5937（2016）12-0007-09

引 言

近年來經(jīng)濟領(lǐng)域的犯罪與舞弊問題在我國日趨嚴重，對這些問題的查證需要不斷完善與發(fā)展舞弊審計技術(shù)與手段。在各種舞弊審計與審計的方法中，分析性復核被認為是最為重要的工具。但是目前審計人員能夠使用的分析性復核方法極為有限，主要局限于趨勢分析、比率分析等傳統(tǒng)方法，這些方法在應(yīng)對日益隱蔽與高智商化的財務(wù)舞弊時常顯出不適應(yīng)的方面。奔福德定律在舞弊偵測領(lǐng)域的運用被認為是分析性復核方法在現(xiàn)代信息技術(shù)環(huán)境下有益的補充，因而結(jié)合我國的實際情況對其進行深入研究具有重要的現(xiàn)實意義。

在過去的半個多世紀中，國外大約有150篇與奔福德定律相關(guān)的學術(shù)論文發(fā)表。特別是自從美國審計準則公告第99號（SAS 99）[1]發(fā)布以來，越來越多的研究者開始關(guān)注奔福德定律在舞弊審計領(lǐng)域運用及其相關(guān)實務(wù)問題的解決。比如有文獻報告了如何運用奔福德定律的理論檢測在交易數(shù)據(jù)中隱藏的舞弊[2—3]；如何有效運用奔福德定律在會計數(shù)據(jù)中偵測舞弊的思路與方法[4]；如何將奔福德定律作為數(shù)值分析技術(shù)與分析性程序相結(jié)合提高注冊會計師查證舞弊的技能的問題[5—6]。隨著計算機輔助審計技術(shù)的快速發(fā)展，探討如何將基于奔福德定律理論的數(shù)值分析技術(shù)嵌入計算機輔助審計軟件以及如何借助于軟件工具進行舞弊審計成為新的熱點[7]。

在國內(nèi)，迄今為止可以檢索到十多篇有關(guān)奔福德定律及其應(yīng)用的論文。其中《奔福德定律：一種舞弊審計的數(shù)值分析方法》[8]是最早將奔福德定律介紹到國內(nèi)的論文之一，該文除了介紹這一定律給國內(nèi)讀者以外，還利用2003年1 394家上市公司公布的財務(wù)數(shù)據(jù)對奔福德定律進行了驗證性測試。張?zhí)K彤和唐智慧[9]的《信息時代舞弊審計新工具：奔福德定律及其來自中國上市公司的實證測試》進一步對1 447家上市公司公布的2006年度的財務(wù)數(shù)據(jù)進行了驗證性分析，并且對已經(jīng)被證實實施了會計造假的上市公司的會計報表數(shù)據(jù)進行了測試，提出了以奔福德定律測試過程中形成的“相關(guān)系數(shù)”可以作為“財務(wù)舞弊測試器”的觀點。近年來國內(nèi)發(fā)表的相關(guān)論文主要還停留在科普性的介紹與理論上的測試與探討層面[10]，僅有少部分論文論及奔福德定律的舞弊檢測方法[11]以及運用奔福德定律的理論對上市公司的虛假會計報表、財務(wù)舞弊等問題進行實證分析[12—13]。總體來看，我國對奔福德定律及其在舞弊審計領(lǐng)域的運用還處于理論上探討與科普性介紹階段，缺乏對策。

本文的主要貢獻在于首次運用“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)對奔福德定律進行了全面的測試，證明了奔福德定律在舞弊識別上的有效性。

一、奔福德定律：描述序數(shù)在不同數(shù)位上概率分布的奇妙數(shù)學定律

（三）適合奔福德定律數(shù)據(jù)的條件

并非所有的數(shù)據(jù)都符合奔福德定律，符合奔福德定律的數(shù)據(jù)一般應(yīng)滿足以下條件[19]：

1.數(shù)據(jù)應(yīng)該是以某種方式涉及或從屬于某種現(xiàn)象，換句話說，是由于某種原因（某一現(xiàn)象或事件）而導致發(fā)生的數(shù)字。比如，股票價格的形成要受到股票市場、與經(jīng)濟和金融環(huán)境有關(guān)的競爭力影響。

2.數(shù)據(jù)沒有最大值或最小值的限制，比如人的年齡、人的體重、人的身高、田徑運動員100米跑的成績、小時工資額等。

3.數(shù)據(jù)完全應(yīng)該是自然發(fā)生，不能是人為預(yù)先安排有特定含義的數(shù)字，如電話號碼、身份證號、股票代碼、社會保險號等，也不能是人頭腦中想出來的數(shù)字，如ATM自動取款機上的取款金額。

4.數(shù)據(jù)既不能是完全隨機數(shù)，也不能是有規(guī)律的數(shù)列。

5.數(shù)據(jù)的形成受多種因素綜合作用，尤其適合分別來自兩個以上系統(tǒng)的數(shù)據(jù)再經(jīng)過一定運算后形成的數(shù)據(jù)。

二、對奔福德定律的實證測試：基于“人為造假”與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)

（一）樣本數(shù)據(jù)及其來源

為了加深對奔福德定律的認識，全面了解“人為造假”數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學特征，并驗證奔福德定律在識別財務(wù)舞弊方面的有效性，筆者利用近年來面對面給各類學員授課的機會先后請了321名學員以財務(wù)造假者的心態(tài)書寫了6組總數(shù)為9 630個“人為造假”數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的收集情況見表1。

為了進行對比分析，筆者利用Excel 2007的隨機數(shù)發(fā)生器，運用函數(shù)“RANDBETWEEN（BOTTOM，TOP）”分別在100—999、100—9 999、100—99 999、100—999 999、100—9 999 999和100—99 999 999的范圍內(nèi)生成了6組，每組5 000個隨機樣本數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)的情況見表2。

（二）測試假設(shè)

假設(shè)1：“人為造假”樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)、第二位數(shù)、前二位數(shù)的概率分布與奔福德定律理論值存在顯著差異；

假設(shè)2：隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)、第二位數(shù)、前二位數(shù)的概率分布與奔福德定律理論值存在顯著差異；

假設(shè)3：“人為造假”的首位數(shù)、第二位數(shù)、前二位數(shù)的概率分布與隨機數(shù)不存在明顯差異，“人為造假”數(shù)據(jù)可以視同為隨機數(shù)；

假設(shè)4：造假者編造的虛假會計數(shù)字具有某些統(tǒng)計學上的特征或固有的書寫習慣與偏好。

（三）測試結(jié)果

1.首位數(shù)測試

表3、表4分別給出了“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)概率分布值以及與奔福德定律的比較。

由表3可見，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)概率分布與奔福德定律理論值存在顯著的差異。從相關(guān)系數(shù)來看，6組“人為造假”的樣本數(shù)據(jù)均與奔福德定律理論值呈弱正相關(guān)關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)在0.96184—0.34686之間，其平均值的相關(guān)系數(shù)為0.92752。此項測試支持假設(shè)1。

由表4可見，6組隨機數(shù)的首位數(shù)概率分布均與奔福德定律理論值呈負相關(guān)，其平均相關(guān)序數(shù)為-0.48321。序數(shù)1—9在6組隨機樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)上分布的概率均是圍繞0.1111（即九分之一）上下波動，這樣的概率分布是符合隨機數(shù)的統(tǒng)計學特征的。此項測試支持假設(shè)2。

圖1和圖2直觀地描述了“人為造假”與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)首位數(shù)概率分布以及與奔福德定律理論值比較的情況。

由圖1可以看出，“人為造假”的數(shù)據(jù)存在試圖讓1—9在首位數(shù)上均衡出現(xiàn)的趨勢，但是相對隨機數(shù)而言，其首位數(shù)分布概率遠達不到均衡分布的程度；6組人為造假數(shù)據(jù)中的首位數(shù)“1”出現(xiàn)的概率最高，平均值為0.1946，但是仍達不到奔福德定律理論值的水平；“7”“8”“9”在首位數(shù)上出現(xiàn)的概率要高于奔福德定律理論值，且低于隨機數(shù)的分布值。由此可以推測：造假者在編造虛假會計數(shù)字時，會不自覺地在首位數(shù)上多用一些“1”，而且會使以“7”“8”“9”開頭的所謂大數(shù)字出現(xiàn)得多一些，這應(yīng)該是造假者在蓄意編造虛假會計數(shù)字過程中不自覺顯露出來的思維慣式。此項測試支持假設(shè)4。

表5列出了6組“人為造假”與6組隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)概率分布平均值之間的比較。

表5表明，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)首位數(shù)的概率分布均值存在顯著差異，兩者之間的相關(guān)系數(shù)為-0.53181，因此不能將“人為造假”數(shù)據(jù)與隨機數(shù)視為等同。此項測試不支持假設(shè)3。

2.第2位數(shù)測試

表6、表7、圖3、圖4分別給出了“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的第二位數(shù)概率分布值以及與奔福德定律的測試結(jié)果比較。

由表6可知，就第二位數(shù)而言，6組人為造假的樣本數(shù)據(jù)與奔福德定律理論值同樣呈弱的正相關(guān)關(guān)系，其平均相關(guān)系數(shù)僅為0.5570。此項測試支持假設(shè)1。

由表7可見，6組隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)與奔福德定律理論值相比同樣呈弱的正相關(guān)或負的相關(guān)關(guān)系，平均相關(guān)系數(shù)為0.4046。其顯著特征為序數(shù)0—9在第二位數(shù)上分布概率在0.10±0.0175的范圍內(nèi)上下波動。此項測試支持假設(shè)2。

圖3顯示，“人為造假”數(shù)據(jù)在第二位數(shù)上與奔福德定律理論值差異最大的是“0”。在6組樣本數(shù)據(jù)中，“0”在第二位數(shù)上出現(xiàn)的最高頻率為0.5254，最低頻率為0.1777，平均頻率為0.3392，均比理論值高。由此可以推測：造假者會不自覺地在第二位數(shù)上多用“0”。此項測試結(jié)果支持假設(shè)4。

表8列出了“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)在第二位數(shù)上概率分布均值的比較。表8表明，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)在第二位數(shù)的概率分布均值存在顯著差異，兩者之間的相關(guān)系數(shù)為0.0833，因此不能將“人為造假”數(shù)據(jù)等同于隨機數(shù)。此項測試不支持假設(shè)3。

3.前二位數(shù)據(jù)測試

表9和圖5分別列出了6組“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的前二位數(shù)概率分布情況。

由表9和圖5可見（限于篇幅，圖表中數(shù)據(jù)有刪節(jié)）：人為造假樣本數(shù)據(jù)的前二位數(shù)概率分布與奔福德定律的理論值呈弱的正相關(guān)關(guān)系，6組樣本數(shù)據(jù)中，相關(guān)系數(shù)最大值為0.5693，最小值為0.2535，平均相關(guān)系數(shù)為0.6320。此項測試為假設(shè)1的成立提供了證據(jù)支持。

由表10和圖6發(fā)現(xiàn)（限于篇幅，圖表中數(shù)據(jù)有刪節(jié)）：隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)前二位數(shù)的概率分布與奔福德定律的理論值存在弱的正相關(guān)關(guān)系，6組樣本數(shù)據(jù)中，相關(guān)系數(shù)最大值為0.1185，最小值為-0.0758，平均相關(guān)系數(shù)為0.1441。其前二位數(shù)分布的特征為序數(shù)10—99均在范圍為0.01±0.08上下波動。此項測試為假設(shè)2的成立提供了證據(jù)支持。

表11和圖7列出了“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)在前二位數(shù)上概率分布均值的比較。

由表11和圖7可知，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)在前二位數(shù)的概率分布均值存在顯著差異，兩者之間的相關(guān)系數(shù)為0.1618，鑒于此，不能將“人為造假”數(shù)據(jù)等同于隨機數(shù)。此項測試不支持假設(shè)3。

由圖8可以觀察到：“人為造假”樣本數(shù)據(jù)的前二位數(shù)在71—98之間出現(xiàn)高于奔福德定律理論值的三個峰值，而且在10—25之間出現(xiàn)高于隨機數(shù)均值且低于奔福德定律理論值的情況。由此可以推測：造假者在編造虛假會計數(shù)據(jù)時，有在10—25和71—98的區(qū)間上選擇前二位數(shù)字的傾向。此項測試結(jié)果支持假設(shè)4。

綜合上述對“人為造假”與“隨機數(shù)”的測試分析結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

第一，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)不論是首位數(shù)、第二位數(shù)還是前二位數(shù)的概率分布均與奔福德定律的理論值均存在顯著差異，假設(shè)1在本次測試中得到證實。由此可以推論：只要是人為編造的數(shù)據(jù)，其首位數(shù)、第二位數(shù)和前三位數(shù)的概率分布很難出現(xiàn)與奔福德定律理論值一致的情況。

第二，“隨機數(shù)”樣本數(shù)據(jù)在首位數(shù)、第二位數(shù)、前二位數(shù)上的概率分布值與奔福德定律理論值同樣存在顯著差異，其顯著的特征在于首位數(shù)、第二位數(shù)和前二位數(shù)的概率分別圍繞均值0.1111、0.1000和0.0100波動。假設(shè)2在本項測試中得到證據(jù)支持。

第三，“人為造假”樣本數(shù)據(jù)不論是首位數(shù)、第二位數(shù)，還是前二位數(shù)的概率分布均與隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的相應(yīng)概率分布值存在顯著差異，假設(shè)3在本次測試中沒有得到證明。鑒于此，不能簡單地將人為編造的數(shù)據(jù)認同為隨機數(shù)。

第四，舞弊者在編造虛假會計數(shù)字時存在某種共同的選擇取向或固有的選擇習慣，比如，他們會在首位數(shù)上多選擇些“1”“7”“8”“9”，在第二位數(shù)上多用些“0”等。假設(shè)4在此次測試中得到支持，但并不充分。造假者編造虛假會計數(shù)字時對序數(shù)在不同數(shù)位上的選擇取向有待深入研究。

此項測試結(jié)果很好地說明了奔福德定律在對“人為造假”數(shù)據(jù)識別的有效性，為我們利用奔福德定律偵測財務(wù)舞弊提供了重要的理論支持。

三、運用奔福德定律進行舞弊審計的啟示與建議

通過對奔福德定律的深入研究與測試分析，可以得到如下啟示：

第一，奔福德定律在舞弊審計領(lǐng)域的運用實際上是分析性復核方法在現(xiàn)代信息技術(shù)環(huán)境下的發(fā)展與有益的補充。傳統(tǒng)的分析性復核方法是從財務(wù)數(shù)據(jù)的內(nèi)在勾稽關(guān)系與邏輯上的合理性角度出發(fā)來發(fā)現(xiàn)會計錯弊的。而奔福德定律的運用則是借助于現(xiàn)代計算技術(shù)從統(tǒng)計學的角度檢測數(shù)字在不同數(shù)位上的概率分布規(guī)律，進而發(fā)現(xiàn)會計錯弊的一種新型數(shù)值分析方法。奔福德定律在舞弊審計領(lǐng)域的運用豐富了舞弊審計的技術(shù)手段，加大了財務(wù)造假的難度，提高了舞弊審計工作的效率，豐富與發(fā)展了分析性復核方法體系。

第二，運用奔福德定律進行舞弊審計需要特別注意以下方面的局限性：（1）并不是所有的數(shù)據(jù)類型都適合奔福德定律，運用奔福德定律時要特別注意其限定性條件。（2）檢測的樣本數(shù)據(jù)與奔福德定律不相符并不說明一定存在舞弊，要注意排除樣本數(shù)偏少、存在特定授權(quán)交易等情況。此外，樣本數(shù)據(jù)與奔福德定律不相符只是存在財務(wù)舞弊的必要條件，只能說明存在舞弊的跡象或征兆，如果要證實舞弊的確存在，還需“順藤摸瓜”“按圖索驥”才能找到有效的證據(jù)。（3）檢測的樣本數(shù)據(jù)與奔福德定律相符并不說明一定不存在舞弊，尤其是在大樣本數(shù)據(jù)的情況下，發(fā)生次數(shù)不多的舞弊數(shù)據(jù)會被淹沒在大樣本數(shù)據(jù)的“汪洋大海”之中而無法顯現(xiàn)出來。此時，審計人員應(yīng)該結(jié)合運用分層分析的方法將大樣本“化整為零”。分層測試可以分很多種類，可以按樣本的明細賬戶進行分層，可以針對不同的供貨商、購貨商進行分層，也可以根據(jù)不同購貨地區(qū)、銷售地區(qū)進行分層，還可以根據(jù)不同的季度甚至不同月份進行分層。

第三，運用奔福德定律進行舞弊審計還有一個重要的前提：造假者不知曉奔福德定律。在造假者不知曉奔福德定律的情況下，他們對財務(wù)數(shù)據(jù)的編造一般會存在這樣的規(guī)律：（1）會不自覺地多選擇一些以“1”為首位數(shù)的數(shù)字，但是首位數(shù)“1”的使用率達不到奔福德定律的理論值；（2）會有意識地多選擇一些以“6”“7”“8”“9”開頭的所謂大數(shù)字，特別是我國的造假者會偏愛“6”“8”“9”等吉祥數(shù)字；（3）會在第二位數(shù)上多用“0”。需要引起注意的是隨著奔福德定律數(shù)值分析技術(shù)的廣泛應(yīng)用，對它了解的人會越來越多，造假者會注意到這一規(guī)律并會在造假時加以考慮。奔福德定律識別舞弊的有效性會隨著人們對其知曉程度的提高而下降。

第四，可以將奔福德定律及其有關(guān)的數(shù)值分析工具視為“財務(wù)舞弊檢驗器”。利用奔福德定律，可以檢測多種類型的財務(wù)舞弊，比如，在我國的證券市場中，對上市公司首次發(fā)行股票以及隨后的增發(fā)、配股、ST（特別處理）與退市等都有嚴格的限制條件，很多企業(yè)會操控財務(wù)數(shù)據(jù)使之迎合政策界限的要求。借助于奔福德定律進行數(shù)值分析可以幫助我們透視數(shù)字背后隱藏的秘密，評價企業(yè)財務(wù)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，同時也可以給政府有關(guān)部門提供制定政策的科學依據(jù)。為此，建議我國有關(guān)部門研究推廣奔福德定律的理論及其數(shù)值分析技術(shù)，將其納入我國的審計理論與方法體系，進一步豐富我國在現(xiàn)代信息技術(shù)環(huán)境下應(yīng)對高智能財務(wù)舞弊與經(jīng)濟犯罪的偵測手段。

第五，在舞弊審計中運用奔福德定律會涉及大量的統(tǒng)計分析工作，如果沒有現(xiàn)代計算機技術(shù)的廣泛運用，是不可能完成此項任務(wù)的。為解決這一現(xiàn)實問題，國外已經(jīng)有人開發(fā)了專門的應(yīng)用軟件。許多國外公司開發(fā)的計算機輔助審計工具都將奔福德定律作為一個單獨的模塊嵌入其中，比如：ActiveDate for Excel、ACL、IDEA等，大大提高了工作效率。建議我國有關(guān)軟件開發(fā)機構(gòu)借鑒國外的相關(guān)經(jīng)驗，盡快開發(fā)出具有自主知識產(chǎn)權(quán)的奔福德定律應(yīng)用軟件工具。

結(jié) 論

1.人為造假的樣本數(shù)據(jù)和完全隨機數(shù)樣本數(shù)據(jù)的首位數(shù)、第二位數(shù)、前二位數(shù)上的概率分布值與奔福德定律理論值存在顯著差異；人為造假樣本數(shù)據(jù)不論是首位數(shù)還是第二位數(shù)與前二位數(shù)的概率分布均與隨機數(shù)存在顯著差異，不能將人為編造的數(shù)據(jù)認同為隨機數(shù)。

2.舞弊者在編造虛假會計數(shù)字時，對序數(shù)在不同數(shù)位上的選擇存在某種共同的選擇取向，研究并掌握造假者的數(shù)字選擇取向?qū)τ谧R別財務(wù)舞弊有重要的意義。該方面的研究尚屬空白，有待進一步發(fā)掘。

3.奔福德定律在識別“人為造假”數(shù)據(jù)方面具有明顯作用，但在實際運用時要注意適用數(shù)據(jù)的條件和局限性。●

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