張華民，殷紅彩,梅　紅

Cayley-Hamilton定理的幾種證法

張華民，殷紅彩,梅紅

摘要:通過Krylov子空間、Schur定理和數(shù)學(xué)歸納法等方法，給出了Cayley-Hamilton定理的三種證法。

關(guān)鍵詞:Krylov子空間; Cayley-Hamilton定理; Schur定理

1Cayley-Hamilton定理

Cayley-Hamilton定理是用英國數(shù)學(xué)家Arthur Cayley(1821-1895)和愛爾蘭數(shù)學(xué)家William Rowan Hamilton(1805-1865)的名字命名的一個(gè)定理[1]，同時(shí)也是線性代數(shù)中的一個(gè)重要定理，該定理在矩陣的逆和廣義逆的計(jì)算、矩陣冪的計(jì)算和矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算中有重要的應(yīng)用[2]。下面先給出這個(gè)定理?？紤]一元多項(xiàng)式方程根的情況，本文的討論在復(fù)數(shù)域上展開。

設(shè)復(fù)數(shù)域C上的方陣為A,即有A∈Cn×n,該矩陣的特征多項(xiàng)式f(λ)定義為

Cayley-Hamilton定理實(shí)數(shù)域R上的每個(gè)方陣A都滿足它的特征方程，即有

其中O為n階零方陣。

2Cayley-Hamilton定理的幾種證法

Cayley-Hamilton定理有多種證法，但下面參考文獻(xiàn)[3]的證法并不常見。這種證法是受Krylov子空間的啟發(fā)。該方法并不要求明確知道矩陣A,只要知道向量Au的產(chǎn)生機(jī)制就行了。先給出如何用這種方法來確定矩陣A的特征多項(xiàng)式。

任取u∈Cn,此處不妨設(shè)u=(1,0,0,…,0)T,計(jì)算向量序列Au,A2u,…,每計(jì)算下一個(gè)向量前先判別向量組u,Au,A2u,…,的線性相關(guān)性.不失一般性，假設(shè)向量組u,Au,A2u,…,Ar-1u線性無關(guān)，而向量組u,Au,A2u,…,Ar-1u,Aru線性相關(guān)。在下面的等式中設(shè)向量Aru的系數(shù)為1，即有

b0u+b1Au+b2A2u+…+br-1Ar-1u+Aru=0.

注意到在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式總可以分解成一次因式的乘積，即上式可寫為

上式的每一種記法均表示矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，即均表示一個(gè)特征對(duì)，例如上式第二個(gè)等號(hào)右端的式子表示(A-λ2I)…(A-λrI)u是特征值λ1的特征向量。

注意到n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)，故如果r=n,則可得矩陣A的特征多項(xiàng)式為

若r

線性無關(guān)，而向量組

u,Au,A2u,…,Ar-1u,v,Av,A2v,…,As-1v,Asv

線性相關(guān)，即有下面的線性組合

(1)

將(1)式兩邊同時(shí)左乘以矩陣b0I+b1A+b2A2+…+br-1Ar-1+Ar,并注意到相關(guān)矩陣乘法的可交換性得到

若r+s=n,則可得矩陣A的特征多項(xiàng)式為

若r+s

由此可得Cayley-Hamilton定理的一種證法。

證法一由上面矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)的給出過程可得，對(duì)任意的u∈Cn始終有f(A)u=0,當(dāng)u取遍單位矩陣I的每一列就可得到f(A)=O,證畢。

下面的證法用到了矩陣的Schur分解定理和數(shù)學(xué)歸納法[4-6]。

證法二由矩陣的Schur分解定理，矩陣A相似于上三角矩陣，即存在可逆矩陣P使得

其中λ1,λ2,…,λn是矩陣A的n個(gè)特征值，顯然有

注意到f(A)=Pf(T)P-1,且矩陣P可逆，故只需證明f(T)=O即可。對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時(shí)命題顯然成立。下面設(shè)n≥2,并設(shè)命題對(duì)n-1階方陣已成立, 令

則塊矩陣T22的特征多項(xiàng)式為

由歸納假設(shè)有g(shù)(T22)=On-1,由f(λ)=(λ-λ1)g(λ)可知

于是

證畢。

下面證法在不少文獻(xiàn)中出現(xiàn)[2,7,8]，將它列出作為一種證法。

證法三因?yàn)榫仃嚘薎-A的伴隨矩陣adj(λI-A)是由矩陣λI-A的代數(shù)余子式為元素構(gòu)成的矩陣，故伴隨矩陣adj(λI-A)是關(guān)于的λ次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式矩陣，即有

其中B0,B1,…,Bn-1∈Rn×n。 由關(guān)系式

(λI-A)adj(λI-A)=det(λI-A)I=f(λ)I

可得

(λI-A)adj(λI-A)

(2)

和

(3)

比較上面(2), (3)兩式λ的相同次冪對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣可得

(4)

將(4)式中的前n個(gè)等式分別左乘矩陣An,An-1,…,A. 然后再將這n+1個(gè)等式相加即得

這正是所要的結(jié)果。證畢。

由這種證法還可得到一些很有意思的結(jié)論，列在下面。

注1關(guān)于矩陣A的特征矩陣λI-A的伴隨矩陣adj(λI-A)有下面的結(jié)論。

矩陣A的特征多項(xiàng)式的定義如上，則矩陣λI-A的伴隨矩陣的展式可寫為

(5)

事實(shí)上，由上面證明過程的(4)式可得

將(4)式代入(3)化簡(jiǎn)合并即得(5)式。

注2由上面的證明過程可以發(fā)現(xiàn)，等式(5)可寫為

且矩陣A與B1,B2,…,Bn-1間的乘法是可交換的。

3結(jié)束語

本文介紹了Cayley-Hamilton定理的三種證法，后面兩種證法在一些文獻(xiàn)中很常見，第一種證法借助于用Krylov子空間產(chǎn)生矩陣的特征多項(xiàng)式的性質(zhì)獲得啟發(fā)，證明過程簡(jiǎn)單明了。文獻(xiàn)[9]借助Vandermonde行列式也給出了該定理的證明，文獻(xiàn)[10]利用了矩陣的初等運(yùn)算給出了該定理的一種證明。Cayley-Hamilton定理在矩陣求逆、矩陣冪和矩陣指數(shù)函數(shù)等方面有重要的應(yīng)用[2,11]。該定理還可作進(jìn)一步的推廣[12]，能否利用Krylov子空間的方法證明Cayley-Hamilton定理的一些推廣形式有待進(jìn)一步的研究。

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責(zé)任編輯：王與

Several Proofs of the Cayley-Hamilton Theorem

Zhang Huamin，Yin Hongcai, Mei Hong

Abstract:By using the Krylov subspace, Schur Theorem and the mathematical induction, three proofs of the Cayley-Hamilton Theorem are presented.

Key words:Krylov subspace; Cayley-Hamilton Theorem; Schur Theorem

中圖分類號(hào)：O151.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1794(2016)02-0013-03

作者簡(jiǎn)介：張華民，蚌埠學(xué)院數(shù)理系副教授，博士；殷紅彩，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院；梅紅，蚌埠學(xué)院數(shù)理系(安徽 蚌埠 233000)。

基金項(xiàng)目：安徽省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A458)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)自然科學(xué)基金資助(ACKY1654)；2013教學(xué)團(tuán)隊(duì)(jxtd02)；2014省級(jí)質(zhì)量工程(2014zy141)；蚌埠學(xué)院院級(jí)項(xiàng)目 (2011ZR17,2015ZR10);安徽省省級(jí)教研項(xiàng)目(2015jyxm386)

收稿日期：2015-11-12