李洪毅，歐祖軍，黎奇升

(1. 吉首大學師范學院，湖南 吉首　416000；2. 吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首　416000)

二三混水平因子設(shè)計離散偏差新的下界

李洪毅1, 2，歐祖軍2，黎奇升2

(1. 吉首大學師范學院，湖南 吉首416000；2. 吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首416000)

摘要：離散偏差經(jīng)常用來衡量部分因子設(shè)計的均勻性，偏差的準確下界可以檢驗給定設(shè)計的均勻程度. 基于現(xiàn)有的離散偏差的公式，討論了二、 三混水平設(shè)計離散偏差的下界問題, 并利用泰勒展開的方法給出一個新的下界. 與已有的下界相比，所給出的下界在某些設(shè)計中更精確.

關(guān)鍵詞：均勻設(shè)計; U型設(shè)計; 混水平因子設(shè)計; 離散偏差; 下界; 泰勒展式

0引言

均勻設(shè)計[1]是計算機試驗和穩(wěn)健試驗設(shè)計中一種很重要的設(shè)計，它有助于試驗點遍及整個設(shè)計空間, 并要求試驗點均勻分布在試驗區(qū)域中. 如何度量試驗點的均勻性是一個非常重要的問題. 研究、 討論、 介紹試驗點的均勻性度量方法有很多，其中大家比較認同的方法是采用偽蒙特卡洛方法中的偏差來度量試驗點的均勻性，如中心化L2-偏差，可卷L2-偏差[2-4]和離散偏差[5-6]. 在這些偏差中, 離散偏差有較好的性質(zhì). 因此，離散偏差作為均勻性測度，尋找它精確的下界十分重要. 如果一個下界能達到，我們稱這個下界是緊的. 許多學者盡力去尋找這些偏差的下界，針對二、 三混水平部分因子設(shè)計, 文[6]和[7]分別給出了一個二、 三混水平設(shè)計離散偏差的下界. 本研究主要從泰勒展開的角度來探討二、 三混水平設(shè)計離散偏差新的下界.

1預(yù)備知識

(1)

其中： a, b為常數(shù)，且a>b>0. 關(guān)于式(1)的詳述參見文[6].

當d∈u(n; 2s13s2)時, 文[6]和[7]分別給出了下面兩個下界:

[DD(d; a, b)]2≥LDD1(d; a, b)

(2)

[DD(d; a, b)]2≥LDD2(d; a, b)

(3)

其中: ω是n/(2i3j)的整數(shù)部分，θ=n-2i3jω, θ*=nω+θ(1+ω).

為證明所得的結(jié)論, 首先給出兩個引理[8].

引理1對于任一U型設(shè)計d∈u(n; 2s13s2)，有:

引理2設(shè)l為任意整數(shù)，d∈u(n; 2s13s2)，有:

(4)

其中: ω為(n-2)s1/(2(n-1))+(n-3)s2/(3(n-1))的整數(shù)部分； p, q為滿足等式p+q=n(n-1)和pω+q(ω+1)=n(n-2)s1/2+n(n-3)s2/3的整數(shù)部分.

2主要結(jié)論

基于引理1和引理2, 對任意的設(shè)計d∈u(n; 2s13s2), 可得到[DD(d; a, b)]2新的下界，見定理1.

定理1對于任意設(shè)計d∈u(n; 2s13s2)，有:

[DD(d; a, b)]2≥LDD3(d; a, b)

其中:

(5)

ω為(n-2)s1/(2(n-1))+(n-3)s2/(3(n-1))的整數(shù)部分； p, q分別為n(n-1)(ω+1)-n(n-2)s1/2-n(n-3)s2/3和n(n-2)s1/2+n(n-3)s2/3-n(n-1)ω的整數(shù)部分.

由式(4)可以得到:

因而式(5)得證, 定理1證畢.

從式(2)、 (3)和定理1，可以給出任意U型設(shè)計d∈u(n; 2s13s2)的離散偏差改進后的下界.

定理2對于任意設(shè)計d∈u(n; 2s13s2)，有:

[DD(d; a, b)]2≥LDD

其中：LDD=max{LDD1,LDD2,LDD3}.

3例子

例1考慮下面兩個設(shè)計d12, 10, 5∈u(12; 21035), d6, 1, 10∈u(6; 21310)，其中: n=12和6； s1, s2分別為10, 5和1, 10. 表1分別給出了設(shè)計d12, 10, 5, d6, 1, 10的離散偏差 (其中: a=1, b=0.5)及它的下界.

表1　二三混水平設(shè)計d12, 10, 5, d6, 1, 10的設(shè)計表、 離散偏差及它的三個下界

從表1不難發(fā)現(xiàn)，LDD1和LDD3相等且比LDD2都大，那么在這兩個設(shè)計中LDD1和LDD3比LDD2好, 因此下界取LDD1或LDD3.

例2用數(shù)值結(jié)果比較三個下界. 考慮試驗次數(shù)n =2∶50, s1=1∶20, s2=1∶20和n=2∶60, s1=1∶25, s2=1∶30.

二、 三混水平設(shè)計離散偏差的三個下界比較見表2. ①考慮試驗次數(shù)n從2到50，s1從1到20,s2從1到20, 共有19 960次設(shè)計，分組比較三個下界. 第一個下界和第二個下界的比較: 在19 960次設(shè)計中, LDD1>LDD2有16 380次, LDD1=LDD2有2次，LDD1LDD3有3 177次, LDD1=LDD3有13 079次, LDD1LDD3有3 218次, LDD2=LDD3有2次, LDD2LDD2有39 606次, LDD1=LDD2有 3 次，LDD1LDD3有6 489次，LDD1=LDD3有30 854次，LDD1LDD3有4 641次，LDD2=LDD3有3次，LDD2

表2　二三混水平離散偏差下界的比較

4結(jié)語

根據(jù)已有的離散偏差公式，借助兩個引理，給出了二、 三混水平設(shè)計的離散偏差的一個新的下界，并用例子說明在某些設(shè)計中，所提的下界更精確.

參考文獻：

[1] FANG K T, WANG Y. Number-theoretic methods in statistics[M]. London: Chapman and Hall, 1994: 52-56.

[2] HICKERNELL F J. A generalized discrepancy and quadrature error bound[J]. Mathematics of Computation, 1998, 67: 299-322.

[3] CHATTERJEE K, FANG K T, QIN H. Uniformity in factional designs with mixed levels[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2005, 128: 593-607.

[4] CHATTERJEE K, FANG K T, QIN H. A lower bound for centeredL2-discrepancy on asymmetric factorials and its application[J]. Metrika, 2006, 63: 243-255.

[5] HICKERNELL F J, LIU M Q. Uniform designs limit aliasing[J]. Biometrika, 2002, 89: 893-904.

[6] QIN H, FANG K T. Discrete discrepancy in factorials designs[J]. Metrika, 2004, 60: 59-72.

[7] CHATTERJEE K, QIN H. Generalized discrete discrepancy and its applications in experimental designs[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011, 141: 951-960.

[8] 張瓊慧. 二三混水平因子設(shè)計的Lee偏差和可卷L2-偏差的新的下界[D]. 武漢: 華中師范大學, 2013: 9-10.

(責任編輯： 沈 蕓)

New lower bounds to discrete discrepancy in mixed two-and three-level fractional factorial designs

LI Hongyi1, 2, OU Zujun2, LI Qisheng2

(1. Normal College, Jishou University, Jishou, Hunan 416000, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou, Hunan 416000, China)

Abstract:The discrete discrepancy is often evaluated the uniformity of factorial designs. The accurate lower bounds of discrepancies can test uniform degree of designs. On the basis of existing formula of the discrete discrepancy, this article discusses lower bounds to discrete discrepancy in mixed two- and three- level fractional factorial designs and gives a new lower bound to the discrete discrepancy according to Taylor expansion. The new lower bound is better than existing lower bounds in certain factorials designs. Finally, two examples are given to illustrate the results.

Keywords:uniform design; U type design; mixed-level factorial design; discrete discrepancy; lower bound; Taylor expansion

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0375

文章編號：1000-2243(2016)03-0375-04

收稿日期:2013-12-29

通訊作者:歐祖軍(1979-), 副教授, 主要從事試驗設(shè)計及計算機試驗研究, ozj9325@mail.ccnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11201177, 11561025); 湖南省教育廳優(yōu)秀青年基金資助項目(14B146)

中圖分類號：O212.

文獻標識碼：A