魏永合　牛保國　劉雪麗　趙旭寧

沈陽理工大學(xué)，沈陽，110159

波形曲率延拓在局域均值分解中的應(yīng)用

魏永合牛保國劉雪麗趙旭寧

沈陽理工大學(xué)，沈陽，110159

摘要：局域均值分解(LMD)是一種能夠?qū)?fù)雜的調(diào)幅調(diào)頻信號自適應(yīng)地分解為一系列單分量的調(diào)幅調(diào)頻信號的處理方法，其分解過程存在端點效應(yīng)，分解結(jié)果有一定程度的失真。針對此問題，提出根據(jù)波形曲率特征對信號端點進行極值延拓，通過特征波的曲率波動來篩選與邊界波形最為相似的數(shù)據(jù)段，在此基礎(chǔ)上將波形匹配曲率估計應(yīng)用于LMD分解過程中, 并與鏡像延拓及自適應(yīng)波形匹配延拓方法相比較，驗證了所提方法的優(yōu)點。使用仿真信號與實際的齒輪故障數(shù)據(jù)進行試驗與檢測，結(jié)果表明，所提方法可以有效改善LMD分解過程的端點效應(yīng)，提高分解精度。

關(guān)鍵詞：局域均值分解(LMD)；端點效應(yīng)；波形匹配；曲率特征

0引言

Smith[1]于2005年首次提出局域均值分解(local mean decomposition，LMD)方法。作為能夠處理信號數(shù)據(jù)的新的時域故障診斷方法，LMD可以自適應(yīng)地處理繁瑣的非線性、非平穩(wěn)、多分量的調(diào)幅調(diào)頻信號，將其分解為多個乘積函數(shù)(product function,PF)分量。每一個PF分量都由一個包絡(luò)信號和一個純調(diào)頻信號相乘組成，包絡(luò)信號就是該PF分量的瞬時幅值，由純調(diào)頻信號可以直接求出該PF分量的瞬時頻率。進一步組合所有乘積函數(shù)的瞬時幅值和瞬時頻率，便可以獲得原始信號完整的時頻分布。

經(jīng)典LMD方法自身有一些缺陷，端點效應(yīng)就是其中之一。對于迭代篩選分解信號方法中存在的端點效應(yīng)問題，許多學(xué)者已提出了很多改進方法。文獻[2-4]針對LMD分解過程，提出使用自適應(yīng)波形匹配方法來延拓原始信號，然后再進行LMD分解，該方法抑制了端點效應(yīng)，并在工程實際中得到應(yīng)用；文獻 [5]提出在信號中添加窗函數(shù)來抑制經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)過程的端點效應(yīng)。文獻[6]對比分析了端點效應(yīng)在LMD和EMD分解過程中對分解結(jié)果的影響，提出了一種使用鏡像延拓方法抑制端點效應(yīng)的處理技術(shù)。文獻[7]提出了基于對稱差分能量算子解調(diào)的LMD端點效應(yīng)抑制方法。文獻[8]針對局域波分解端點效應(yīng)問題提出使用三角波形相似估計法對信號端點局部均值進行估計。

經(jīng)過人們的不斷研究，已經(jīng)出現(xiàn)了許多抑制端點效應(yīng)的技術(shù)方法,但是這些方法或多或少存在一些缺陷，如鏡像延拓方法通常需要將鏡像點置于端點極值處，但實際中往往無法確定端點是否為極值，因此通常會導(dǎo)致結(jié)果具有一定程度的失真。本文在目前經(jīng)典抑制端點效應(yīng)方法的基礎(chǔ)上，提出一種基于信號波形曲率特征的估計匹配法來抑制LMD分解過程中的端點效應(yīng)，并將該方法與自適應(yīng)波形曲率延拓以及鏡像延拓方法進行對比，選取相關(guān)性數(shù)據(jù)以及能量評價指標(biāo)[5-6]綜合說明該方法的優(yōu)點。在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用到LMD分解中，通過仿真信號與工程實際案例分析，證明該方法能夠有效地抑制端點效應(yīng)對LMD分解結(jié)果的影響，顯著提高分解精度，從而為準(zhǔn)確提取故障特征提供參考。

1LMD方法及端點效應(yīng)

1.1LMD基本原理

LMD是一種能夠有效處理非線性、非平穩(wěn)信號的方法，其具體步驟如下：

(1)求出原始信號x(t)的全部局部極值點ni，計算相鄰極值點ni和ni+1之間的均值mi:

(1)

將所有的均值mi進行線性直線延拓，獲取局部均值線段，對局部均值線段進行平滑處理，獲取局部均值函數(shù)m11(t)。

(2)根據(jù)局部極值點及其時刻，計算局部幅值ai：

(2)

將獲得的局部幅值ai進行線性直線延拓，獲取信號的局部幅值線段，對局部幅值線段進行平滑處理，獲取信號的包絡(luò)估計函數(shù)a11(t)。

(3)從原始信號x(t)中分離出局部均值函數(shù)m11(t)，對分離后的信號按照下式進行解調(diào)處理：

(3)

h11(t)=x(t)-m11(t)

(4)

假如s11(t)的包絡(luò)估計函數(shù)不等于1，則對s11(t)重復(fù)上述迭代過程，直到s1n(t)表現(xiàn)出純調(diào)頻信號的特征，即它的包絡(luò)函數(shù)值為1。所以有

(6)

(4)求包絡(luò)信號a1(t)，即

(7)

(5)計算乘積函數(shù)，即

PF1(t)=a1(t)s1n(t)

(8)

(6)從原始信號x(t)中分離PF分量，獲取新的信號u1(t)，將其作為對象數(shù)據(jù)重復(fù)上述迭代過程，迭代n次，直至un(t)呈現(xiàn)單調(diào)函數(shù)的特征為止，即

u1(t)=x(t)-PF1(t)u2(t) =u1(t)-PF2(t) ?un(t)=un-1(t)-PFn(t)üty????

(9)

原始信號x(t)被解調(diào)處理分解為 n個PF分量和一個余量un(t)，即

(10)

1.2端點效應(yīng)

LMD分解是以信號的局部極值點作為基礎(chǔ)，循環(huán)地多次對局部均值函數(shù)與局部包絡(luò)函數(shù)等進行迭代處理。但是在迭代過程中，端點以外的極值點情況不能確定，這樣就會使分解結(jié)果在兩端處產(chǎn)生誤差，迭代次數(shù)越多，這種誤差就會越向信號內(nèi)部擴散，對于低頻PF分量，由于時間尺度大，這種誤差影響就會更加明顯，這就是端點效應(yīng)。

由LMD原理及過程可知，產(chǎn)生端點誤差的主要原因是端點可能不是極值點。假設(shè)在求局部均值函數(shù)以及局部包絡(luò)函數(shù)時，所使用的端點均是原信號的極值點，這樣端點處的誤差就會得到抑制，端點效應(yīng)的影響就會減小。進行LMD分解處理之前，先對對象信號數(shù)據(jù)進行端點極值延拓，以求更加真實地表現(xiàn)對象信號端點以外的極值分布情況，便于進行后續(xù)迭代處理。分解完成以后，按照左右延拓的點數(shù)，再對分解結(jié)果進行適當(dāng)?shù)慕厝?。這樣就可以抑制端點。

2波形曲率估計延拓及仿真

2.1波形曲率估計延拓

波形曲率估計匹配延拓是一種基于曲線采樣點曲率的端點極值預(yù)測方法。對信號端部進行極值延拓，在一定程度上可以減輕端點效應(yīng)，其實現(xiàn)方法關(guān)鍵步驟如下：

(1)截取匹配特征波形，計算特征曲率。定義e(i)為待處理信號x(t)的極值點位置矩陣，選取x(1)-x(e(1))-x(e(2))波段為特征波段，采用多項式擬合方法擬合特征波段離散數(shù)據(jù)，按照下式計算波段內(nèi)采樣點附近曲率，將其作為特征曲率C：

(11)

(2)劃分采樣信號。以極值點為基準(zhǔn)、特征波段長為步長劃分整個采樣信號。對模擬信號進行左端延拓，進一步說明該延拓方法步驟。定義采樣信號x(t)的極大值、極小值位置的矩陣數(shù)組分別為max(i)、min(j)。其中i是從1至m的整數(shù)，m是極大值個數(shù)；j為從1至n的整數(shù)，n是極小值個數(shù)。假設(shè)信號左端第一個極值點是極大值點，則特征波段就是x(1)-x(max(1))-x(min(1))，特征波形長度為l，圖1中波形段a為特征波形段。再以剩余信號內(nèi)部極小值序列為匹配波形段終點，向左取步長為l的點為起點，截取波形段為匹配波形段，圖1中a1即為匹配的第一個波形段，以此類推。

圖1　波形段劃分示意圖

(3)選取指標(biāo)，尋找最優(yōu)波形段。選擇相關(guān)系數(shù)ρ及曲率匹配誤差ε作為指標(biāo)進行波形段篩選。采用多項式擬合方法擬合每個波形段采樣數(shù)據(jù)，然后利用式(11)計算n個波形段內(nèi)采樣點附近的曲率Cn(i)。根據(jù)下面的公式分別計算特征波段曲率與匹配波段曲率之間的相關(guān)系數(shù)和匹配誤差：

(12)

(13)

式中，Cov(C，Ci)表示特征曲率C與第i個波形段曲率Ci的協(xié)方差；D(C)為特征波形曲率的標(biāo)準(zhǔn)差；D(Ci)為第i個匹配波形段內(nèi)曲率的標(biāo)準(zhǔn)差。

分別設(shè)定閾值ρ1、ε1。在匹配波形段集合里搜索出閾值ρC-Ci>ρ1且ε(i)<ε1的波形段為目標(biāo)波形段。為了更加準(zhǔn)確地找出符合信號內(nèi)部規(guī)律的波形段，閾值ρ1、ε1可分別選定為0.999、0.0001，具體閾值設(shè)定要視實際情況而定。

(4)以步驟(3)中的目標(biāo)波形段為基準(zhǔn)，截取兩個極值長度數(shù)據(jù)段，延拓到信號一端，按照同樣的方法延拓數(shù)據(jù)另一端。

2.2仿真實驗

將波形曲率延拓方法應(yīng)用于LMD分解中，在進行LMD分解之前進行一次波形曲率延拓。進行仿真實驗檢驗。選取仿真信號x(t)如下：

x(t)=x1(t)+x2(t)

(14)

x1(t)=(1+0.9(sin(0.04πt))cos(0.1πt+sin(0.01πt))

(15)

x2(t)=sin(0.03πt)cos(0.08πt)

(16)

x(t)為兩個分量信號的疊加，其中x1(t)為調(diào)幅調(diào)頻信號；x2(t)為調(diào)幅信號。t取值范圍為[0,500 s]。首先對原始信號x(t)進行波形曲率延拓，延拓左右端兩個極值，由于信號的規(guī)律性特別強，故設(shè)定誤差閾值ρ1=0.9999，ε1=0.0001。

延拓前后的信號如圖2所示，可以看出，左右端點延拓后的信號趨勢非常符合原始信號內(nèi)部規(guī)律。

圖2　波形延拓前后信號圖像對比

求取延拓前后信號的局域均值線段以及局部包絡(luò)線段，如圖3所示。從圖3中可以看出，延拓前后的局部均值線段及局部包絡(luò)線段端部有所不同。

(a) 延拓前后信號局部均值線段

(b) 延拓前后信號局部包絡(luò)線段圖3　延拓前后信號線段對比

分別求取原始信號及延拓信號的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)，如圖4所示。從圖4中可以看出，原始信號的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)在端部有一定程度的失真。

(a)延拓前后信號局部均值函數(shù)

(b)延拓前后信號局部包絡(luò)函數(shù)圖4　延拓前后信號局部均值函數(shù)和包絡(luò)函數(shù)對比

曲率波形延拓后進行LMD分解，得到4階PF分量如圖5所示。由圖5可以看出，信號的主要信息集中在前兩階PF分量PF1(t)、PF2(t)中，第3、4階PF分量PF3(t)、PF4(t)幅值明顯減小，不是信息集中區(qū)域，為LMD分解的“虛假”成分；u4(t)是殘余分量信號。理論上，分解結(jié)果只有兩階，出現(xiàn)這些“虛假”成分的主要原因是求局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)產(chǎn)生的誤差以及估計端點極值所產(chǎn)生的延拓誤差，這些誤差不可避免。

圖5　波形曲率延拓后再進行LMD分解的結(jié)果

2.3與其他延拓方法對比

將波形曲率匹配延拓法與鏡像延拓法及自適應(yīng)波形匹配方法相比較。取式(14)的仿真信號x(t)為分析研究對象，分析參數(shù)的設(shè)置也相同。分別比較波形曲率估計匹配法、鏡像延拓法及自適應(yīng)波形匹配方法在LMD方法中的應(yīng)用及其對端點效應(yīng)的改進程度。

2.3.1延拓處理及LMD分解對比

采用波形曲率匹配法、自適應(yīng)波形匹配法、鏡像方法對模擬采樣信號進行延拓，延拓結(jié)果如圖6所示。由圖6可得出：鏡像延拓缺乏自適應(yīng)性，延拓結(jié)果和其他兩種方法相比，不是特別滿足信號內(nèi)部規(guī)律；波形曲率延拓和自適應(yīng)波形匹配延拓都能夠自適應(yīng)地選取最優(yōu)波形段進行極值延拓，但是相比較來說，波形曲率延拓選取的波形段更加符合信號內(nèi)部規(guī)律。

圖6　各種延拓方法延拓后的信號

信號經(jīng)過波形曲率匹配延拓之后的LMD分解結(jié)果如圖5所示；信號經(jīng)過自適應(yīng)波形匹配法、鏡像延拓法延拓后的LMD分解結(jié)果分別如圖7、圖8所示；信號未經(jīng)延拓處理的LMD分解結(jié)果如圖9所示。

圖8　鏡像延拓后信號的LMD分解結(jié)果

圖9　未經(jīng)延拓信號的LMD分解結(jié)果

2.3.2端點效應(yīng)檢測

根據(jù)LMD分解結(jié)果分別選取各延拓情況下所得的PF分量，將PF分量分別與原始模擬信號x(t)之間進行相關(guān)性分析，結(jié)果如表1所示。

根據(jù)LMD分解理論，原始模擬信號x(t)延拓之后通過LMD分解處理，其主要特征信息集中在前兩階PF分量PF1(t)、PF2(t)中。理論上，前兩階PF分量相關(guān)性越大則后兩階PF分量相關(guān)性越小，說明延拓效果越好則端點效應(yīng)影響越小。

表1　各PF分量與原始模擬信號間的相關(guān)系數(shù)

從表1中的相關(guān)性數(shù)值能明顯看出，經(jīng)過波形曲率延拓后再進行LMD分解所得的第一階PF分量PF1(t)與x(t)相關(guān)性最大，高達0.963；后兩階PF分量與x(t)相關(guān)性非常小，幾乎可以忽略，說明波形曲率特征匹配法對端點效應(yīng)的抑制效果非常顯著。

采用文獻[5-6]提出的基于能量評價指標(biāo)檢驗曲率延拓前后端點效應(yīng)對乘積函數(shù)的影響程度。信號有效值計算公式為

(17)

式中，R為信號的有效值；i為信號序列編號；n為信號長度。

端點效應(yīng)影響因子θ定義為

(18)

根據(jù)θ定義可以得出，端點效應(yīng)對PF分量影響越小，θ值就越??；如果沒有產(chǎn)生端點效應(yīng)，則θ值為0。相應(yīng)的θ值結(jié)果如表2所示。

表2　延拓前后θ能量表

由表2可以得出結(jié)論：相對于其他兩種方法，波形曲率匹配延拓對LMD分解中端點效應(yīng)的抑制效果最好，可以有效提高分解精度。

3工程實驗

為進一步驗證波形曲率匹配延拓對LMD分解端點效應(yīng)的改善情況，進行了故障模擬檢測實驗。試驗選取的齒輪箱故障狀態(tài)是大齒輪點蝕。小齒輪連接電機輸入軸，電機軸轉(zhuǎn)動速度為880 r/mim，實驗所用減速器大小齒輪齒數(shù)分別為75和55。采樣頻率為51 200 Hz，采樣點數(shù)為256 000。根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速及齒輪參數(shù)，計算齒輪理論嚙合頻率為806.67 Hz，大小齒輪轉(zhuǎn)頻分別為10.76 Hz 、14.67 Hz。

對原始數(shù)據(jù)進行中心化、異常點剔除、小波降噪等一系列預(yù)處理，以降低干擾項的干擾，然后進行波形曲率延拓。工程信號數(shù)據(jù)摻雜其他無關(guān)分量較多，雖然周期性明顯，但還是會影響延拓結(jié)果，所以經(jīng)過多次試驗總結(jié)，分別將誤差閾值ρ1、ε1設(shè)置為0.95、0.01。由于數(shù)據(jù)較長，故截取左右端部局部信號放大，如圖10所示，圖中實線為原始信號，虛線為端點延拓部分。

(a)左端點延拓

(b)右端點延拓圖10　原始信號左右延拓情況

對延拓后的信號及未經(jīng)波形曲率延拓的信號進行LMD分解，結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖11　波形曲率延拓后工程信號的LMD分解結(jié)果

圖12　未經(jīng)波形曲率延拓工程信號的LMD分解結(jié)果

使用相關(guān)系數(shù)理論方法來計算各個乘積函數(shù)與原始信號數(shù)據(jù)之間的相關(guān)情況，結(jié)果如表3所示。

表3　各PF分量與原始工程信號之間的相關(guān)系數(shù)表

由LMD分解原理可知，其分解過程實際上是從高頻到低頻的“篩選”過程，分解得到的PF分量的頻率是由高到低。在所有理論頻率中嚙合頻率及其倍頻是最大的，故第一個PF分量PF1(t)對應(yīng)的是嚙合頻率及其倍頻。由相關(guān)系數(shù)表可知，信號的主要特征信息集中在第一個PF分量PF1(t)中，故分別選取延拓之前信號及延拓之后信號經(jīng)LMD分解的第一個PF分量，對其作包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖13所示。

(a)延拓之前

(b)延拓之后圖13　延拓前后第一個PF分量PF1(t)的功率譜

由圖13可知，對未經(jīng)延拓的信號和經(jīng)過延拓之后的信號進行特征信息提取，得到的特征故障頻率都能夠接近大齒輪的轉(zhuǎn)頻10.76 Hz，由此可判斷，大齒輪出現(xiàn)故障。但是未經(jīng)延拓得到的故障調(diào)制頻率是10.5 Hz，而經(jīng)過延拓之后得到的故障調(diào)制頻率是10.75 Hz，相比較而言，10.75 Hz與大齒輪的轉(zhuǎn)頻10.76 Hz更加接近，故可以得出結(jié)論：經(jīng)過波形曲率匹配延拓之后的信號能夠改善LMD分解過程中的端點效應(yīng)，提高分解精度，在后續(xù)的故障診斷中能夠更加精確地提取故障特征。

4總結(jié)

根據(jù)局域均值分解端點效應(yīng)產(chǎn)生的原因，提出使用波形曲率匹配延拓方法來從根源上抑制端點效應(yīng)。波形曲率匹配延拓法基于信號內(nèi)部的曲率波動來匹配特征波形進行端點延拓，同時設(shè)定閾值，提高了匹配精度以及估計精度。通過仿真信號與工程故障齒輪的實驗，驗證了信號經(jīng)波形曲率匹配延拓后再進行局域均值分解，能夠?qū)Χ它c效應(yīng)進行有效的抑制。

參考文獻：

[1]Smith J S. The Local Mean Decomposition and Its Application to EEG Perception Data[J]. Journal of the Royal Society Interface，2005，2(5)： 443-454．

[2]張亢，程軍圣，楊宇．基于自適應(yīng)波形匹配延拓的局部均值分解端點效應(yīng)處理方法[J]．中國機械工程，2010，21(4)：457-462．

Zhang Kang, Cheng Junsheng, Yang Yu. Processing Method for End Effects of Local Mean Decomposition Based on Self-adaptive Waveform Matching Extending[J]. China Mechanical Engineering, 2010,21(4): 457-462.

[3]張亢，程軍圣，楊宇．局部均值分解方法及其在軸承故障診斷中的應(yīng)用[J]．中國機械工程，2009，20(22)：2711-2717．

Zhang Kang, Cheng Junsheng, Yang Yu. Local Mean Decomposition Method and Its Application to Roller Bearing Fault Diagnosis[J].China Mechanical Engineering, 2009，20(22)：2711-2717．

[4]程軍圣，楊宇，于德介．局部均值分解方法及其在齒輪故障診斷中的應(yīng)用[J]．振動工程學(xué)報，2009，22(1)：76-83．

Cheng Junsheng, Yang Yu, Yu Dejie. Local Mean Decomposition Method and Its Application in Gear Fault Diagnosis Fault Diagnosis[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009，22(1)：76-83．

[5]任達千，吳昭同，嚴(yán)拱標(biāo)．EMD 端點效應(yīng)的評價指標(biāo)及抑制端點效應(yīng)的窗函數(shù)法[J]．制造業(yè)自動化，2007，29(1)：21-24．

Ren Daqian, Wu Zhaotong, Yan Gongbiao. Evaluation of the EMD End Effect and Its Window Based Method[J]. Manufacturing Automation, 2007，29(1)：21-24．

[6]任達千，楊世錫，吳昭同，等．LMD 時頻分析方法的端點效應(yīng)在旋轉(zhuǎn)機械故障診斷中的影響[J]．中國機械工程，2012，23(8)：951-956．

Ren Daqian, Yang Shixi, Wu Zhaotong,et al. Research on End Effect of LMD Based Time-frequency Analysis in rotating Machinery Fault Diagnosis[J]. China Mechanical Engineering,2012,23(8):951-956．

[7]孟宗，李珊珊，季艷．基于對稱差分能量算子解調(diào)的局部均值分解端點效應(yīng)抑制方法[J]．機械工程學(xué)報，2014，50(13)：80-87．

Meng Zong, Li Shanshan, Ji Yan. Restraining Method for End Effect of Local Mean Decomposition Based on Energy Operator Demodulation of Symmetrical Differencing[J]. China Mechanical Engineering, 2014，50(13)：80-87．

[8]寧寧，張俊，秦文娟．抑制局域波分解端點效應(yīng)方法的研究[J]．計算機仿真，2008，25(11)：312-315．

Ning Ning, Zhang Jun, Qin Wenjuan. A Method for Restraining the Ending Effect in Local Wave Method[J]. Computer Simulation, 2008，25(11)：312-315．

(編輯蘇衛(wèi)國)

Waveform Curvature Extension in Applications of Local Mean Decomposition

Wei YongheNiu BaoguoLiu XueliZhao Xuning

Shenyang Ligong University,Shenyang,110159

Abstract:LMD was a kind of signal processing method to self-adaptively decompose the complex amplitude modulation-frequency modulation signals into a series of single-component amplitude modulation-frequency modulation. To some degrees, the decomposition results were of distortions because of the influences of end effects. In order to improve the end effects from LMD, the data segments which were most similar to wave boundary data segments were searched according to the curvature fluctuations of characteristic waves. The waveform curvature was applied in LMD. According to the comparison of mirror extension and self-adaptive waveform match, the advantages of waveform curvature extension were verified. The experiments of simulation signals and actual gear failure were made, the results show that this method can suppress the end effect effectively and improve the decomposition precision.

Key words：local mean decomposition(LMD); end effect; waveform matching;curvature characteristic

收稿日期：2015-08-31

基金項目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2012AA041303)

中圖分類號：TH132.4；TH165.3

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.03.011

作者簡介：魏永合，男，1971年生。沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士。研究方向為機械設(shè)備的故障診斷、預(yù)測和健康管理。牛保國，男，1989年生。沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。劉雪麗，女，1990年生。沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。趙旭寧，女，1990年生。沈陽理工大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。