鄒宗園　郭寶峰　金　淼　毛春燕

1.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，秦皇島，0660042.太原重工股份有限公司，太原，030024

大型復雜結構安定性數值分析的新方法及其應用

鄒宗園1郭寶峰1金淼1毛春燕2

1.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學)，秦皇島，0660042.太原重工股份有限公司，太原，030024

摘要：大型復雜結構承載后普遍存在局部高應力區(qū)，特別是某些巨型結構，由于受幾何尺寸和制造能力的限制，其局部高應力往往會接近甚至超過材料的屈服極限，因而成為彈性范圍內的設計難題。應用安定性分析設計準則，則可通過利用材料的塑性承載能力很好地解決這類問題。為此，在大型復雜結構的強度分析中引入安定性理論，應用Melan安定下限定理，通過將峰值載荷下的彈塑性應力場與彈性參考應力場相減，構造定理要求的自平衡應力場，并推導了相應的安定性判定條件。在此基礎上，結合彈塑性增量有限元技術，通過不同載荷水平下的加載-卸載計算，計算相應載荷水平下的殘余應力場。根據加載-卸載得到的殘余應力場與構造的自平衡場的關系，按照安定性判定條件確定安定極限載荷，從而建立了一種適合于大型復雜結構安定性數值分析的新方法，并應用該方法對某125 MN鍛造液壓機的主液壓缸缸體結構進行了安定性分析。

關鍵詞：彈塑性；安定性；液壓缸；安定極限載荷；局部高應力

0引言

在工業(yè)制造領域，一些大型復雜承載結構，因其構件尺寸大、結構復雜，承載后應力分布不均勻，即使經過結構優(yōu)化設計也不可避免地在結構局部形狀和尺寸發(fā)生突變的位置產生應力集中，形成高應力區(qū)。這些局部高應力往往是結構中平均應力的2～5倍，常常接近甚至超過材料的屈服極限。例如，大型液壓機本體結構中的法蘭支撐式液壓缸，其法蘭根部圓角區(qū)域局部受力狀態(tài)復雜，且存在應力集中而出現局部高應力，所以其法蘭與缸筒的過渡部位一直是這種結構強度分析校核的關鍵控制部位，即使采用了經過優(yōu)化設計的過渡型線也無法避免局部高應力現象的發(fā)生。

根據安定理論，對于彈性安定的結構，在初始承載循環(huán)后會產生局部塑性變形，但在結構安定之后便不再有新的塑性變形產生，結構表現為完全彈性響應。也就是說，即使在局部高應力區(qū)產生了塑性變形，結構也可能進入安定狀態(tài)，并不會發(fā)生彈塑性強度破壞。安定理論合理地利用了材料的塑性承載能力，無需再將結構的最大應力控制在材料許用應力之內。

顯然，若引入安定性理念，以結構的安定極限載荷作為結構的彈塑性承載能力界限，那么對于存在局部高應力區(qū)的大型復雜承載結構而言，就意味著能夠更充分地利用材料的彈塑性承載能力?，F階段，基于安定理論的彈塑性強度設計準則已經被寫入ASME Ⅷ-2[1]和EN-13445[2]等壓力容器建造規(guī)范。除了在壓力容器[3-4]的設計校核中得到應用外，也在核電工業(yè)構件[5-6]、航空航天構件[7]、鐵路道軌[8]、土工地基[9]、近海結構[10]及鋼結構框架[11]的分析設計中得到了應用。為促進安定理論的應用，已發(fā)展了許多安定性數值分析方法。這些方法包括直接循環(huán)法和基于安定定理的數值計算方法，如數學規(guī)劃法、彈性補償法等。然而直接循環(huán)法需進行不同載荷下的多次循環(huán)計算，繁瑣耗時[12]；其他數值計算方法則需通過編制子程序，嵌入商業(yè)有限元軟件中實現分析[13-15]，各有優(yōu)勢但又存在其應用的局限性，尚無法簡便有效地實現液壓機本體結構的安定性分析。

本文針對存在局部高應力的大型復雜承載結構的強度分析問題，引入安定理論并根據Melan安定下限定理建立了一種應用彈塑性增量有限元技術求解結構安定極限載荷的數值分析新方法，并應用該方法對125 MN鍛造液壓機主缸進行了安定性分析。

1安定性數值分析方法

1.1安定性判定條件

Melan安定定理描述為，對于理想彈塑性結構，如果存在一個時間無關的自平衡應力場，使得結構內的任何點在加載域內的所有載荷下，其與假設結構為理想彈性體時的彈性參考應力場疊加后得到的應力場滿足如下條件則結構安定：

(1)

根據上述定理，可以通過構造時間無關的自平衡應力場來求解滿足安定下限定理的最大外載荷，即安定極限載荷。

液壓機本體結構件受到工作載荷的循環(huán)加載-卸載作用。液壓缸的循環(huán)工作載荷可表示為

P(t)=P(t+T)

(2)

式中，T為載荷循環(huán)周期；P(t)∈[0,P]為載荷域。

(3)

由于載荷域P(t)∈[0,P]為一維加載域，且彈性參考應力是與載荷成正比的，所以在整個載荷域內的安定性可以通過載荷域兩個頂點處即谷值、峰值處進行判斷即可。因此若要滿足安定下限定理的安定條件(式(1))，則在循環(huán)載荷谷值、峰值處均需滿足式(1)，即

(4)

(5)

將式(3)代入式(5)可得

(6)

1.2數值方法的實現

圖1　安定性數值分析方法的加載路徑

對于圖1所示的峰值漸增的加載路徑，第一個載荷峰值一般可選為結構的設計載荷，載荷峰值的增幅ΔP則可根據計算精度要求進行確定。

圖2　安定極限載荷的確定

由于結構的安定性取決于其強度最薄弱部位的關鍵點，所以安定性數值分析只需監(jiān)測其關鍵點。那么，對于理想彈塑性材料結構，關鍵點的等效殘余應力σr首次等于材料的屈服極限σs時所對應的載荷Ps為安定極限載荷，如圖2所示。因此，通過從有限元分析結果中提取結構關鍵點在不同載荷峰值下加載-卸載結束時應力狀態(tài)的等效應力就可方便地確定結構的安定極限載荷。圖3所示為上述安定性數值分析流程。

圖3　安定性有限元數值分析流程圖

2液壓缸安定性分析

2.1有限元模型

圖4是某125 MN自由鍛造液壓機主液壓缸的缸體結構簡圖。該液壓缸為法蘭支撐結構，支撐法蘭位于缸口。缸體按照彈性范圍的強度設計準則設計完成。液壓缸的額定工作壓力為35 MPa。缸體材質為鍛鋼35，其屈服極限不小于235 MPa。缸體的有限元彈性強度分析結果表明，在缸筒與法蘭的圓角過渡區(qū)域存在局部高應力，最高應力值已接近材料的屈服極限，那么，根據彈性強度設計準則，其安全系數(材料屈服極限與最高應力的比值)略大于1，因此缸體的彈性強度安全裕度非常有限。但在液壓機投產以來3年多的運行實踐中，并未出現因液壓缸缸體強度不足而導致的異常情況。有鑒于此，應用上述安定性數值分析方法對該液壓缸缸體進行了彈塑性強度分析。

(a)缸體簡圖

(b)局部放大圖Ⅰ(c)局部放大圖Ⅱ圖4　液壓缸缸體結構簡圖

由于螺栓孔及橫梁的彎曲變形對缸體高應力區(qū)影響很小，所以在建立缸體有限元模型時進行了簡化處理。但在上橫梁與法蘭及缸筒接觸的位置處，上梁的局部擠壓變形會對法蘭和缸筒相應位置的高應力區(qū)的受力狀態(tài)有較大影響，因此在建立有限元模型時需考慮上橫梁下面板局部變形的影響。上橫梁材質為ZG270-500，屈服極限取為270 MPa，其下面板局部實體模型的形狀和尺寸見圖4b，設置它與缸體的接觸計算條件，摩擦因數取為0.12。為簡單起見，假設缸體和上橫梁材料均為理想彈塑性材料，服從Mises屈服準則，有限元模型中缸體屈服極限取為235 MPa。

有限元模型采用了平面四邊形四節(jié)點單元。對法蘭圓角、缸底圓角附近區(qū)域進行了局部網格細化處理。細化區(qū)形狀尺寸如圖4b和圖4c中虛線所示?；诰W格敏感性分析結果，細化和非細化區(qū)域的網格邊長分別取為1 mm和8 mm。缸體共163 785個單元，上橫梁共劃分了35 165個單元。

在缸體內壁密封以上部分施加均勻分布的液體壓力，密封段總高240 mm，在密封高度范圍內按照線性分布規(guī)律從上到下施加遞減的液體壓力。在橫梁局部實體模型上施加相應的位移約束。缸體軸對稱模型的受力簡圖見圖5，缸體的軸對稱有限元分析模型如圖6所示。

圖5　缸體的加載力學示意圖

圖6　缸體的有限元模型

應用本文提出的安定性分析新方法對該缸體進行分析計算。施加圖1所示的峰值逐漸增大的壓力載荷，第一個壓力載荷的峰值為35 MPa，之后壓力載荷的峰值逐漸增大，每次增幅為1 MPa。

2.2計算結果與討論

圖7是壓力為35 MPa時缸體的等效應力云圖。最高應力出現在法蘭圓角附近區(qū)域，等效應力高達230 MPa左右。其他區(qū)域的等效應力均小于150 MPa。

圖7　壓力為35 MPa時的缸體等效應力云圖

法蘭圓角區(qū)域為缸體的最高應力區(qū)，所以為缸體安定性判定的關鍵位置。由載荷峰值逐漸增大的加載-卸載計算得到，缸體法蘭圓角區(qū)域的關鍵點的最大等效殘余應力與壓力載荷的關系如圖8所示。根據上文的安定載荷判定條件可知，該液壓缸缸體的安定極限壓力為68 MPa。

圖8　關鍵點的等效殘余應力與壓力的關系曲線

壓力載荷為68 MPa時缸體的等效應力分布如圖9所示。缸體法蘭圓角區(qū)域的局部應力達到屈服極限，產生局部塑性變形。為了進一步考察液壓缸多次循環(huán)承載后塑性變形的演化情況，按照從零到68 MPa再到零的載荷循環(huán)方式，對缸體進行了50次循環(huán)彈塑性增量有限元分析計算。每次加載結束時法蘭圓角區(qū)域的等效塑性應變率云圖見圖10。由于等效塑性應變率不為零的區(qū)域為塑性變形區(qū)，所以由圖10可見，在初始循環(huán)階段法蘭圓角區(qū)域存在局部塑性變形區(qū)，隨著循環(huán)次數的增加，塑性變形區(qū)逐漸減小，最后變成完全彈性響應區(qū)，達到安定狀態(tài)。其中塑性應變最大點的總塑性應變隨載荷循環(huán)數的變化曲線如圖11所示。由圖11可見，經過初始幾個循環(huán)后塑性變形穩(wěn)定不變，不再有新的塑性變形產生，達到安定狀態(tài)，穩(wěn)定后的總塑性應變?yōu)?.22%。

圖9　壓力載荷為68 MPa時缸體的等效應力云圖

由此可見，由于以安定極限載荷作為缸體的彈塑性強度界限，利用了缸體材料的塑性承載能力，所以缸體即便是在68 MPa的壓力下也能夠安全服役。

由上述安定性分析結果可知，該液壓缸的安定極限壓力與額定工作壓力的比值約為1.94，說明該缸體的彈塑性強度安全裕度較為寬裕。

3結論

(1)提出了一種安定性數值分析新方法。該方法通過構造合適的自平衡應力場，根據Melan安定下限定理，給出了安定性判定條件，并結合彈塑性有限元技術實現了結構的安定性分析。

(a)第1個循環(huán)

(b)第5個循環(huán)

(c)第8個循環(huán)

(d)第18個循環(huán)圖10　不同載荷循環(huán)次數下法蘭圓角區(qū)域的等效塑性應變率云圖

圖11　關鍵點的總等效塑性應變隨循環(huán)數的變化曲線

(2)125 MN自由鍛液壓機主液壓缸缸體的安定性分析結果顯示，缸體的彈塑性安全裕度為1.94，可以在高于其額定工作壓力90%的情況下正常安全服役。

(3)本文提出的數值方法可以簡便有效地實現大型復雜承載結構的安定性分析，可以更合理地解決存在局部高應力區(qū)的大型復雜承載結構的強度分析問題。

參考文獻：

[1]ASME. ASME-Ⅷ-2 Boiler and Pressure Vessel Code[S]. New York: the American Society of Mechanical Engineers, 2007.

[2]European Commission. EN-13445 Unfired Pressure Vessels[S]. Brussels: European Committee for Standardization, 2002.

[3]Abdalla H F. Shakedown Boundary Determination of a 90 Degrees Back-to-back Pipe Bend Subjected to Steady Internal Pressures and Cyclic In-plane Bending Moments[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2014, 116: 1-9.

[4]Simon J W, Chen Geng, Weichert D. Shakedown Analysis of Nozzles in the Knuckle Region of Torispherical Heads under Multiple Thermo-mechanical Loadings[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2014, 116: 47-55.

[5]Mishra A, Kumar R S, Chellapandi P. Progressive Deformation Behaviour of Thin Cylindrical Shell under Cyclic Temperature Variation Using Combined Hardening Chaboche Model[J]. Latin American Journal of Solids and Structures, 2014, 11(6): 980-992.

[6]Abdalla H F. Elastic Shakedown Boundary Determination of a Cylindrical Vessel-nozzle Intersection Subjected to Steady Internal Pressures and Cyclic Out-of-plane Bending Moments[J]. Nuclear Engineering and Design, 2014, 267: 189-196.

[7]Vermaak N, Valdevit L, Anthony E, et al. Implementations of Shakedown for Design of Actively Cooled Thermo Structural Panels[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures, 2011, 6: 9-10.

[8]Brouzoulis J, Torstensson P T, Stock R, et al. Prediction of Wear and Plastic Flow in Rails—Test Rig Results, Model Calibration and Numerical Prediction[J]. Wear, 2011, 271: 92-99.

[9]Tafreshi S N M, Khalaj O, Dawson A R. Repeated Loading of Soil Containing Granulated Rubber and Multiple Geocell Layers[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2014, 42(1): 25-38.

[10]Fadaee M J, Saffari H, Tabatabaei R. Shakedown Limit of Elastic-plastic Offshore Structures under Cyclic Wave Loading[J]. Ocean Engineering, 2008, 35(17/18): 1854-1861.

[11]Atkociunas J, Venskus A. Optimal Shakedown Design of Frames under Stability Conditions According to Standards[J]. Computers & Structures, 2011, 89(3/4): 435-443.

[13]Chen Shenshen, Liu Yinghua, Li Jun, et al. Performance of the MLPG Method for Static Shakedown Analysis for Bounded Kinematic Hardening Structures[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30(2): 183-194.

[14]Ure J, Chen Haofeng, Tipping D. Integrated Structural Analysis Tool Using the Linear Matching Method Part 1-Software Development[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2014, 120:141-151.

[15]Simon J W, Hoewer D, Weichert D. A Starting-point Strategy for Interior-point Algorithms for Shakedown Analysis of Engineering Structures[J]. Engineering Optimization, 2014, 46(5): 648-668.

(編輯蘇衛(wèi)國)

A New Shakedown Numerical Analysis Method for Huge Complex Strcuture and Its Applications

Zou Zongyuan1Guo Baofeng1Jin Miao1Mao Chunyan2

1.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science (Yanshan University),Ministry of Education of China,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Taiyuan Heavy Industry Co.,Ltd.,Taiyuan,030024

Abstract:The local high stresses appeared commonly in a loaded huge complex structure. Some of them were usually close to or even exceed the material yield strength due to the restrictions of the geometric size and the practical manufacture. It was troublesome with the applications of the conventional elastic strength design rule. The elastic-plastic shakedown design rule might utilize the plastic bearing capacity of material, then to solve this kind of strength problem well. Thus the shakedown theorem was introduced, and based on Melan shakedown theorem, a self-equilibrium stress field was constructed by subtractting the elastic-plastic stress field and the elastic reference stress field of the peak load, and the corresponding shakedown condition was derived. Then with the applications of the elastic-plastic incremental finite element technique, the loading-unloading calculations for different load levels were conducted to obtain the residual stress fields. Taking consideration of the relation between the residual stress field and the constructed self-equilibrium stress field, the shakedown limit load was determined by the shakedown conditions. Then a shakedown numerical analysis method for huge complex structure was established. The shakedown analysis for the main hydraulic cylinder of a 125 MN forging hydraulic press was performed by this new method.

Key words:elastic-plastic；shakedown；hydraulic cylinder body；shakedown limit load；local high stress

收稿日期：2015-08-17

基金項目：國家科技重大專項(2013ZX04003031)；國家自然科學基金資助項目(51475408)；河北省高校創(chuàng)新團隊領軍人才培育計劃資助項目 (LJRC012)；河北省自然科學基金資助項目(E2015203223)

中圖分類號：TG315.4

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.03.013

作者簡介：鄒宗園，女，1986年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。郭寶峰，男，1958年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。金淼(通信作者)，男，1968年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。毛春燕，女，1978年生。太原重工股份有限公司技術中心工程師。