王鐵成 ， 陳國平 ， 馬　方， 孫東陽

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京　210016;2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程學(xué)院，鹽城　224005; 3.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶　400044)

含混合間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

王鐵成1， 陳國平1， 馬方2， 孫東陽3

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京210016;2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程學(xué)院，鹽城224005; 3.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶400044)

摘要：研究了混合間隙對多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。首先建立了同時(shí)含旋轉(zhuǎn)副間隙和移動(dòng)副間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，然后以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對象，分析了混合間隙對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明，混合間隙對滑塊速度的影響不明顯，對滑塊加速度和曲柄力矩的影響比單個(gè)間隙的影響更加劇烈。為工程中建立更精確的含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)副間隙;移動(dòng)副間隙;多體系統(tǒng);動(dòng)力特性

在實(shí)際工程中，加工、裝配以及工作過程中的磨損、變形均會(huì)造成機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副存在間隙。間隙會(huì)顯著降低機(jī)械系統(tǒng)的工作性能。為了得到更精確的計(jì)算結(jié)果，就需要考慮運(yùn)動(dòng)副間隙對機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。因此，國內(nèi)外學(xué)者對含間隙多體系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了大量的研究成果。

Flores等[1-2]對含單間隙的多體系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，分析了旋轉(zhuǎn)副間隙對多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，同時(shí)對含有球鉸間隙的多體系統(tǒng)進(jìn)行了研究。田強(qiáng)等[3]對含有單個(gè)間隙的柔性系統(tǒng)進(jìn)行了研究，分析了柔性對含間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。郝雪清等[4]研究了不同運(yùn)動(dòng)副材料對間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。Ravn等[5-6]分別對含旋轉(zhuǎn)副間隙的雙擺系統(tǒng)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并且試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果都是吻合的。上述研究都只考慮多體系統(tǒng)中存在單間隙，針對含多間隙的多體系統(tǒng)， Flores[7]建立了含有多個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。隨后，Muvengei[8]對含有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙的平面剛體系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并且對比了單間隙和多間隙對多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。除了旋轉(zhuǎn)副間隙，移動(dòng)副間隙也廣泛的存在于機(jī)械系統(tǒng)中，F(xiàn)lores等[9-10]對含滑移副間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。更一般的情況是機(jī)械系統(tǒng)中同時(shí)存在旋轉(zhuǎn)副間隙和移動(dòng)副間隙，目前，含混合間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究還鮮見相關(guān)報(bào)道。本文建立了同時(shí)含旋轉(zhuǎn)副間隙和移動(dòng)副間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并且分析了混合間隙對多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1間隙模型

1.1旋轉(zhuǎn)副間隙模型

軸與軸承的中心距矢量和中心距分別可以表示為

(1)

(2)

軸與軸承接觸點(diǎn)的單位法向量表示為

(3)

如圖1所示，當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時(shí)，其嵌入深度表示為

δ=eij-C

(4)

式中C為間隙尺寸，其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差，即C=Ri-Rj。

體i和體j的接觸點(diǎn)Qi和Qj在全局坐標(biāo)系中的矢量表示為

(5)

圖1　旋轉(zhuǎn)副間隙Fig.1 Revolute joint with clear

將式(5)對時(shí)間求導(dǎo)，得到接觸點(diǎn)Qi和Qj的全局速度矢量

(6)

將接觸點(diǎn)速度向接觸面的法向和切向進(jìn)行投影得到法向速度vN和切向速度vT，相對法向速度確定兩個(gè)碰撞體是相對接近還是分離情況，相對切向速度確定兩個(gè)體是否存在相對滑動(dòng)。相對法向和切向速度可表示為

(7)

(8)

式中向量n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到切向量t。

當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時(shí)，在碰撞面處就會(huì)產(chǎn)生碰撞力，將碰撞力分別向法向n和切向t投影，其中作用在碰撞點(diǎn)處的法向力fn可以表示為

fn=FNn

(9)

考慮到碰撞過程中的能量耗散，Lankarani和Nikravesh提出的連續(xù)碰撞模型[11]是應(yīng)用最廣泛的一種碰撞力模型，該碰撞力模型可以表示為

(10)

(11)

其中參數(shù)hi和hj為

(12)

式中vk為泊松比，Ek為彈性模量。

當(dāng)碰撞過程中存在相對切向運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在接觸面上產(chǎn)生摩擦力，根據(jù)Ambrósio[12]提出的庫倫摩擦力法則，切向力ft可表示為

(13)

式中cf為摩擦系數(shù)，cd為動(dòng)態(tài)校正系數(shù)，表示為

(14)

圖2　接觸點(diǎn)力矢量Fig.2 Force vectors that act at the point of contact

將作用在體i和體j接觸面上的法向力和切向力分別等效到體i和體j的質(zhì)心Oi和Oj，如圖2所示，則作用在體i質(zhì)心上的力和力矩分別為

fi=fn+ft

(15)

(16)

作用在體j質(zhì)心上的力和力矩分別為

fj=-fi

(17)

(18)

1.2移動(dòng)鉸間隙模型

含有間隙的移動(dòng)副模型如圖3所示，它是由滑塊和導(dǎo)槽構(gòu)成?；瑝K長度為L，高度為W，導(dǎo)槽的高度為H，間隙大小為c，其表達(dá)式為

c=(H-W)/2

(19)

圖3　移動(dòng)副模型Fig.3 Translation joint

如圖4所示，移動(dòng)副間隙接觸狀態(tài)比旋轉(zhuǎn)間隙的分析要復(fù)雜，接觸狀態(tài)有四種：(a)自由狀態(tài)，即滑塊與導(dǎo)槽無接觸；(b)滑塊一角與導(dǎo)槽接觸；(c)側(cè)面全接觸狀態(tài)，(d)兩個(gè)對角同時(shí)接觸導(dǎo)槽。

為建立移動(dòng)副間隙的受力分析模型，如圖6所示，將與體j固連的局部坐標(biāo)系中由P點(diǎn)指向Q點(diǎn)的單位矢量t′，向慣性坐標(biāo)系投影可以得到

t=Hjt′

(20)

式中Hj是體j固連坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣。

對體j和體i上的任意點(diǎn)G用總體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為

(21)

圖4　移動(dòng)鉸不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Fig.4 Different scenarios for the slide motion

如圖5所示，導(dǎo)槽PQ邊上離滑塊點(diǎn)Ai距離最近的點(diǎn)Aj在總體坐標(biāo)中的位置矢量可表示為

(22)

圖5　移動(dòng)鉸間隙Fig.5 Translation joint with clearance

連接滑塊上點(diǎn)Ai到導(dǎo)槽上點(diǎn)Aj的矢量為

(23)

式中:注意d的方向是與導(dǎo)槽表面的法向方向n是一致，可由單位向量t順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到。則n可表示為

n=[ty,-tx]

(24)

滑塊和導(dǎo)槽發(fā)生碰撞并有滲透時(shí)，滿足下式條件

dTn<0

(25)

滑塊與導(dǎo)槽的碰撞力，根據(jù)Lankarani提出的兩平面間線性接觸力模型[13]得

(26)

式中的Ks為接觸剛度，由下式確定

(27)

式中，a是矩形接觸面周長的一半。hi和hj可由式(12)計(jì)算得到。

則作用在滑塊上的法向力fn可以表示為

fn=FNn

(28)

作用在滑塊上的摩擦力ft同樣可由式(13)給出。

如圖6所示，將作用在接觸面上的碰撞力等效到質(zhì)心上，則作用在滑塊i質(zhì)心上的力和力矩分別為

圖6　接觸點(diǎn)力矢量Fig.6 Force vectors that act at the point of contact

fi=fn+ft

(29)

(30)

作用在導(dǎo)槽體j質(zhì)心上的力和力矩分別為

fj=-fi

(31)

(32)

2含間隙的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

采用拉格朗日方法，建立存在間隙的含約束的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(33)

(34)

式中，α、β為穩(wěn)定性系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)表明，α、β的取值范圍在1～50之間。

3算例分析

本文以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，分析混合間隙對機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。該曲柄滑塊機(jī)構(gòu)由地面1，曲柄2,連桿3，滑塊4組成，如圖7所示，其相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1 。

圖7　曲柄滑塊Fig.7 Slide-crank mechanism with a translation clearance joint and a revolute clearance joint

曲柄以5 000 r/min的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)。初始情況下，曲柄和連桿都處于水平位置。本文在以下四種工況下對曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析：① 理想連接；② 連桿與曲柄連接處存在旋轉(zhuǎn)間隙，間隙大小為0.2 mm；③ 滑塊與地面間存在滑移間隙，間隙大小為0.2 mm；④ 連桿與曲柄連接處存在旋轉(zhuǎn)間隙，且滑塊與地面間存在滑移間隙，兩處間隙大小均為0.2 mm。曲柄滑塊機(jī)構(gòu)材料與運(yùn)動(dòng)副參數(shù)如表2所示。

表1　曲柄滑塊機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模擬參數(shù)

四種工況下，滑塊的速度、加速度以及曲柄力矩如圖8～圖10所示。由圖9可以發(fā)現(xiàn)，三種間隙情況下，滑塊的速度曲線和理想連接情況幾乎一致，表明間隙對速度的影響較小。由圖9可以發(fā)現(xiàn)，滑塊加速度曲線有很多毛刺，表明滑塊的加速度受間隙碰撞力的影響較大，同時(shí)也表明，間隙會(huì)使運(yùn)動(dòng)副部件之間產(chǎn)生頻繁的接觸碰撞。由圖9和圖10可以發(fā)現(xiàn)，在這三種含有間隙的工況中，混合間隙對滑塊加速度和曲柄力矩的影響最大，其次是旋轉(zhuǎn)副間隙，移動(dòng)副間隙對滑塊加速度和曲柄力矩的影響是最小，由圖還可以發(fā)現(xiàn)，混合間隙對滑塊加速度和曲柄力矩的影響并不是兩種單一間隙影響的線性疊加，因此，混合間隙對機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響是復(fù)雜的非線性關(guān)系。

圖8　滑塊速度Fig.8 Slide velocity

圖9　滑塊加速度Fig.9 Slide acceleration

圖10　曲柄力矩Fig.10 Crank moment

圖11　改變移動(dòng)副間隙尺寸滑塊加速度Fig.11 Slide acceleration of different the translation clearance

為研究多間隙情況下間隙尺寸對曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，在以下兩種情況下對該系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析：① 給定旋轉(zhuǎn)副間隙為0.2 mm，分別取移動(dòng)副間隙為0.5 mm、0.2 mm、0.1 mm、0.05 mm。② 給定移動(dòng)副間隙為0.2 mm，分別取旋轉(zhuǎn)副間隙為0.5 mm、0.2 mm、0.1 mm、0.05 mm。

圖11～圖14分別表示的是旋轉(zhuǎn)間隙固定和移動(dòng)間隙固定時(shí)滑塊的加速度曲線和曲柄力矩曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，滑塊的加速度曲線和曲柄力矩曲線毛刺較多，而且隨著旋轉(zhuǎn)副間隙或移動(dòng)副間隙的增大，毛刺峰值都有不同程度的增大。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，并不是間隙越大，滑塊加速度和驅(qū)動(dòng)力矩在每一時(shí)間點(diǎn)都越大。通過對比圖11～圖14可知，增加旋轉(zhuǎn)副間隙尺寸時(shí)滑塊加速度和曲柄力矩的變化比增加移動(dòng)副間隙尺寸時(shí)的變化更加明顯，因此，旋轉(zhuǎn)副間隙對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響比移動(dòng)副間隙更顯著。

圖12　移動(dòng)副間隙不同時(shí)曲柄力矩Fig.12 Crank torque of different translation clearance

圖13　改變旋轉(zhuǎn)副間隙尺寸滑塊加速度Fig.13 Slide acceleration of different the revolute clearance

圖14　改變旋轉(zhuǎn)副間隙尺寸曲柄力矩Fig.14 Crank torque of different the revolute clearance

4結(jié)論

本文以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對象，建立了同時(shí)含有移動(dòng)副間隙和旋轉(zhuǎn)副間隙的動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算模型，首先，分四種情況計(jì)算了滑塊速度、加速度和曲柄力矩。計(jì)算結(jié)果表明，混合間隙對滑塊速度的影響不明顯，而對滑塊加速度和曲柄力矩的影響較大，而且混合間隙對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響不是兩種單一間隙影響的線性疊加，而是復(fù)雜的非線性關(guān)系。隨后，在混合間隙情況下，研究了旋轉(zhuǎn)副間隙尺寸和移動(dòng)副間隙尺寸對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)副間隙對該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響比移動(dòng)副間隙更明顯。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Flores P,Ambrósio J. Revolute joints with clearance in multibody systems[J]. Computers & Structures, 2004,82:1359-1369.

[2] Flores P. Dynamic analysis of mechanical systems with imperfect kinematic joints[D]. Guimaraes,Portugal:University of Minho,2004.

[3] Tian Q,Zhang Y,Chen L,et al. Simulation of planar flexible multibody systems with clearance and lubricated revolute joints[J]. Nonlinear Dynamics,2010,60:489-511.

[4] 郝雪清，陳江義. 不同運(yùn)動(dòng)副材料對間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響[J]. 振動(dòng)與沖擊,2012,31(12):19-21.

HAO Xue-qing，CHEN Jiang-yi.Effects of different materials in joints on dynamic characteristics of a mechanism with clearance[J].Joural of Vibration and Shock,2010,31(12):19-21.

[5] Ravn P.A continuous analysis method for planar multibody systems with join clearance[J]. Multibody System Dynamics,1998,2:1-24.

[6] Erkaya S,Uzmay I. Experimental investigation of joint clearance effects on the dynamics of a slider-crank mechanism[J]. Multibody System Dynamics,2011,68:1147-1155.

[7] Flores P,Hamid M.Dynamic response of multibody systems with multiple clearance joints[J].Journal of Computational and Nonlinear Dynamics,2012,031003-1.

[8] Muvengei O,Kihiu J,Ikua B.Dynamic anylysis of planar multi-body systems with LuGre friction at differently located revolute clrarance Joints[J]. Multibody System Dynamics,2012,1(1):1-16.

[9] Flores P,Ambrósio J,Claro J C P,et al,Modeling of joints with translational clearances in planar multibody systems[C]//Congresso de Métodos Computacionais em Engenharia,Laboratório Nacional de Engenharia Civil,Lisboa,Portugal,2004,18.

[10] Flores P,Ambrosio J A C,Pimenta Claro J C, et al. Translational joints with clearance in rigid multi-body system[J]. Journal of Computational and Nonlinear dynamics (ASME),2008,3:011007.

[11] Lankarani H M. A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody systems[J]. J. Mech. Des,1990,112:369-376.

[12] Ambrósio J A C. Impact of rigid and flexible multibody systems:deformation description and contact models[M]. Vol. II. Netherlands:Springer,2002.

[13] Lankarani H M. Canonical equations of motion and estimation of paramrters in analysis of impact probems[D]. Tucson.University of Arizona,1988.

Dynamic analysis of multibody systems with mixed clearance

WANG Tie-cheng1, CHEN Guo-ping1, MA Fang2, SUN Dong-yang3

(1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;2. College of Automotive Engineering, Yancheng Institute of Industry Technology, Yancheng 224005, China;3. College of Aerospace Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstract:Here, the effects of mixed clearance on dynamic characteristics of a multibody system were studied. Firstly, the dynamical model of a multibody system including rotation clearance and translation clearance was established. Then, a slider-crank mechanism was used to analyze the effects of mixed clearance on the dynamic characteristics of the system. The results showed that the effects of mixed clearance on the slider velocity are not obvious, while its effects on the slider acceleration and the crank torque are much stronger than those of a single clearance be. The results laid a theoretical foundation for more accurate dynamic modeling of mechanical systems with clearance in engineering.

Key words:rotation clearance; translational clearance; multibody system; dynamic characteristics

基金項(xiàng)目：江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

收稿日期：2015-03-10修改稿收到日期：2015-04-20

通信作者陳國平 男，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生

中圖分類號(hào):O313.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.029

第一作者 王鐵成 男，博士生，1979年生

E-mail:gpchen@nuaa.edu.cn