基于強(qiáng)度包絡(luò)理論的混凝土疲勞剩余強(qiáng)度計(jì)算模型

劉芳平，周建庭

(1.重慶三峽學(xué)院　土木工程學(xué)院，重慶　404000;2.重慶交通大學(xué)　土木工程學(xué)院，重慶　400074)

基于強(qiáng)度包絡(luò)理論的混凝土疲勞剩余強(qiáng)度計(jì)算模型

劉芳平1,2，周建庭2

(1.重慶三峽學(xué)院土木工程學(xué)院，重慶404000;2.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400074)

摘要：為了研究疲勞荷載作用下混凝土剩余強(qiáng)度退化規(guī)律，基于強(qiáng)度包絡(luò)理論，推導(dǎo)了混凝土經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強(qiáng)度包絡(luò)線方程，建立了任意次數(shù)疲勞加載后的混凝土剩余強(qiáng)度計(jì)算模型，并用試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證分析。研究結(jié)果表明：模型假設(shè)的疲勞破壞判據(jù)正確，選擇的剩余強(qiáng)度包絡(luò)線合理；計(jì)算結(jié)果符合混凝土剩余強(qiáng)度退化規(guī)律并滿足邊界條件，模型能有效模擬混凝土在疲勞過程中的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律；因引入線性損傷函數(shù)，模型計(jì)算的混凝土剩余強(qiáng)度退化規(guī)律更接近線性變化，而試驗(yàn)趨向于非線性變化，應(yīng)力水平越低這種傾向性更明顯；特定疲勞次數(shù)剩余強(qiáng)度計(jì)算值接近試驗(yàn)值，平均誤差只有2%。

關(guān)鍵詞：道路工程；疲勞剩余強(qiáng)度；包絡(luò)理論；混凝土；強(qiáng)度計(jì)算模型

0引言

混凝土在使用中會承受循環(huán)荷載，在這些高頻重復(fù)荷載下可能會在低于材料屈服或極限強(qiáng)度條件下產(chǎn)生疲勞破壞，或雖未發(fā)生疲勞破壞，但終會因剩余強(qiáng)度低于初始強(qiáng)度造成安全隱患。因此，研究混凝土材料疲勞強(qiáng)度耗散十分重要。國內(nèi)外大量學(xué)者對混凝土等復(fù)合材料剩余強(qiáng)度的衰減規(guī)律提出了自己的表達(dá)式。顧怡、姚衛(wèi)星[1]提出了疲勞加載下纖維復(fù)合材料的剩余強(qiáng)度；顧怡[2]提出了復(fù)合材料拉伸剩余強(qiáng)度及其分布；Hashin Z[3]根據(jù)試驗(yàn)假定的剩余強(qiáng)度初始退化率，并做一般化處理后給出了剩余強(qiáng)度退化模型；馮培鋒等[4]根據(jù)剛度建立了剩余強(qiáng)度模型；Chou P C等人[5]做出了強(qiáng)度-壽命等效秩假設(shè)，建立了剩余強(qiáng)度模型；孟憲宏[6-7]基于連續(xù)體損傷力學(xué)理論建立混凝土抗壓疲勞剩余強(qiáng)度隨疲勞次數(shù)衰減的模型，又在Schaff[8]等人研究基礎(chǔ)上建立了混凝土剩余強(qiáng)度隨疲勞次數(shù)衰減的模型。Reifsnider[9]討論了剩余強(qiáng)度與靜強(qiáng)度的關(guān)系。以上這些模型大多形式復(fù)雜，參數(shù)較多，試驗(yàn)較少，能提供給模型確定其中參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)非常有限，研究中不宜選用。對這些模型分析發(fā)現(xiàn)表達(dá)式雖各有不同，但一般都符合剩余強(qiáng)度理論的如下邊界條件。

(1)σr(0)=σ0， 即材料強(qiáng)度初始值為未加載時(shí)的強(qiáng)度，一般σ0取材料的強(qiáng)度極限σb。

(2)σr(Nf)=σmax， 即材料達(dá)到疲勞壽命Nf破壞時(shí)，剩余強(qiáng)度等于疲勞載荷峰值。

(3)臨近破壞，強(qiáng)度突然下降，即出現(xiàn)σr(n)“突然死亡”行為，且dσr(n)/n≤0，d2σr(n)/n2<0。

基于以上分析，本文在分析混凝土疲勞剩余強(qiáng)度退化規(guī)律及邊界條件基礎(chǔ)上，從材料剩余強(qiáng)度衰減的整體過程出發(fā)，求解任意次數(shù)疲勞加載后混凝土剩余強(qiáng)度與加載次數(shù)之間的關(guān)系曲線，即通過混凝土疲勞剩余強(qiáng)度包絡(luò)線來研究混凝土疲勞剩余強(qiáng)度，并用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對建立的模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1混凝土剩余強(qiáng)度包絡(luò)線確定

1.1確定包絡(luò)線曲線形狀

文獻(xiàn)[10]研究認(rèn)為混凝土在拉、壓疲勞荷載作用下破壞時(shí)的最大總應(yīng)變與混凝土單軸加載軟化階段最大應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變相當(dāng)，如圖1所示，文獻(xiàn)[11]通過試驗(yàn)與模擬對上述研究結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。其實(shí)從能量的角度講混凝土疲勞過程與單調(diào)加載過程中的能量耗散是一樣的，從而側(cè)面也可以解釋這一現(xiàn)象。

圖1　混凝土單軸靜載與疲勞過程的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1　Stress-strain curves of concrete under uniaxial loading and fatigue process注：圖中的A點(diǎn)為初始疲勞點(diǎn)；B點(diǎn)為混凝土單軸靜載應(yīng)力-應(yīng)變曲線上疲勞破壞點(diǎn)。

從混凝土強(qiáng)度整體衰減規(guī)律看，混凝土在疲勞荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變滯回曲線如圖2所示，分析發(fā)現(xiàn)其包絡(luò)線與單軸靜載應(yīng)力-應(yīng)變模型軟化段曲線非常接近，故本文用混凝土單調(diào)靜載應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化階段最大應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變作為疲勞破壞的依據(jù)，用混凝土單軸靜載應(yīng)力-應(yīng)變模型軟化段曲線來近似表示混凝土在疲勞破壞時(shí)的剩余強(qiáng)度包絡(luò)線，如圖3所示。

圖2　混凝土循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線Fig.2　Concrete cyclic stress-strain hysteresis curve

圖3　混凝土疲勞剩余強(qiáng)度包絡(luò)線Fig.3　Envelope of concrete fatigue residual strength

1.2求解剩余強(qiáng)度包絡(luò)線方程

規(guī)范[12]得到的混凝土單軸受壓與受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的方程見式(1)～(2)：

(1)

(2)

式(1)～(2)中：ε>εc,ε>εt,αc,αt分別為混凝土單軸受壓與受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段形狀系數(shù)；fc,ft分別為混凝土單軸抗壓與抗拉強(qiáng)度；εc,εt分別為fc與ft對應(yīng)的峰值壓、拉應(yīng)變。

參照(1)～(2)方程的求解方法，并結(jié)合圖3表示的混凝土疲勞剩余強(qiáng)度包絡(luò)線，可得受壓與受拉疲勞強(qiáng)度包絡(luò)線方程見式(3)～(4)：

(3)

(4)

式中，σr,c(N) 與σr,t(N)分別為混凝土受到任意次數(shù)疲勞加載后破壞的受壓與受拉剩余強(qiáng)度；x(N) 為疲勞加載次數(shù)N有關(guān)函數(shù)；

2混凝土疲勞剩余強(qiáng)度計(jì)算模型

由式(3)～(4)求得混凝土經(jīng)過任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強(qiáng)度為：

(5)

對函數(shù)x(N)分析發(fā)現(xiàn)滿足以下邊界條件：

故本文引入滿足邊界條件(1)、(2)且與線性損傷理論一致的函數(shù)x(N)如下：

(6)

(7)

求解方程(7)得到混凝土受壓時(shí)x(Nf)為：

(8)

同理，根據(jù)受拉疲勞邊界條件與方程(4)，得到混凝土受拉疲勞時(shí)x(Nf)的方程為：

(9)

求解方程(9)可得到混凝土受拉時(shí)x(Nf)。

綜上所述，將式(6)代入式(5)可求得混凝土經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后剩余強(qiáng)度為：

(10)

式(10)即為混凝土在疲勞荷載作用下的剩余強(qiáng)度計(jì)算模型。

3模型驗(yàn)證

本文用孟憲宏[7]試驗(yàn)數(shù)據(jù)對混凝土經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強(qiáng)度式(10)進(jìn)行驗(yàn)證。孟憲宏分別做了7組混凝土強(qiáng)度為C30的抗壓與抗拉試件，其中第1組測試混凝土靜力抗壓(抗拉)強(qiáng)度；第2組與第5組10個(gè)(抗拉為12個(gè))試件測試最大應(yīng)力水平在0.75fc和0.85fc(抗拉時(shí)為0.75ft和0.85ft)時(shí)混凝土疲勞壽命；第3組與第4組12個(gè)(抗拉為15個(gè))試件測試混凝土最大應(yīng)力水平為0.75fc(抗拉為0.75ft)時(shí)，分別疲勞1×104與2×104次數(shù)(抗拉為疲勞1×104與1.5×104次)后混凝土剩余強(qiáng)度；第6組與第7組12個(gè)(抗拉為15個(gè))試件測試混凝土在最大應(yīng)力水平為0.85fc(抗拉為0.85ft)時(shí)，分別疲勞5×102與1×103次數(shù)(抗拉為疲勞103與2×103次)后混凝土的剩余強(qiáng)度。為了減少試件測量結(jié)果的離散性，增加準(zhǔn)確性，本文將每組試件試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行平均，試驗(yàn)數(shù)據(jù)平均值見表1。

表1　混凝土疲勞剩余強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果

注：①試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自孟憲宏，本文取為各組試件平均值；

②σ0,σr分別為初始強(qiáng)度與剩余強(qiáng)度。

本文式(10)計(jì)算過程中，先由式(8)計(jì)算在最大應(yīng)力水平為0.75fc=18.352 5 MPa與 0.85fc=20.799 5 MPa下的x(Nf)值分別為1.632 7，1.436 6?；炷量箟撼跏紡?qiáng)度σ0取用表1中試驗(yàn)平均值，即24.47 MPa，C30混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段形狀系數(shù)αc按規(guī)范[13]表C.2.4取值為1.36，計(jì)算的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律見圖4。

圖4　混凝土抗壓疲勞剩余強(qiáng)度退化規(guī)律Fig.4　Degeneration of concrete fatigue compressive residual strength

本文公式(10)計(jì)算過程中，由式(9)計(jì)算得到在最大應(yīng)力水平0.75ft=2.019 MPa與0.85ft=2.288 2 MPa下的x(Nf)值分別為1.274 8，1.220 8?；炷量估跏紡?qiáng)度σ0取用表1中試驗(yàn)平均值，即2.692 MPa。C30混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段形狀系數(shù)αt參照規(guī)范[12]表C.2.3取值為2.81，計(jì)算得到剩余強(qiáng)度退化規(guī)律見圖5。

圖4、圖5看出，當(dāng)循環(huán)次數(shù)為0時(shí)，混凝土強(qiáng)度都等于初始強(qiáng)度，即圖4中的24.47 MPa，圖5中的2.692 MPa；當(dāng)循環(huán)次數(shù)達(dá)到疲勞壽命時(shí)，剩余強(qiáng)度衰減到疲勞荷載上限對應(yīng)的應(yīng)力，即圖4(a)中的20.799 5 MPa，圖4(b)中的18.352 5 MPa，圖5(a)中的2.019 MPa，圖5(b)中的2.282 2 MPa。計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)吻合，且都滿足邊界條件。從混凝土強(qiáng)度衰減的過程來看，符合混凝土剩余強(qiáng)度衰減一般規(guī)律，臨近破壞，dσr(n)/n≤0，d2σr(n)/n2<0。

圖5　混凝土抗拉疲勞剩余強(qiáng)度退化規(guī)律Fig.5　Degeneration of concrete fatigue tensile residual strength

本文計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)區(qū)別在于，計(jì)算退化規(guī)律更接近線性變化，而試驗(yàn)趨近于非線性，原因主要是本文引入的是滿足邊界條件且與線性損傷理論一致的函數(shù)x(N)，見式(6)，在實(shí)際中混凝土的疲勞損傷并非為完全線性損傷。文獻(xiàn)[8]選用剩余強(qiáng)度衰減模型為：σr(n)=σr(0)-[σr(0)-σmax](n/Nf)ν， 只測試了特定疲勞次數(shù)下的剩余強(qiáng)度，如混凝土疲勞抗壓強(qiáng)度中測試的為疲勞1×104與2×104次數(shù)后混凝土的剩余強(qiáng)度(0.75fc)與疲勞5×102與1×103次數(shù)后混凝土的剩余強(qiáng)度(0.85fc)，通過其確定公式中與應(yīng)力水平有關(guān)的參數(shù)υ，再通過曲線擬合的方式得到混凝土強(qiáng)度衰減的規(guī)律，本身結(jié)果與真實(shí)強(qiáng)度退化規(guī)律有一定的差異。

本文將文獻(xiàn)[7]試驗(yàn)中測得的特定疲勞次數(shù)剩余強(qiáng)度值和本文模型計(jì)算值進(jìn)行了比較，如表2所示。從表2中數(shù)據(jù)看出，計(jì)算值與試驗(yàn)值(各組構(gòu)件平均值)比較接近，平均誤差只有2%左右。

表2　疲勞剩余強(qiáng)度計(jì)算值與試驗(yàn)值對比表

注：試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自孟憲宏，本文取為各組試件平均值。

4結(jié)論

(1) 基于剩余強(qiáng)度理論的邊界條件及強(qiáng)度包絡(luò)理論，推導(dǎo)了混凝土經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強(qiáng)度包絡(luò)線方程，建立了任意次數(shù)疲勞加載后的混凝土剩余強(qiáng)度計(jì)算模型。對于由混凝土構(gòu)成的受壓、受拉與受彎等各種構(gòu)件的疲勞損傷、疲勞剛度與強(qiáng)度以及疲勞承載力退化等問題的進(jìn)一步求解，可在本文建立的剩余強(qiáng)度公式基礎(chǔ)上進(jìn)行。

(2)建立的模型計(jì)算結(jié)果符合混凝土剩余強(qiáng)度退化規(guī)律與滿足邊界條件，能有效模擬混凝土在疲勞過程中的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律。因此，本文選擇用混凝土單調(diào)靜載應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段最大應(yīng)力所對應(yīng)的應(yīng)變作為疲勞破壞判據(jù)正確，用軟化段曲線來近似表示混凝土在疲勞破壞時(shí)的剩余強(qiáng)度包絡(luò)線合理可行。

(3)計(jì)算模型得到的混凝土剩余強(qiáng)度接近線性變化，試驗(yàn)趨向于非線性變化，根本原因在于引入的函數(shù)x(N)以及試驗(yàn)數(shù)據(jù)的連續(xù)性。故以后研究中的關(guān)鍵是引入與混凝土實(shí)際損傷一致的函數(shù)x(N)，且試驗(yàn)中剩余強(qiáng)度試驗(yàn)點(diǎn)越多，得到的混凝土強(qiáng)度退化規(guī)律越貼近實(shí)際。

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Calculation Model of Concrete Fatigue Residual Strength Based on Strength Envelope Theory

LIU Fang-ping1,2，ZHOU Jian-ting1

(1. School of Civil Engineering, Chongqing Three Gorges University, Chongqing 404000, China;2. School of Civil Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China)

Abstract：In order to study the deterioration of the residual strength of concrete under fatigue loading, based on the strength envelope theory, the envelope equation of the residual strength of concrete after any cycles of fatigue loading is derived, and the calculation model of the residual strength is established, which is verified by a test. The result indicates that (1) the fatigue failure criterion of the model assumption is correct，the selected residual strength envelope is reasonable; (2) the calculation result is in line with the residual strength deterioration and meets the boundary conditions, the model can effectively simulate the deterioration of residual strength of concrete in fatigue process; (3) because of the introduced linear damage function, the model calculation result of the residual strength is close to linear change, but the test tends to nonlinear change, the lower the stress level the more apparent the tendency; (4) the calculation result of the residual strength in some certain fatigue cycle is close to the experimental values, the average error is only 2%.

Key words：road engineering；fatigue residual strength；envelope theory；concrete；strength calculation mode

收稿日期：2015-07-06

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278512)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1401024)；重慶三峽學(xué)院校級青年項(xiàng)目(15QN14)

作者簡介：劉芳平(1981-)，男，甘肅隴西人，博士研究生.(LFP05270214@163.com)

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.06.002

中圖分類號：U441.4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1002-0268(2016)06-0009-06