設(shè)而不求巧解題

□朱元生

設(shè)而不求巧解題

□朱元生

有一些需要列方程（組）解決的應(yīng)用題若按常規(guī)方法設(shè)直接未知數(shù)，則不易理清數(shù)量之間的關(guān)系，難以列出方程.那該如何解決呢？我們可以根據(jù)具體問題，設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)而不求，可使問題化難為易.

例1甲、乙、丙3位同學(xué)共解100道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的60道，將其中只有1人能解出的題叫難題，2人能解出的題叫中等題，3人都能解出的題叫容易題，試求難題比容易題多幾道？

分析：本題若直接設(shè)“難題比容易題多x道”，難以理順數(shù)量間的關(guān)系，列方程求解比較困難，而設(shè)間接未知數(shù)即設(shè)3種題的道數(shù)，可使問題迎刃而解.

解：設(shè)有難題x道，中等題y道，容易題z道.

根據(jù)題意，

題中只要求求出難題比容易題多幾道，所以我們無需將3個(gè)未知數(shù)均解出來，只要求出x-z的值即可.

由①×2-②，

得x-z=200-180=20.

答：難題比容易題多20道.

例2有甲、乙、丙3種商品，若購甲3件、乙2件、丙1件共需315元；若購甲1件、乙2件、丙3件共需285元，那么購甲、乙、丙3種商品各一件，共需多少元？

分析：由于已知購3種商品的數(shù)量和所需錢數(shù)，若直接設(shè)“購甲、乙、丙3種商品各一件共需x元”，則難以求出甲、乙、丙3種商品的單價(jià)，而設(shè)間接未知數(shù)即設(shè)3種商品的單價(jià)，可使問題順利獲解.

解：設(shè)購甲、乙、丙3種商品各一件時(shí)，分別需x元、y元、z元，根據(jù)題意，得

題中只要求求出3種商品各一件共需多少元錢，所以我們無需將3個(gè)未知數(shù)均解出來，只要求出x+ y+z的值即可.

①+②，得4（x+y+z）=600，

所以x+y+z=150.

答：購甲、乙、丙3種商品各一件共需150元錢.

例3小明在一城市的環(huán)城公路上行走，他發(fā)現(xiàn)每隔4分鐘就有一輛公共汽車迎面相遇，每隔12分鐘就有一輛公共汽車從背后越過，假設(shè)小明與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng)，試問：汽車站每隔幾分鐘發(fā)一趟車？

分析：如果只設(shè)“汽車站每隔x分鐘發(fā)一趟車”，那么既不知道人和車的速度，也不知道相應(yīng)的距離，難以列出方程.由于小明與迎面來車相遇可視為行程問題中的相遇問題，而背后有車越過就是追及問題，故設(shè)小明和車的速度以及兩輛車之間的距離為未知數(shù)可使問題巧妙獲解.

解：設(shè)公共汽車的速度為x米/分，小明的步行速度為y米/分，同一車站發(fā)出的相鄰兩輛汽車相隔m米.

根據(jù)題意，列方程組

題中只要求求出汽車站每隔幾分鐘發(fā)一趟車，所以我們無需將三個(gè)未知數(shù)均解出來，只要求出的值即可.

由①+②×3得24x=4m，

答：汽車站每隔6分鐘發(fā)一趟車.

現(xiàn)實(shí)生活中的問題是千變?nèi)f化的，學(xué)習(xí)了方程（組）的知識(shí)，就如同掌握了一件法寶，可以解決很多以前我們無法解決的問題.同學(xué)們，今后我們可以掌握和收納的法寶還有很多，只要你努力學(xué)習(xí)，你的法寶就會(huì)越來越強(qiáng)大.