秦笑春

摘 要：通過(guò)對(duì)物理學(xué)發(fā)展歷史的分析，確立了問(wèn)題表征態(tài)的內(nèi)涵，從信息論的角度明確表征態(tài)具有確定性增加的演化特性。本文具體研究了從物理表征到數(shù)學(xué)表征的過(guò)程，明確了狀態(tài)數(shù)學(xué)化、過(guò)程數(shù)學(xué)化和約束關(guān)系數(shù)學(xué)化三種途徑能引導(dǎo)問(wèn)題表征態(tài)向著確定度增大的方向演化。通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，進(jìn)一步明確了這三種途徑對(duì)于物理問(wèn)題解決的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}表征態(tài)；確定性；約束關(guān)系；解題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）6-0064-4

1 問(wèn)題的提出背景

表征是信息在人頭腦中的呈現(xiàn)方式，是客觀事物的反映。問(wèn)題表征則是問(wèn)題所涉及的信息在人頭腦中呈現(xiàn)出的形態(tài)。1978年，McDermott和Larkin提出了物理問(wèn)題的4個(gè)表征步驟：文字表征、樸素表征、科學(xué)表征、數(shù)學(xué)表征。廖伯琴在此基礎(chǔ)上提出了力學(xué)問(wèn)題的表征體系，并用口語(yǔ)報(bào)告分析法做了研究[1]。而鄧鑄提出了表征態(tài)理論，指出表征態(tài)是一連續(xù)、非線性的變化過(guò)程，包含了6種不同層次的表征態(tài)[2]。邢紅軍結(jié)合協(xié)同論提出了自組織表征理論，它是一個(gè)連續(xù)與突變、獨(dú)立與關(guān)聯(lián)、控制與自發(fā)、協(xié)同與競(jìng)爭(zhēng)、必然與偶然相結(jié)合的非線性過(guò)程，同時(shí)又呈現(xiàn)出了7種不同的表征層次[3]。此外，還有眾多的研究者提出了自己的觀點(diǎn)。

總體上，問(wèn)題表征態(tài)具有動(dòng)態(tài)性、連續(xù)性、非線性等復(fù)雜系統(tǒng)的特征，但目前只能用一些相對(duì)的穩(wěn)態(tài)將整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程割裂成幾個(gè)不同的層次。如此一來(lái)，若能對(duì)表征態(tài)演化作更細(xì)致的表述，將給教師的教學(xué)以參考。同時(shí)，物理問(wèn)題表征態(tài)的具體內(nèi)涵有待確立。

2 問(wèn)題表征態(tài)的內(nèi)涵與演化

經(jīng)典力學(xué)在時(shí)間與空間中研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與結(jié)構(gòu)特征，它經(jīng)歷了伽利略、開(kāi)普勒、笛卡爾、惠更斯、牛頓等人的發(fā)展。在本體論承諾、數(shù)學(xué)化表征和發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)三大主題的交織下，一個(gè)具有自我修正、自我發(fā)展的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系逐漸形成了。本體論是指共享概念模型的形式化規(guī)范說(shuō)明，本質(zhì)上是對(duì)基本模型、基本概念的構(gòu)建。數(shù)學(xué)化表征是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表征物理實(shí)在、表征自然界的客觀規(guī)律，以方便脫離物理實(shí)在進(jìn)行邏輯推理，避免了生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題解決的負(fù)面影響。而發(fā)現(xiàn)型實(shí)驗(yàn)是通過(guò)操控手段來(lái)探究自然規(guī)律，能對(duì)新理論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，也能幫助研究者發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。

問(wèn)題表征態(tài)的內(nèi)涵應(yīng)該在物理學(xué)的發(fā)展過(guò)程中尋找，和物理學(xué)保持一致。物理學(xué)研究的是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此問(wèn)題表征態(tài)是圍繞“物質(zhì)運(yùn)動(dòng)”這一主題而形成的一個(gè)具有范疇性的體系。從本體論看，表征態(tài)由一些基本概念構(gòu)成，例如力學(xué)中的表征態(tài)包含質(zhì)量m、位移x、時(shí)間t，以及力F、速度v、加速度a等。從數(shù)學(xué)化表征上看，表征態(tài)也必須呈現(xiàn)物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系，如在力學(xué)中常見(jiàn)的是函數(shù)關(guān)系。因此，問(wèn)題表征態(tài)的內(nèi)涵包含了物理量和它們間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

表征態(tài)的演化是人類(lèi)對(duì)未知新事物追求認(rèn)知平衡而發(fā)生的改變，它源于人類(lèi)物理現(xiàn)象與過(guò)程的認(rèn)知需要。從信息論的角度看，問(wèn)題表征態(tài)是從不確定到確定、從不完備到完備的方向演化。表征終態(tài)與初態(tài)有很大的不同，它所包含的信息量更多、確定性程度更高，因此在態(tài)的演化過(guò)程中必然包含著“確定性信息”的引入。在物理問(wèn)題中，該“確定性信息”是物理規(guī)律、物理法則等，它存在于問(wèn)題解決者的頭腦中，蘊(yùn)藏于表征的最終狀態(tài)中，但不存在于表征的初始狀態(tài)。那么，對(duì)于“確定性信息”是如何引入到表征態(tài)并促使其朝終態(tài)演化的，表征態(tài)是如何同化與順應(yīng)物理規(guī)律、問(wèn)題信息的，這是整個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

3 物理表征的演化

文字表征、樸素表征和物理表征是解決原始問(wèn)題的關(guān)鍵步驟，而物理表征和數(shù)學(xué)表征則是解決結(jié)構(gòu)良好的習(xí)題所注重的內(nèi)容。從文字表征到物理表征的過(guò)程也是建立物理模型、明確物理量的過(guò)程，它涉及定向表征、抽象表征、圖像表征、賦值表征等多種表征層次，是原始問(wèn)題所關(guān)注的內(nèi)容之一。

從物理表征到數(shù)學(xué)表征的主要思維模式是演繹推理，該過(guò)程因此而變得有跡可循。既然表征態(tài)必然依據(jù)實(shí)際的物理過(guò)程，那么物理量間的關(guān)系建構(gòu)就是物理規(guī)律或其他約束關(guān)系的數(shù)學(xué)化表征。而由于時(shí)間與空間是物理過(guò)程的主要參量，因此狀態(tài)數(shù)學(xué)化、過(guò)程數(shù)學(xué)化以及約束數(shù)學(xué)化這三種有效的途徑能將物理實(shí)在包含的信息以數(shù)學(xué)函數(shù)的形式在表征態(tài)中表征出來(lái)。

3.1 狀態(tài)數(shù)學(xué)化

狀態(tài)數(shù)學(xué)化是在某時(shí)刻利用某物理規(guī)律建立起表征態(tài)中物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。高中物理知識(shí)體系中，最常見(jiàn)的是利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立力學(xué)量和運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的關(guān)系，此時(shí)初始表征態(tài)中定有力學(xué)信息或運(yùn)動(dòng)學(xué)信息。例如，已知某個(gè)力的大小、恰好通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)、恰好脫離軌道、恰好發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)等力學(xué)量的信息，或者如勻加速運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等運(yùn)動(dòng)學(xué)量的信息。因此，可以在狀態(tài)數(shù)學(xué)化的作用下引入牛頓定律，建立物理量間的關(guān)系f（Fx，m，xx）=0，該函數(shù)中Fx是指各種力，xx指的是各種運(yùn)動(dòng)學(xué)量，且涉及到的都是狀態(tài)量，不顯含時(shí)間t。

3.2 過(guò)程數(shù)學(xué)化

過(guò)程數(shù)學(xué)化是指在某段時(shí)間利用某物理規(guī)律，建立表征態(tài)中物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。一種途徑是從力在時(shí)間上的累積來(lái)分析，常見(jiàn)的是使用運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合牛頓定律來(lái)建立物理量間的數(shù)學(xué)關(guān)系f（Fx，m，xx，t）=0，且顯含時(shí)間t，如平拋運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)等可建立位移-時(shí)間函數(shù)、速度-時(shí)間函數(shù)；另一種途徑是從力在空間上的累積來(lái)分析，建立任意兩個(gè)狀態(tài)間物理量的數(shù)學(xué)關(guān)系f（Fx，m，xx，x）=0，且顯含位移x，常見(jiàn)的是利用能量的轉(zhuǎn)化與守恒思想，如動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律等來(lái)建立量之間的關(guān)系。

3.3 約束數(shù)學(xué)化

有時(shí)僅靠物理規(guī)律來(lái)建立函數(shù)關(guān)系并不能反映表征態(tài)所具有的全部關(guān)系，可能還存在著非物理的約束關(guān)系，如空間幾何關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等。例如，在多體問(wèn)題的數(shù)學(xué)表征中，常常存在著諸如多個(gè)物體間的位置關(guān)系等隱藏的關(guān)系，只要將約束關(guān)系用函數(shù)關(guān)系來(lái)表征即可解決。

4 實(shí)例展示

下面以幾道計(jì)算題為例，闡述這三種途徑對(duì)于物理問(wèn)題解決的意義。

例1 一個(gè)光滑半圓球固定在水平面上（如圖1），頂部有一個(gè)小物體原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，在某種擾動(dòng)下它向右滑落，求物體飛離半圓球面時(shí)其位置與圓心的連線和豎直方向的夾角。

解析 在這個(gè)題目中雖然沒(méi)有具體給出物理量，但還是能比較容易地構(gòu)建出物理表征態(tài)f（m，N，g，r，θ），下面建立物理量之間的函數(shù)關(guān)系。該問(wèn)題中小物體共有兩段物理過(guò)程，一是沿半圓球的圓周運(yùn)動(dòng)，二是飛離半圓球后的拋體運(yùn)動(dòng)。小物體在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到了重力和彈力作用，而在做拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)只受重力作用，因此該問(wèn)題的臨界狀態(tài)是球與物體間的彈力為零的狀態(tài)，即小物體飛離半圓球面時(shí)的狀態(tài)。下面就可將過(guò)程與狀態(tài)分別數(shù)學(xué)化，該題只求分離時(shí)所處位置同球心連線與豎直方向的夾角，因此只需將圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程數(shù)學(xué)化，用動(dòng)能定理建立f1（R，θ，v）=0，再將特殊點(diǎn)的狀態(tài)數(shù)學(xué)化，用牛頓第二定律建立f2（R，θ，v）=0，聯(lián)立等式可求得答案cosθ=。

例2 如圖2為一固定在豎直平面內(nèi)的軌道。直軌道AB與光滑圓軌道BC相切，圓弧軌道的圓心角為37 °，半徑r=0.25 m，C端水平，AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5。豎直墻壁CD的高H=0.2 m，緊靠墻壁在地面上固定一個(gè)和CD等高，底邊長(zhǎng)L=0.3 m的斜面。一質(zhì)量m=0.1 kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）在斜面軌道上從距離B點(diǎn)l=0.5 m處?kù)o止釋放，后從C點(diǎn)水平拋出。取g=10 m/s2，sin37 °=0.6，cos37 °=0.8，求：

（1） 小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大?。?/p>

（2） 小物塊從C點(diǎn)拋出至擊中斜面的時(shí)間；

（3） 改變小物體釋放的初始位置，求小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能的最小值。

解析 此問(wèn)題的物理表征態(tài)是f（m，N，g，H，L，l，r，θ，μ）以及位置關(guān)系圖，涉及到了9個(gè)物理量。這是一個(gè)單體多過(guò)程的問(wèn)題，涉及到了兩個(gè)過(guò)程和一個(gè)狀態(tài)以及一個(gè)約束關(guān)系，下面只需要將它們分別數(shù)學(xué)化。第一問(wèn)，由于物體狀態(tài)在C點(diǎn) ，重力與支持力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，可構(gòu)建出f1（N，m，g，vc，r）=0的關(guān)系式。根據(jù)A到C的過(guò)程，利用動(dòng)能定理，建立起f2（g，vc，l，r，θ，μ）=0的關(guān)系式，消去速度vc即可求得答案。第二問(wèn)是平拋運(yùn)動(dòng)，將其數(shù)學(xué)化可獲得f3（x，vc，t）=0和f4（y，g，t）=0，由于和一特定的斜面相碰，存在一約束方程即f5（x，y）=0，將這3個(gè)方程聯(lián)立可求得答案。第三問(wèn)根據(jù)動(dòng)能定理獲得方程f6（Ek，m，vc，y）=0，若要求最小值，則需要將vc或者y代換，根據(jù)f3、 f4、 f5函數(shù)，消去t和x即可獲得關(guān)系式f7（vc ，y）=0，再聯(lián)立f6=0，消去vc，即可求得最小動(dòng)能。

例3 如圖3所示，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出，砝碼的移動(dòng)很小，幾乎觀察不到，這就是大家熟悉的慣性演示實(shí)驗(yàn)。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。

（1）當(dāng)紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)時(shí)，求紙板所受摩擦力的大??；

（2）要使紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)，求所需拉力的大??；

（3）本實(shí)驗(yàn)中，m1=0.5 kg，m2=0.1 kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d=0.1 m，取g=10 m/s2。若砝碼移動(dòng)的距離一旦超過(guò)l=0.002 m，人眼就能感知，為確保實(shí)驗(yàn)成功，紙板所需的拉力至少多大？

解析 對(duì)于整個(gè)問(wèn)題而言，物理表征態(tài)是f（F，f，N，m1，m2，d，l，μ，g）以及一個(gè)圖像，同時(shí)該問(wèn)題涉及了紙板和砝碼兩個(gè)研究對(duì)象。第一問(wèn)可以用隔離法分析物體的受力，考察的是受力分析能力，較為容易建立關(guān)系。第二問(wèn)，砝碼發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)力學(xué)量的要求是摩擦力達(dá)到了最大靜摩擦力，依據(jù)此臨界狀態(tài)可列出f1（μ，g，a）=0的關(guān)系式，同時(shí)此狀態(tài)下具有相同的加速度，利用整體法可列出f2（F，m1，m2，μ，g，a）=0的關(guān)系式。聯(lián)立消去中間物理量a即求得答案。

對(duì)于第三問(wèn)，首先分析兩個(gè)研究對(duì)象各自的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。若砝碼在紙板對(duì)它的滑動(dòng)摩擦力下做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，掉下紙板后在桌面摩擦力作用下做減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，分析這兩段運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)t1=t2，根據(jù)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程建立f3（l，μ，g，t1，t2）=0的關(guān)系式。紙板在外力和摩擦力作用下一直做加速運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，位移為x，同樣的可建立f4（F，m1，m2，x，μ，g，t1）=0的關(guān)系式。其次，再尋找兩個(gè)研究對(duì)象間的聯(lián)系。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性和摩擦力的相互性已經(jīng)在前面兩個(gè)式子中體現(xiàn)出來(lái)了。而在空間上，由于兩物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移為d，因此還可以建立f5（l，d，x）=0的關(guān)系式。只要將這幾組等式聯(lián)列即可獲得答案。

5 結(jié)束語(yǔ)

這3個(gè)例子展示了物理表征態(tài)的構(gòu)建以及從物理表征到數(shù)學(xué)表征的演化過(guò)程，展示了狀態(tài)、過(guò)程與約束數(shù)學(xué)化能促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解決表征態(tài)的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的目的。雖然它們是力學(xué)問(wèn)題，但任何物理問(wèn)題的解決都是在某種方式下將問(wèn)題所涉及的核心規(guī)律從知識(shí)庫(kù)中引入表征態(tài)中去，進(jìn)而用數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)表征問(wèn)題的物理特征，實(shí)現(xiàn)用已有的知識(shí)同化和順應(yīng)題中信息。另外，本文給出了從物理表征到數(shù)學(xué)表征相對(duì)具體的操作步驟，當(dāng)然這三種途徑也不可能完全展示表征態(tài)演化的每一個(gè)步驟，只是在前人的基礎(chǔ)上使之更加具體而已。

參考文獻(xiàn)：

[1]廖伯琴.中學(xué)力學(xué)問(wèn)題表征體系的動(dòng)態(tài)特征[J].心理學(xué)報(bào)，2001，33（3）：51—54.

[2]鄧鑄.問(wèn)題解決的表征態(tài)理論[J].心理學(xué)探新，2003（4）：17—20.

[3]邢紅軍.自組織表征理論： 一種物理問(wèn)題解決的新理論 [J].課程·教材·教法，2009，29（4）：60—64.

（欄目編輯 鄧 磊）