高豐平

(湖北省孝昌縣第二高級(jí)中學(xué)，432900)

由一道聯(lián)考題看極坐標(biāo)的應(yīng)用

高豐平

(湖北省孝昌縣第二高級(jí)中學(xué)，432900)

本文先給出2016年3月湖北省七市(州)高三聯(lián)合考試?yán)砜频?0題：

題目已知圓心為H的圓x2+y2+2x-15=0和定點(diǎn)A(1,0),B是圓上任意一點(diǎn),線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M的軌跡記為曲線C.

(1)求C的方程;

解法1(直角坐標(biāo)法)

(2)由直線EF與直線PQ垂直,可得

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

=(1+k2)[xP·xQ-(xP+xQ)+1]

令1+k2=t,則t>1,上式成為

解法2(1)同上.

評(píng)注比較可見，相對(duì)于解法1,用極坐標(biāo)有更少的代數(shù)運(yùn)算,討論也更加簡(jiǎn)單,其可操作性也更強(qiáng).下面再舉兩例.

過點(diǎn)O作OH⊥MN,H為垂足,在直角三角形MON中,根據(jù)勾股定理，有

評(píng)注本例沒有用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程,但極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用結(jié)合在一起，體現(xiàn)了極坐標(biāo)在解題過程中的靈活性.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

(ii)求證:PF1+PF2是定值.

所以PF1+PF2=2a-ep

綜上可見，正確地使用極坐標(biāo),可以避免復(fù)雜的計(jì)算,避免復(fù)雜的分類討論.在處理焦點(diǎn)弦的問題中,應(yīng)用極坐標(biāo),會(huì)使這方面的問題變得簡(jiǎn)單,也能夠提高解題的能力,通過類似的總結(jié)和探究,同學(xué)們學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣必將大大增加.