高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知集合A={x|-1

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i(i為虛數(shù)單位)，則z=______.

3.命題“?x∈R,x2+x+1=0”的否定是______.

5.下面是一個算法的偽代碼.如果輸出的y值是20，則輸入的x值是______.

6.在區(qū)間[-1,2]內(nèi)隨機選取一個實數(shù)，則該數(shù)為正數(shù)的概率是______.

7.在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，則三棱錐P-ABC的體積為______.

8.已知tanα=2且α為銳角，則cosα=______.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果直線l將圓x2+y2-4x-2y=0平分，且不經(jīng)過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是______.

12.設(shè)函數(shù)

若關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______.

二、解答題(本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求ω的值；

(2)當(dāng)-1≤x≤1時，求函數(shù)f(x)的最值.

16.(本小題滿分14分)在三棱錐P-SBC中，A，D分別為邊SB，SC的中點，且AB=3，BC=8，CD=5.PA⊥BC.

(1)求證：平面PSB⊥平面ABCD；

(2)若平面PAD∩平面PBC=l,求證：l∥BC.

17.(本小題滿分14分)某工廠生產(chǎn)某種黑色水筆，每百支水筆的成本為30元，并且每百支水筆的加工費為m元(其中m為常數(shù)，且3≤m≤6).設(shè)該工廠黑色水筆的出廠價為x元/百支(35≤x≤40)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex成反比例，當(dāng)每百支水筆的出廠價為40元時，日銷售量為10萬支.

(1)當(dāng)每百支水筆的日售價為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求y的最大值；

(2)已知工廠日利潤達到1 000元才能保證工廠的盈利.若該工廠在出廠價規(guī)定的范圍內(nèi)，總能盈利，則每百支水筆的加工費m最多為多少元？(精確到0.1元)

(1)求證：線段AB的長是一定值；

(2)若點N是點M關(guān)于原點的對稱點，一過原點O且與直線AB平行的直線與橢圓交于P、Q兩點(如圖)，求四邊形MPNQ面積的最大值，并求出此時直線MN的斜率.

19.(本小題滿分16分)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前n項和記為An,數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，它的前n項和記為Bn.若a1=b1≠0，且存在不小于3的正整數(shù)k,m,使ak=bm.

(1)若a1=1,d=2,q=3,m=4,求Ak;

(2)若a1=1,d=2,試比較A2k與B2m的大小，并說明理由；

(3)若q=2,是否存在整數(shù)m,k,使Ak=86Bm,若存在，求出m,k的值；若不存在，說明理由.

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)x∈[1,2]時，f(x)的最小值是0，求實數(shù)a的值；

(2)試問過點P(0，2)可作多少條直線與曲線y=f(x)相切？并說明理由.

參考答案

一、填空題

1.{0，1}；2.1-i;

二、解答題

15.(1)f(x)=(a+b)·(a-b)

=a2-b2

=-cos(ωx+2φ).

16.(1)∵A,D分別為邊SB，SC的中點，且BC=8，∴AD∥BC，且AD=4.

∵AB=SA=3,CD=SD=5,

∴SA2+AD2=SD2,

∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，

∴BC⊥SB.

∵PA⊥BC,PA∩SB=A,PA、SB?平面PSB，

∴BC⊥平面PSB.

∵BC?平面ABCD，

∴平面PSB⊥平面ABCD.

(2)∵AD∥BC,AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.

∵BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l,

∴l(xiāng)∥BC.

令y′=0,得x=31+m.

①當(dāng)3≤m<4時，34≤31+m<35,

∴當(dāng)35≤x≤40時，y′≤0.

∴當(dāng)x=35時，y取最大值，最大值為1 000(5-m)e5.

②當(dāng)4≤m≤6時，35≤31+m≤37,函數(shù)y在[35,31+m]上單調(diào)遞增，在[31+m,40]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=31+m時，y取最大值1 000e9-m.

∴當(dāng)3≤m<4，x=35時，日利潤最大值為1 000(5-m)e5元，

當(dāng)4≤m≤6，x=31+m時，日利潤最大值為1 000e9-m元.

則h(x)在[35,40]上單調(diào)增，則

∴每百支水筆的加工費m最多約為4.9元，

答：每百支水筆的加工費m最多約為4.9元.

∴AB=3為定值.

(2)設(shè)P(x1,y1),∵AB∥PQ,

點M到直線PQ：2y0x+x0y=0的距離

∴S四邊形MPNQ=2S?MPQ

令t=3y20+1,t≥1,則

19.(1)ak=b4=33=27,即

2k-1=27,k=14,A14=196.

(2)依題意，A2k=4k2,且

qm-1=2k-1,顯然q>1.

所以當(dāng)x>1時，f(x)>f(1)>0,即B2m-A2k>0，所以A2k

(3)依題意，ak=bm=a1·2m-1.

由Ak=86Bm,得

因為29=512,故m-1≤9,且516=4×129=4×3×43,且2m-1+1為奇數(shù)，

故m-1=7,m=8且k=340.

當(dāng)a≤0時，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);

②a≥1，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(1)=1≠0，無解；

(3)當(dāng)a≤0時，有1條切線；當(dāng)a>0時，有2條切線.

設(shè)切點坐標(biāo)是(x0,f(x0)),依題意，

故函數(shù)F(x)在(0,+∞)上零點個數(shù)，即是曲線切線的條數(shù).

故F(x)在(1,+e)上有且只有一個零點，

即當(dāng)a<0時，F(xiàn)(x)在(0,+∞)上恰有一個零點.

故F(x)在(0,+∞)上至多有兩個零點，且F(1)=2-2-a=-a<0.

又函數(shù)y=lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增，且值域是(0,+∞),

-2-a

若a∈[2,+∞)，構(gòu)建函數(shù)

φ(x)在[2,+∞)為增函數(shù)，

=a2+2a+3+(a2+2a+5)

>a2+2a+3,

∴當(dāng)a>0時，F(xiàn)(x)在(0,+∞)上有兩個零點.

綜上，a≤0時，有1條切線；a>0時，有2條切線.