譚寶軍

遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院

復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的終結(jié)狀態(tài)

譚寶軍

遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院

文章在初等函數(shù)范圍內(nèi)考查了分解“復(fù)合函數(shù)”的問題。明確提出“復(fù)合函數(shù)”復(fù)合過程的“終結(jié)狀態(tài)”概念，給出了確定“終結(jié)狀態(tài)”的兩條依據(jù)，提出了終結(jié)狀態(tài)的標(biāo)志，并進(jìn)行了一定的討論。

復(fù)合函數(shù)；復(fù)合過程；終結(jié)狀態(tài)

1.問題

復(fù)合函數(shù)并不是一類新的函數(shù)，只是指明了某些函數(shù)在給出它們的定義時所用方法方面的一些特征而已[2]，其意義在于提供了一種構(gòu)造、分析函數(shù)的方法。如：由已知函數(shù)y=ex,y=sinx可構(gòu)造出函數(shù)y=esinx；相反可以將函數(shù)y=esinx視為由y=eu,u=sinx復(fù)合構(gòu)成。初等函數(shù)要求有限次復(fù)合，分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程就存在一個結(jié)束的問題。出現(xiàn)什么情況視為分解過程的結(jié)束，這是一個重要的過程性要素，是必須解決的問題。本文把標(biāo)志分解過程結(jié)束的情況稱為復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的終結(jié)狀態(tài)，以下簡稱終結(jié)狀態(tài)。討論終結(jié)狀態(tài)除了我們必須給出這種過程性要素外，也是構(gòu)造、分析函數(shù)的方法所要求的。

終結(jié)狀態(tài)在一般的書籍都沒有提及，筆者只考查到一類比較明確的提法。如：“分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，即把一個復(fù)合函數(shù)拆成幾個簡單的函數(shù)?！边@種提法比較含糊，會造成錯誤理解，如果把這種提法理解為分到單一的基本初等函數(shù)，將會產(chǎn)生太多的反例，如y=ex+sinx是由y=eu,u=x+sinx復(fù)合而成的。這里的u=x+sinx是冪函數(shù)y=x和正弦函數(shù)y=sinx通過相加而構(gòu)成的初等函數(shù)，而非基本初等函數(shù)。又如果把這種提法理解為分到出現(xiàn)基本初等函數(shù)的四則運算，也存在著反例，如y=ln(sinx+x2+1)是由y=lnu,u=sinx+x2+1復(fù)合而成的，結(jié)果中的函數(shù)x2+1非基本初等函數(shù)?？梢娺@種提法是不夠科學(xué)的，不但會因為理解的不同造成結(jié)果的差異，從根本上講也沒有回答出“終結(jié)狀態(tài)”[3]。

“終結(jié)狀態(tài)”不但是復(fù)合過程的要素，而且要滿足方便分析函數(shù)性質(zhì)的需要，因此確定終結(jié)狀態(tài)要遵守關(guān)鍵性的兩個原則：第一，科學(xué)性原則，要在理論上能夠科學(xué)地標(biāo)志復(fù)合過程的結(jié)束；第二，實踐性原則，要能體現(xiàn)出方便分析函數(shù)性質(zhì)的要求。

2.結(jié)論

“分到出現(xiàn)單一的基本初等函數(shù)或函數(shù)間的四則運算為止”，用單一的基本初等函數(shù)或函數(shù)間的四則運算作為終結(jié)狀態(tài)。如函數(shù)y=ecos[x+sin(x+1)]是由y=eu,u=cosv，v=x+sin(x+1)復(fù)合而成，上述各函數(shù)均為基本初等函數(shù)或函數(shù)間的四則運算，則視其為函數(shù)y=ecos[x+sin(x+1)]復(fù)合過程的終結(jié)狀態(tài)。雖然結(jié)果v=x+sin(x+1)中仍然含有復(fù)合函數(shù)，但它是另外一個函數(shù)y=sin(x+1)的復(fù)合過程。

3.討論

3.1.科學(xué)性

在分解過程中出現(xiàn)了單一的基本初等函數(shù)是顯而易見的復(fù)合過程的結(jié)束，因此問題的關(guān)鍵是“函數(shù)間的四則運算”。作為高等數(shù)學(xué)基本研究對象的初等函數(shù)，是由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合而得到的函數(shù)。可見在初等函數(shù)范圍內(nèi)利用已知函數(shù)構(gòu)造函數(shù)的基本方法有兩種，一為“四則運算”法，如y=ex+sinx是由已知函數(shù)u=ex和v=sinx通過相加構(gòu)成的；二為“復(fù)合”法，如y=esinx是由已知函數(shù)y=eu，u=sinx復(fù)合構(gòu)成的。兩種方法在構(gòu)造函數(shù)方面呈雙元狀態(tài)，既相互獨立又有一定的關(guān)系。獨立是指可單獨使用，關(guān)系是指可綜合使用兩種方法。更多的初等函數(shù)是交叉使用“復(fù)合”和“四則運算”兩種方法構(gòu)成的。因此在分析函數(shù)的復(fù)合過程中出現(xiàn)了函數(shù)間的四則運算應(yīng)視為復(fù)合過程的結(jié)束，復(fù)合的鏈條就此中斷，接續(xù)的是四則運算構(gòu)成過程。如y=e(x+1)3+sin(x2+1)由y=eu，u=(x+1)3+sin(x2+1)復(fù)合而成，u=(x+1)3+sin(x2+1)由v=(x+1)3和w=sin(x2+1)相加構(gòu)成。需要說明的是終結(jié)狀態(tài)并未表明不存在復(fù)合過程，只不過所存在的復(fù)合過程已不是原函數(shù)的復(fù)合過程，而是一個新的函數(shù)的復(fù)合過程。如上例u=(x+1)3+sin(x2+1)仍存在復(fù)合過程，其中的w=sin(x2+1)是由w=sint，t=x2+1復(fù)合而成。然而這個過程是相對于函數(shù)w=sin(x2+1)而言的，是函數(shù)w=sin(x2+1)的構(gòu)造過程(以下稱一級過程)。相對于復(fù)合和四則運算兩種方法而言，函數(shù)w=sin(x2+1)是作為一個獨立的函數(shù)參與函數(shù)y=e(x+1)3+sin(x2+1)的構(gòu)造過程的(以下稱二級過程)?！耙患夁^程”和“二級過程”是兩個不同層次的構(gòu)造過程，從級別上講“一級過程”是較“二級過程”低一級的?！耙患夁^程”的構(gòu)造情況如何，對構(gòu)造函數(shù)y=e(x+1)3+sin(x2+1)的“二級過程”沒有影響，如y=ex+sinx和y=e(x+1)3+sin(x2+1)在構(gòu)造過程方面是等同的，相同地使用了一次相加(w+v)和相同函數(shù)關(guān)系的一次復(fù)合(y=eu)。因此用出現(xiàn)函數(shù)間的四則運算作為終結(jié)狀態(tài)情況之一是科學(xué)的。

3.2.實踐性

事實上討論函數(shù)的性質(zhì)時，四則運算性質(zhì)比較容易確定，而復(fù)合運算性質(zhì)就不容易確定。如∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。∫f[g(x)]dx就沒有一般的結(jié)論。所以用出現(xiàn)“四則運算”作為終結(jié)狀態(tài)情況之一是符合實際的。

3.3.一種特殊情況

有些函數(shù)既可視為用復(fù)合法構(gòu)成又可視為用四則運算法構(gòu)成。如y=(x+1)2=x2+2x+1既可解釋為由y=u2，u=x+1復(fù)合而成，又可解釋為由u=x2，v=2x，w=1三個函數(shù)相加而成。這種函數(shù)，在分析函數(shù)構(gòu)成時應(yīng)視為是用四則運算法構(gòu)成的，上面的兩點討論說明了這種觀點的科學(xué)性和實踐性。因此分解復(fù)合函數(shù)分到這種情況時應(yīng)視為終結(jié)狀態(tài)，沒有必要再通過變形而繼續(xù)分解。如求函數(shù)y=earctg(x2+1)+sin(x2+1)對自變量導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)將y=earctg(x2+1)+sin(x2+1)視為由y=eu，u=arctg(x2+1)+sin(x2+1)復(fù)合而成，而不視為由y=eu，u=arctgv+sinv，v=x2+1復(fù)合而成，因為在求時，可以使用四則運算法則=求得，而使用復(fù)合函數(shù)法則就沒有實際意義。因此后一種分法就顯得不具有決定性的方法上的意義。

[1]高等數(shù)學(xué)[M].四川大學(xué)出版社,2002.

[2]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社, 2001.1.

[3]何冬梅楊智明.關(guān)于“復(fù)合函數(shù)的分解準(zhǔn)則”[J].《科技信息》2011年20期.

譚寶軍（1960-），男，遼寧省遼陽人，遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處工作，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)和教學(xué)管理工作。