鄭美茹，黑　棣

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，陜西 714000)

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不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為

鄭美茹，黑棣

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，陜西 714000)

摘要：考慮了轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)，研究了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為。首先，基于動(dòng)力學(xué)理論建立了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子的模型；接著，針對(duì)傳統(tǒng)Newmark法的缺陷，提出了改進(jìn)的措施，形成了一種有效的求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的方法；最后，利用改進(jìn)的Newmark法分析了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，計(jì)算結(jié)果展示了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：陀螺效應(yīng)；不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子；Newmark法；非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性關(guān)系著整個(gè)機(jī)械的安全性，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性展開(kāi)了研究。鄭赟[1]基于有限元建立了離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，由分析結(jié)果可以看出支承剛度和間距對(duì)臨界轉(zhuǎn)速有較大的影響。何聰[2]研究了滾動(dòng)軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，基于Runge-Kutta法，分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，從計(jì)算結(jié)果可看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為非常豐富。文獻(xiàn)[3]基于Sommerfeld數(shù)分析了滑動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，進(jìn)而可以判斷出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[4]分析了大型汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)油膜失穩(wěn)的原因，并且利用有限元建立了大型汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，這為油膜失穩(wěn)故障的處理提出了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)保辛數(shù)值法求解了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)，計(jì)算結(jié)果揭示了該方法的有效性。文獻(xiàn)[6]針對(duì)傳統(tǒng)Wilson-θ法的缺陷，提出了改進(jìn)措施，并形成了一種有效的計(jì)算方法。

借鑒文獻(xiàn)[6]的改進(jìn)措施，將Newmark法進(jìn)一步改進(jìn)，并且結(jié)合了預(yù)估-校正機(jī)理。本文以不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子為算例，在模型中考慮了轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)，運(yùn)用本文中提出的方法對(duì)轉(zhuǎn)子的不平衡周期響應(yīng)及其穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析。

1轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1所示的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)為：

(1)

式中M—質(zhì)量矩陣，G—陀螺矩陣，F(xiàn)—非線(xiàn)性油膜力，W—轉(zhuǎn)子的重量，Q—外激勵(lì)力，它們分別為：

圖1　轉(zhuǎn)子示意圖

x=[xayaxbyb]′,

W=[0mg00]′,

式中，m—轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，Jox—x方向的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Joy—y方向的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Joz—極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，lb—質(zhì)心距右端軸承的距離，la—質(zhì)心距左端軸承的距離，l—兩軸承間的距離，ω—轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，F(xiàn)xa—軸承a處x方向的非線(xiàn)性油膜力，F(xiàn)xb—軸承b處x方向的非線(xiàn)性油膜力，F(xiàn)ya—軸承a處y方向的非線(xiàn)性油膜力，F(xiàn)yb—軸承b處y方向的非線(xiàn)性油膜力，ex—圓盤(pán)x方向的質(zhì)量偏心，ey—圓盤(pán)y方向的質(zhì)量偏心，xa(xb)—轉(zhuǎn)子a (b)端x方向位移，ya(yb)—轉(zhuǎn)子a (b)端y方向位移。

2考慮預(yù)估-校正機(jī)理的Newmark法

(2)

(3)

(4)

式中δ≥0.5，α≥0.25(0.5+δ)2，通常取δ=0.5，α=0.25.

在t+Δt時(shí)刻，式(1)可寫(xiě)為：

(5)

將式(2)～式(4)帶入式(5)，經(jīng)整理可得關(guān)于xt+△t的方程：

(6)

(7)

在求解方程組(6)之前，先利用下式對(duì)下一時(shí)刻的位移、速度和加速度進(jìn)行預(yù)估：

(8)

將式(8)得到的位移、速度和加速度下一時(shí)刻的迭代初值。其中β決定著方法的穩(wěn)定性，當(dāng)β≤0.1時(shí)算法是穩(wěn)定的，通常取β=0.1.

3數(shù)值算例及結(jié)果

運(yùn)用本文算法對(duì)圖1所示的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進(jìn)行分析。轉(zhuǎn)子的參數(shù)如圖1所示(單位均為m)，密度ρ=7 800kg/m3.軸承為360°圓軸承，軸承寬度B=0.16m，長(zhǎng)徑比B/d=1，間隙比ψ=0.003，軸承半徑間隙c=0.000 24m，潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度μ=0.018 02Pa·s.轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心距ex= 0，ey=2.4μm.在以下計(jì)算中位移和時(shí)間均采用無(wú)量綱量 ( X、Y、τ).

本文分析了轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速?gòu)?00r/min到2 500r/min時(shí)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的變化。圖2給出了ω=900r/min時(shí)轉(zhuǎn)子a端軌跡、時(shí)間歷程和頻譜圖。由圖2(c)可以看出周期運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的頻譜圖只有一條譜線(xiàn)。由圖2可以看出，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)。圖3給出了ω=900r/min時(shí)轉(zhuǎn)子b端軌跡、時(shí)間歷程、頻譜圖和轉(zhuǎn)子a、b端軌跡的比較。由圖3(d)可以看出，由于剛性轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱(chēng)，導(dǎo)致a、b處滑動(dòng)軸承油膜受力不一樣，進(jìn)而使得轉(zhuǎn)子a、b端軌跡不同。

圖2　ω=900 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子a端的軌跡、時(shí)間歷程和頻譜圖

圖3　ω=900 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子b端的軌跡、時(shí)間歷程、頻譜圖和轉(zhuǎn)子a、b端軌跡比較

當(dāng)轉(zhuǎn)速在800r/min～1 000r/min范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)1 000r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子將失去穩(wěn)定性。圖4給出了當(dāng)轉(zhuǎn)速為1 100r/min時(shí)轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為，圖4(a)給出了轉(zhuǎn)子a端的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4(b)給出了Poincaré映射點(diǎn)列在X-Y平面的投影，由圖4(b)可以看出準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré點(diǎn)列在X-Y平面上是一個(gè)近似于圓的封閉曲線(xiàn)。圖4(c)給出了轉(zhuǎn)子a端y方向的時(shí)間歷程。圖4(d)給出了轉(zhuǎn)子a端y方向的頻譜圖，而且頻譜圖上有兩條譜線(xiàn)，這兩條譜線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的頻率的比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)。故圖4可以判斷出轉(zhuǎn)子此時(shí)處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

圖4　ω=1 100 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子a端中心的軌跡、Poincaré映射、時(shí)間歷程和頻譜圖

當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在1 000r/min～1 400r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)1 400r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將發(fā)生倒分岔，即轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)將再次變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。圖5給出了ω=1 600r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子a、b端軌跡的對(duì)比圖和頻譜圖。由圖5(a)可以看出，由于轉(zhuǎn)子的不對(duì)稱(chēng)性而使得轉(zhuǎn)子a、b端軌跡不同，由圖5(b)可以看出，轉(zhuǎn)子a端軌跡的幅值小于轉(zhuǎn)子b端軌跡的幅值。圖6給出了轉(zhuǎn)子a、b端y方向的分岔圖。從圖6可以看出，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)速逐漸升高的過(guò)程中，油膜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也是在變化的，當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí)，油膜做同步渦動(dòng)，故轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)也是處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著轉(zhuǎn)速的升高，油膜出現(xiàn)了振蕩，進(jìn)而會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的不穩(wěn)定(即本文中轉(zhuǎn)子處于準(zhǔn)周期狀態(tài))。隨著轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步升高，油膜再次做同步渦動(dòng)，轉(zhuǎn)子也隨即再次變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)。

4結(jié)論

引入轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)，建立了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，以轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為參數(shù)，采用改進(jìn)的Newmark法分析了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為。數(shù)值結(jié)果揭示了不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有周期、準(zhǔn)周期的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，同時(shí)也

圖5　ω=1 600 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)子a、b端中心的軌跡和頻譜圖

圖6　轉(zhuǎn)子a、b處y方向位移隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

可以看出，由于轉(zhuǎn)子的不對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)致了軸承a、b處轉(zhuǎn)子軌跡的不同。同時(shí)也驗(yàn)證了該方法的有效性和正確性。這將為不對(duì)稱(chēng)剛性轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)和故障診斷提供了一定的理論依據(jù)。

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NonlinearDynamicBehaviorsofUnsymmetricalRigidRotor-BearingSystem

ZHENGMei-ru，HEIDi

(DepartmentofMechanicalandElectricalEngineering，ShaanxiRailwayInstitute，Shaanxi714000，China)

Abstract：Considering the gyroscopic effect of the rotor，the nonlinear dynamic behaviors of the unsymmetrical rigid rotor system is analyzed.Firstly，the model of the nonlinear unsymmetrical rigid system is established based on the dynamics theory.Secondly，according to the shortcoming of the traditional Newmark method，the improved measure is presented，and an effect method is formed for solving the nonlinear dynamic responses of the rotor system.Finally，the nonlinear dynamic behaviors of the unsymmetrical rigid rotor system are analyzed by the improved Newmark method.Computing results reveal the rich dynamic phenomenon of the unsymmetrical rigid rotor system.

Key words：gyroscopic effect，unsymmetrical rigid rotor，newmark method，nonlinear dynamics

收稿日期：2015-09-25

基金項(xiàng)目：陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院常規(guī)項(xiàng)目(2013-16、2013-19)

作者簡(jiǎn)介：鄭美茹(1983-)，女，工學(xué)碩士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)性能分析測(cè)試與控制。

文章編號(hào)：1673-2057(2016)04-0291-06

中圖分類(lèi)號(hào)：TH113.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-2057.2016.04.009