包立平，王　攀

(杭州電子科技大學(xué)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中易逝品廣告投入的奇攝動(dòng)解

包立平，王攀

(杭州電子科技大學(xué)大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，價(jià)格服從隨機(jī)微分方程的情況下，研究了易逝品的最優(yōu)訂貨量與廣告投入，應(yīng)用Feynman-Kac公式得到最優(yōu)訂貨量與廣告投入的微分方程，采用奇攝動(dòng)漸近展開的方法得到了上述微分方程的形式漸近解，并得到形式漸近解的一致有效估計(jì).

關(guān)鍵詞：完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)；易逝品；訂貨量；廣告投入；奇攝動(dòng)

0引言

在非完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，不確定環(huán)境下零售商的最優(yōu)訂貨量和廣告投入問題已得到廣泛的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]在易逝品最優(yōu)定價(jià)、訂貨量和廣告投入的聯(lián)合確定中建立了關(guān)于價(jià)格、訂貨量和廣告投入的數(shù)學(xué)模型，并以廣告投入和價(jià)格為決策變量，求出了最優(yōu)廣告投入和價(jià)格.文獻(xiàn)[2]在單周期庫(kù)存模型中加入廣告投入這一因素，假定需求是廣告的增凹函數(shù)，研究了最優(yōu)廣告投入和訂貨量.文獻(xiàn)[3]在Newsboy問題中考慮廣告對(duì)需求的影響，建立了廣告投入策略與訂貨量策略聯(lián)合確定的隨機(jī)模型，證明了不確定環(huán)境下的最優(yōu)廣告投入應(yīng)小于確定環(huán)境下的最優(yōu)廣告投入.文獻(xiàn)[4]應(yīng)用微分對(duì)策理論構(gòu)建了動(dòng)態(tài)廣告模型，并用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和最優(yōu)控制理論研究了制造商和零售商的合作廣告策略問題.但上述研究均考慮非完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中訂貨量和廣告投入的確定，僅建立了關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)[5]根據(jù)廣告投入和銷售量的關(guān)系建立了數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了一種廣告投入策略并對(duì)模型進(jìn)行求解，但對(duì)此模型的研究?jī)H能為短時(shí)期內(nèi)廣告投入對(duì)銷售的影響提供依據(jù).本文主要研究的是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中單個(gè)零售商的決策問題.首先，建立關(guān)于訂貨量和廣告投入的模型，應(yīng)用Feynman-Kac公式得到了關(guān)于平均最優(yōu)訂貨量和廣告投入的數(shù)學(xué)表達(dá)式；然后，采用奇攝動(dòng)漸近展開的方法得到了其形式漸近展開式；最后，應(yīng)用De Giorgi 迭代技術(shù)證明了形式漸近展開式的一致有效性.

1模型建立

設(shè)易逝品的價(jià)格P(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程：

(1)

其中，r為期望回報(bào)率，σ為風(fēng)險(xiǎn)因子，ω為標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng)，ε>0為小參數(shù).

假設(shè)有如下條件：

1)隨機(jī)需求下市場(chǎng)需求函數(shù)采用混合函數(shù)D(P,A)=d1(P)+d2(A).其中，d1(P)為非增函數(shù)，d2(A)為非減函數(shù)，A為廣告投入；

首先求最優(yōu)廣告投入和訂貨量.令Π(Q,P,A)是價(jià)格為P，廣告投入為A和訂貨量為Q時(shí)的利潤(rùn)，那么有：

(2)

其中，C為單位成本，S為單位缺貨成本，R為易逝品期末的殘值.

(3)

下面討論平均最優(yōu)廣告投入與訂貨量.

設(shè)u(P,t)=EP,tA(P(T))，則由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(4)

設(shè)v(P,t)=EP,tQ(P(T))，則由式(1)及Feynman-Kac公式得：

(5)

對(duì)式(4)作對(duì)數(shù)變換，即令x=lnP，則式(4)變?yōu)?/p>

(6)

同理，式(5)變?yōu)?/p>

(7)

2形式漸近展開

對(duì)u(x,t)作如下的形式漸近展開：

u(x,t)=u0(x,t)+εu1(x,t)+ε2u2(x,t)+…+εnun(x,t)+…,

(8)

(9)

定理1假設(shè)滿足條件1和條件2，則有

u0(x,t)=A(ex+r(t-T)),

(10)

(11)

證明由一階線性偏微分方程的解法，式(10)可從下式解得：

(12)

令y=x-rT，則u0(x,T)=Φ(y)=Φ(x-rT)=A(ex)=A(ey+rT)，故u0(x,t)=A(ey+rt)=A(ex+r(t-T)).

同理，由一階擬線性偏微分方程的解法，式(11)可從下式解得：

(13)

由一階擬線性偏微分方程的通解結(jié)構(gòu)可得式(11)中第1式.

定理1得證.

同理，若設(shè)

v(x,t)=v0(x,t)+εv1(x,t)+ε2v2(x,t)+…+εnvn(x,t)+…,

(14)

將式(14)代入式(7)，則有以下定理.

定理2假設(shè)滿足條件1和條件2，則

v0(x,t)=Q(ex+r(t-T)),

(15)

(16)

3一致有效估計(jì)

定理3當(dāng)滿足條件1和條件2時(shí)，記

(17)

證明將式(17)代入式(6)中第1式得：

(18)

在式(18)兩端同乘以ψχ[τ1,τ2]并在Ω上積分整理可得：

令I(lǐng)k=∫Ωψ2dx，則有

4算例

下面求此時(shí)的u0(x,t),v0(x,t).

5結(jié)束語(yǔ)

本文建立了完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中易逝品的廣告模型，運(yùn)用Feynman-Kac公式得到了關(guān)于易逝品的平均最優(yōu)廣告投入與平均最優(yōu)訂貨量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用奇攝動(dòng)漸近展開的方法得到了其形式漸近展開式.根據(jù)線性拋物型方程的極大值原理和奇攝動(dòng)漸近展開的余項(xiàng)估計(jì)方法，應(yīng)用DeGiorgi迭代技術(shù)得到了上述形式漸近解的一致有效性，從而得到了完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中易逝品的最優(yōu)廣告投入與訂貨量的求解方法.并通過一個(gè)算例驗(yàn)證了上述方法的可行性，這表明應(yīng)用Feynman-Kac公式建立平均最優(yōu)廣告投入與平均最優(yōu)訂貨量的模型，并使用奇攝動(dòng)漸近展開方法進(jìn)行求解是有效的，從而對(duì)于確定廣告投入與進(jìn)行銷售管理有一定的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)

[1]熊中楷,彭志強(qiáng).易逝品最優(yōu)定價(jià)、訂貨量和廣告投入的聯(lián)合確定[J].工業(yè)工程與管理,2009,14(2)：32-37.

[2]KHOUJAMJ.Optimalordering,discounting,andpricinginthesingle-periodproblem[J].InternationalJournalofProductionEconomics, 2000, 65(2): 201-216.

[3]周永務(wù),楊善林.Newsboy型商品最優(yōu)廣告費(fèi)用與訂貨策略的聯(lián)合確定[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2002,22(11)：59-63.

[4]王秀青,蔡立軍.競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的廣告策略研究[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2009,22(3)：404-408.

[5]周靜，楊繼明,尹家兵.不確定環(huán)境下影響銷售的廣告投入數(shù)學(xué)模型研究[J].湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,23(3)：51-53.

[6]包立平.高維歐式期權(quán)定價(jià)模型的奇攝動(dòng)解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011,25(2)：194-204.

Singular Perturbation Solutions of Advertising Investment for Perishable Goods in the Perfectly Competitive Market

BAO Liping, WANG Pan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：In perfectly competitive market, in the case of price subject to stochastic differential equations, the optimal order quantity and advertising investment of the perishable goods(PG) is researched, applying Feynman-Kac formula to get the optimal order quantity and advertising investment differential equations, using the singular perturbation asymptotic expansion method to get the formal asymptotic solution of differential equations, and obtain the uniformly valid estimation.

Key words：fully competitive market; perishable goods; order quantity; advertising investment; singular perturbation

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.04.016

收稿日期：2015-11-09

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175134)

作者簡(jiǎn)介：包立平(1962-)，男，浙江定海人，副教授，微分方程奇攝動(dòng)理論.

中圖分類號(hào)：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-9146(2016)04-0076-04