閆靜葉，孫建強，趙鑫

(海南大學信息科學技術學院，海南 ?？?570228)

?

BBM方程的多辛整體保能量方法

閆靜葉，孫建強，趙鑫

(海南大學信息科學技術學院，海南 ?？?570228)

摘要：基于二階平均向量場方法和擬譜方法構造BBM方程的多辛整體保能量格式.利用構造的多辛整體保能量格式數值模擬方程孤立波的演化行為.數值結果表明構造的多辛整體保能量格式可以很好地模擬BBM方程孤立波的演化行為，并且可以精確保持方程的能量守恒特性.

關鍵詞：多辛方法；整體保能量方法; BBM方程; 平均向量場方法

0引言

BBM(Benjamin，Bona，Mahoney)方程的一般形式為[1-4]

(1)

其中σ>0為色散系數.方程(1)是由Benjamin，Bona，Mahoney'等人提出用于描述非線性色散介質中長波單向傳播的模型方程.BBM方程被認為是KdV方程模型的推廣.OlverPJ等人[5-6]證明BBM方程滿足:

質量守恒律

能量守恒律

動量守恒律

其中I1,I2,I3分別代表質量，能量和動量，c1,c2,c3為常數.

近年來，許多學者們提出了一些能夠保持多辛守恒的多辛算法，如多辛Preissman格式，多辛Runge-Kutta方法，多辛Euler box 格式[1-3,7-12]，并利用多辛算法對BBM方程進行求解.然而,多辛算法中只能近似保持BBM方程的整體能量.2014年王雨順等人利用二階平均向量場方法的思想提出多辛局部保能量方法，多辛局部保動量方法，多辛整體保能量方法[13]，能夠很好地數值模擬薛定諤方程和KdV方程，并能精確地保持這些方程的能量.本文中利用二階平均向量場方法求解具有多辛結構的BBM方程.

本論文結構如下：第二節(jié)利用二階平均向量場方法和譜方法構造BBM方程的多辛整體保能量格式且格式具有整體能量守恒特性[13]，第三節(jié)對BBM方程進行數值模擬，驗證格式的可行性，最后得出相應的結論.

1BBM方程的多辛整體保能量格式

對方程(1)引入共軛變量ut-2px=w,ux=v,φx=u,則方程(1)可表示為多辛結構

(2)

其中

M和K為反對稱矩陣，S∶R5→R是一個光滑函數.方程(2)滿足多辛守恒律

(3)

現對方程(2)在空間方向用擬譜方法離散[1].設D1是如下的一階反對稱譜矩陣

方程(2)經空間擬譜離散后，可轉化為如下的方程

(4)

對格式(4)在時間方向上用二階平均向量場方法，可得到方程(2)的離散格式

(5)

格式(5)滿足多辛離散

其中

(6)

引理1方程(5)滿足離散整體能量守恒[13]εn+1=εn.

由此可得到方程(5)經過化簡后，可得到具有多辛結構的BBM方程的整體保能量格式為

(7)

BBM方程的整體保能量格式(7)可寫成矩陣和向量的形式:

(8)

下面利用格式(8)數值模擬BBM方程，分析格式的保整體能量守恒特性.

2數值模擬

2.1單孤立波的演化行為首先，我們考慮BBM方程中的單孤立波演化行為.取初值條件為:

u(x,0)=3csech2(kx+d),u(0,t)=u(20,t),

圖1表示孤立波在內的演化行為.孤立波以一定的速度向前傳播，傳播過程中波形和振幅很好地保持.圖2表示其相應的相對能量誤差變化情況，誤差很小，可忽略.圖1-2可以得到整體保能量格式不僅可以很好地數值模擬單孤立波的演化行為，精確地保持BBM方程離散的整體能量守恒.

圖1　單孤立波在t∈[0,20]的演化行為

圖2　單孤立波在t∈[0,20]的相對能量誤差

2.2雙孤立波的演化行為首先，我們考慮BBM系統中的雙孤立波演化行為.取初值條件為:

u(x,0)=3c1sech2(k1x+d1)+3c2sech2(k2x+d2),u(0,t)=u(50,t),

圖3表示雙孤立波在t∈[0,50]內的演化行為.雙孤立波以一定的速度向前傳播，傳播過程中波形和振幅能很好地保持.圖4表示雙孤立波在t∈[0,50]內的相對能量誤差變化情況，誤差同樣非常小，可忽略.圖3和圖4也可以得到整體保能量格式不僅可以很好的數值模擬雙孤立波的演化行為，也可以精確地保持BBM系統的離散能量守恒.

圖3　雙孤立波在t∈[0,50]的演化行為

圖4　雙孤立波在的t∈[0,50]的相對能量誤差

2.3三孤立波的演化行為首先，我們考慮BBM系統中三孤立波的演化行為.取初值條件為:

u(x,0)=3c1sech2(k1x+d1)+3c2sech2(k2x+d2)+3c3sech2(k3x+d3),u(0,t)=u(30,t),

圖5　三孤立波在的演化行為

圖6　三孤立波在的相對能量誤差

圖5表示三孤立波在t∈[0,30]內的演化行為.三孤立波以一定的速度共同向前傳播，傳播過程中波形和振幅能很好地保持.圖6表示三孤立波在t∈[0,30]內的相對能量誤差變化情況，誤差同樣很小，可忽略.圖5和圖6同樣可以得到整體保能量格式不僅可以很好的數值模擬三孤立波的演化行為，同時也可以精確地保持BBM系統的離散能量守恒.

3結論

利用二階平均向量場方法和譜方法構造了BBM方程多辛整體保能量守恒格式.利用多辛整體保能量守恒格式對BBM方程不同的孤立波進行數值模擬.數值結果表明BBM方程多辛整體保能量格式可以很好地模擬孤立波的演化行為，并且可以精確地保持BBM方程的離散整體能量守恒特性.在保整體能量守恒特性方面，BBM方程新構造的格式比已有的經典的多辛格式優(yōu)越.

4參考文獻

[1] Bridges T J,Rich S.Multi-symplectic spectral discretizations for the Zacharov-Kuznetsov and shallow-water equations[J].Physica D，2001，152：491-504.

[2] Sun J Q,Qin M，QIN Z.Multi-symplectic methods for the coupled 1D nonlinear Schr?dinger system[J].Computer.Physics Communications，2003，155：221-235.

[3] Kong L H,Hong J L，Zhang J J.Splitting multi-symplectic integrators for Maxwell’s equations[J].Computational.Physics，2010，29：4259 -4278.

[4] Benjamin T B,Bona J L ，Mahoney J J.Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems[J].Philosophical Transactions Royal Society London，Series A，1972，272：47-78.

[5] Olver P J.Euler operators and conservation laws of the BBM equation[J].Mathematical Proceedings，Cambridge Philosophical Society，1979，85：143-160.

[6] Hu Y Y,Wang Y S，Wang H P.A new explicit multisymplectic scheme for RLW equation[J].Mathematica numerica sinica，2009，31:349-362.

[7] Chen J B ，Qin M Z ，Tang Y F.Symplectic and multi-symplectic methods for the nonlinear Schr?dinger equation[J].Computers Mathematics，2002，43：1095-1106.

[8] Reich S.Multi-symplectic Runge-Kutta collocation methods for Hamiltonian wave equations[J].Computational Physics，2000，157：473-499.

[9] Blanes S，Moan P C.Splitting methods for the time-dependent Schr?dinger equation[J].Physics Letters A，2000，265：35-42.

[10] Frank J.Conservation of wave action under multi-symplectic discretizations[J].Physics A：Mathematical General，2006，39：5479-5493.

[11].Hong J L,Liu H Y,Sun G.The multi-symplectic of partitioned Runge-Kutta methods for Hamiltonian PDEs[J].Mathematics Computation，2006，752(53)：167-181.

[12] Wang Y S,Wang B,Chen X.Multi-symplectic Euler-box scheme for the KdV equation[J].Chinese Physics Letters，2007，24(2)：312-362.

[13]Gong Y Z,Cai J X，Wang Y S.Some new structure-preserving algorithms for general multi-symplectic formulations of Hamiltonian PDEs[J].Computational Physics，2014，279：80-102.

[14] Bridges T J,Reich S.Numerical methods for Hamiltonian PDEs[J].Physics A：Mathematical General，2006，39：5287-5320.

(責任編輯趙燕)

Global energy-reserving method for BBM equations

YAN Jingye，SUN Jianqiang,ZHAO Xin

(College of Information Science and Technology，Hainan University，Haikou 570228，China)

Abstract：The multi-symplectic global energy-preserving scheme for the BBM equations is obtained by applying the second order average vector field method and the Fourier pseudospectral method.The multi-symplectic global energy-preserving scheme is applied to simulate the evolution behaviors of the equation.Numerical results show that the global energy-preserving scheme can well simulate the solitary wave evolution behaviors of the BBM equations in long time and preserve the global energy conservation.

Key words：multi-symplectic method; global energy-preserving method; BBM equation; average vector field method

文章編號:1000-2375(2016)03-0310-05

收稿日期:2015-12-07

基金項目：國家自然科學基金(11161017,11561018)，海南省自然科學基金(114003)，海南大學基金項目(IZG8308001001)資助

作者簡介：閆靜葉(1992-)，女，碩士生；孫建強，通信作者，教授，E-mail：sunjq123@qq.com

中圖分類號:O175.28

文獻標志碼:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2016.04.009