石先城　馮郁成　陳克復(fù)

(華南理工大學(xué) 制漿造紙國家重點實驗室∥輕工與食品學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

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基于改進RLM算法的橫向控制過程的系統(tǒng)辨識*

石先城馮郁成?陳克復(fù)

(華南理工大學(xué) 制漿造紙國家重點實驗室∥輕工與食品學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

摘要:橫向控制過程測量數(shù)據(jù)的稀疏性以及模型的高維性、強耦合和不確定性使得系統(tǒng)模型難以辨識.為快速、準確地辨識系統(tǒng)模型,文中提出了一種改進的遞推Levenberg-Marquart(RLM)算法.首先闡述了橫向控制過程的二維參數(shù)化模型和辨識該模型的階躍辨識方法,然后通過修正RLM算法的目標函數(shù)來改進RLM算法,并應(yīng)用改進RLM算法實時遞推辨識系統(tǒng)參數(shù)化模型的對位、穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)和動態(tài)響應(yīng).仿真實驗與實際應(yīng)用結(jié)果顯示,該辨識方法不僅可以一致地辨識系統(tǒng)參數(shù)化模型的空間響應(yīng)與動態(tài)響應(yīng),而且具有比傳統(tǒng)RLM算法更快的收斂速度.

關(guān)鍵詞：改進RLM算法;系統(tǒng)辨識;橫向控制;造紙

在控制系統(tǒng)的設(shè)計中,系統(tǒng)辨識通常是最具挑戰(zhàn)與耗時的環(huán)節(jié).造紙過程的復(fù)雜性使得機理建模難以實現(xiàn)[1],同時往返式掃描架測量數(shù)據(jù)的稀疏性、橫向控制過程的高維性與強相互作用、造紙過程的諸多不確定性,使得由輸入輸出數(shù)據(jù)準確地辨識橫向控制系統(tǒng)變得尤其困難[2].橫向控制系統(tǒng)模型包括空間響應(yīng)和動態(tài)響應(yīng)兩部分.由于動態(tài)響應(yīng)易于辨識,因此橫向控制系統(tǒng)辨識的相關(guān)研究通常都是辨識系統(tǒng)的空間響應(yīng),包括對位與穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)[3- 5].

目前廣泛應(yīng)用于橫向控制系統(tǒng)的辨識方法是:在多個橫向控制點進行階躍辨識,然后通過類最小二乘算法遞推辨識參數(shù)化模型[3- 4,6- 7].由于待辨識模型的參數(shù)較多,二維橫向控制模型被分解為空間響應(yīng)模型與動態(tài)響應(yīng)模型,然后分別辨識對位、穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)與動態(tài)響應(yīng),并在辨識過程中通過辨識數(shù)據(jù)來提高分解后模型的精度.這種辨識方法的缺點是辨識工作的復(fù)雜度高,分別辨識分解后的子模型不利于模型參數(shù)收斂于全局最優(yōu)解.為減少辨識過程的復(fù)雜度,提升模型的辨識精度,文中提出了基于改進RLM算法的橫向控制系統(tǒng)辨識方法,并通過仿真實驗與實際結(jié)果的比較來驗證該方法的可行性與有效性.

1橫向控制系統(tǒng)模型與階躍辨識

評價紙張質(zhì)量的主要指標有定量、水分、厚度等,各指標可分為造紙機運行方向(縱向)和垂直于造紙機運行方向(橫向)兩部分,紙張質(zhì)量橫向控制的目標是使紙張橫向質(zhì)量保持均勻分布.紙張的橫向質(zhì)量是由一組或多組橫向分區(qū)執(zhí)行器控制,每組橫向分區(qū)執(zhí)行器包括30～200個執(zhí)行器,各組執(zhí)行器等間隔地分布在橫向方向[8].紙張的橫向質(zhì)量由位于造紙機末端的安裝在掃描架上往返移動的探頭測量,探頭移動一個周期可測量200～2 000個數(shù)據(jù)點.

紙張質(zhì)量的橫向控制過程如圖1所示,紙張質(zhì)量原始測量值經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理(包括濾波、縱向橫向分離與下采樣等)得到與橫向執(zhí)行器維數(shù)相同的橫向測量值,該值與目標值比較后的殘差輸入至橫向控制算法(包括橫向濾波、動態(tài)補償器與曲線平滑等),橫向控制算法的輸出為對應(yīng)橫向執(zhí)行器的設(shè)定值,最后由橫向執(zhí)行器完成控制動作從而實現(xiàn)對紙張橫向質(zhì)量的控制[9].橫向過程的復(fù)雜性使得機理建模難以實現(xiàn),通常通過輸入輸出數(shù)據(jù)辨識系統(tǒng)模型并用于系統(tǒng)的控制中.

1.1橫向控制系統(tǒng)模型

為使橫向控制問題可控,通常假設(shè)過程的空間響應(yīng)與動態(tài)響應(yīng)可以分離,動態(tài)響應(yīng)對于所有控制器都是一致的,而且如果不考慮紙邊引起的變化,則可以認為橫向控制過程是空間無關(guān)的,即每個橫向控制器的空間響應(yīng)是相同的[10- 11].因此,橫向控制過程的輸入輸出模型[8]可表示為

y(t)=Gh(z-1)u(t)+d(t)

(1)

(2)

式中:y(t)∈Rm,u(t)∈Rn,d(t)∈Rm,分別為橫向質(zhì)量的測量值、控制輸入和噪聲;G∈Rm×n,為穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng),通常為帶狀對稱對角矩陣(Toeplitz 矩陣);h(z-1)為動態(tài)響應(yīng)的一階慣性延時傳遞函數(shù);Td、Tc分別為純滯后時間和慣性延時,Td包括固定延時與傳輸延時,傳輸延時由控制器到掃描架的距離和紙機的車速共同決定,固定延時通常為設(shè)備本身的反應(yīng)時間.文獻[1]已經(jīng)證明,單個橫向控制器的空間響應(yīng)可以用一組正交的基本函數(shù)的擴展式來表示,這樣既可以減小模型識別所需的參數(shù),又可以對系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性產(chǎn)生積極的效果.穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)矩陣G中一個完整的列以gj(x)表示,即第j個橫向控制器對紙張橫向質(zhì)量的影響,文獻[7]對此給出了通用的表示:

(3)

式中,κj、αj、βj、ωj分別為增益、衰減因子、發(fā)散因子和寬度,單個橫向控制器對紙張質(zhì)量測量點兩側(cè)ωj寬度內(nèi)的紙張質(zhì)量有影響且影響的增益為κj,衰減因子表示gj兩側(cè)負旁瓣的衰減程度,發(fā)散因子表示gj中兩個波峰間的距離(如板紙機),當發(fā)散因子為0時gj只有一個波峰(如標準形式、高斯形式).gj的形狀如圖2所示.

圖2　橫向控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)

Fig.2Steady-state spatial response of cross-directional control system

對于稀釋水模型,當βj=0,αj=7時,gj兩側(cè)的負旁瓣基本消失,則只需識別gj(x)中的κj與ωj,因此,式(3)可以簡化為

(4)

由于橫向過程的數(shù)據(jù)測量點與控制點數(shù)巨大,要實現(xiàn)橫向控制,需要橫向執(zhí)行器與對應(yīng)測量點間彼此對應(yīng),稱為對位.文獻[12- 13]指出,只要對位偏差超過1/3的執(zhí)行器寬度,就會引起橫向控制質(zhì)量的嚴重下降.考慮線性對位模型:

cj=c0+(xj-0.5x*)(1-s0)

(5)

式中,cj為第j個橫向控制器的響應(yīng)中心,xj為第j個橫向控制器的位置,x*為橫向控制器組的整體寬度(通常為漿流出唇板的寬度減去兩側(cè)的切邊寬度),c0為偏移常量,s0為紙張的一致收縮率,s0=(x*-c*)/x*,x*為切邊后的橫向執(zhí)行器寬度,c*為成紙的寬度.則橫向控制過程的通用傳遞函數(shù)模型可以表示為

G(t)=Gh(t)=[g1,g2,…,gn]h(t)=

(6)

1.2階躍辨識

紙機橫向控制系統(tǒng)的階躍辨識應(yīng)在紙機穩(wěn)定后進行,尤其是紙張的縱向質(zhì)量需要盡可能地保持穩(wěn)定,否則縱向質(zhì)量的波動會對橫向控制過程的辨識造成影響.紙機橫向控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)辨識是通過在多個互不干擾的橫向控制點進行階躍實驗并將辨識模型拓展至全部橫向控制點,通常包括以下步驟[7]:

(1)對橫向控制過程的參數(shù)進行預(yù)估計,如根據(jù)紙機的車速、控制器與掃描架之間的距離估計動態(tài)響應(yīng)的時滯,根據(jù)紙張的定量、上漿濃度、稀釋水濃度預(yù)估計稀釋水響應(yīng)的增益,根據(jù)紙機車速估計稀釋水影響寬度;

(2)設(shè)置階躍辨識參數(shù),根據(jù)預(yù)估的過程參數(shù)設(shè)置階躍點的位置與幅度、階躍實驗的持續(xù)時間;

(3)同時在橫向方向進行多個階躍測試,并收集紙張質(zhì)量的測量數(shù)據(jù);

(4)根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)離線或在線地辨識對位、空間響應(yīng)和動態(tài)響應(yīng);

(5)根據(jù)實際情況對模型參數(shù)進行微量調(diào)整以使模型匹配得更好.

在橫向控制系統(tǒng)的階躍辨識中,選取執(zhí)行器的原則包括:①階躍點的個數(shù)盡可能多,以便盡可能多地辨識更多階躍點的響應(yīng)模型;②階躍點間的距離應(yīng)確保相鄰階躍點的響應(yīng)模型互不干擾,以使輸入輸出數(shù)據(jù)可辨識;③階躍點的位置與階躍方向應(yīng)有助于改善當前紙張的質(zhì)量;④總階躍量應(yīng)保持在0附近,以減少對縱向質(zhì)量的干擾.

2改進的RLM算法

橫向模型的辨識過程實際上是一個非線性優(yōu)化問題,可以通過梯度法、高速牛頓法、擬牛頓法、LM算法進行求解,LM算法因具有高斯-牛頓法與梯度下降法的優(yōu)點而受到了廣泛的關(guān)注[14].批訓(xùn)練LM算法只能在收集完所有的數(shù)據(jù)后才能開始,不適用于需要實時、在線處理數(shù)據(jù)的自適應(yīng)控制和需要實時優(yōu)化的領(lǐng)域.RLM算法可以實時地辨識系統(tǒng)模型、檢測辨識實驗的優(yōu)劣和觀測辨識結(jié)果.

定義RLM算法[15]的目標函數(shù)為

(7)

式中:e(,W)為殘差向量;W為待優(yōu)化參數(shù)向量;(0<≤1)為遺忘因子,其表示歷史數(shù)據(jù)的相關(guān)性以相應(yīng)的遺忘速度遞減.式(7)的遺忘因子之和

(8)

消除遺忘因子累加和的影響,將式(7)改寫為

(9)

對W求一階導(dǎo)數(shù),得

(10)

式中,J(t,W)=?e(t,W)/?W,為雅可比矩陣.

再對W求二階導(dǎo)數(shù),得

(11)

當W接近理想值時,?2e(t,W)/?W2≈0，整理式(11)得

(12)

(13)

(14)

基于目標函數(shù)(7),RLM算法為

(15)

當優(yōu)化問題的參數(shù)較多、輸出較少時,直接對H(t)求逆的計算量為O(d3)(d為參數(shù)維數(shù)),應(yīng)用矩陣求逆引理[15]可以將計算量減小到O(d2).但文中的橫向過程辨識問題的輸出數(shù)大于待辨識參數(shù)個數(shù),應(yīng)用矩陣求逆引理會增加計算量,故文中采用Cholesky分解來求取ΔW:

[R,RT]=chol(H(t))

(16)

(17)

式中,chol( )表示Cholesky分解,R為分解后的上三角矩陣,“”表示矩陣左除.

控制參數(shù)δ對LM算法至關(guān)重要,δ過大會使LM算法在梯度下降方向優(yōu)化而導(dǎo)致收斂速度慢,δ過小則可能導(dǎo)致Hessian矩陣不可逆而使LM算法無法繼續(xù)進行.RLM算法由于應(yīng)用了矩陣求逆引理,故只有每次迭代之后才對δ進行更新[15],文中對δ的迭代方法進行了調(diào)整.

對式(9)進行Taylor展開:

(18)

只考慮式(18)的前兩項,則性能函數(shù)V*(t,W)在t時刻的預(yù)測減少量為

(19)

性能函數(shù)在每次迭代的實際減少量為

eT(,W+ΔW)e(,W+ΔW)]=

eT(t,W+ΔW)e(t,W+ΔW)]

(20)

則改進RLM算法的控制參數(shù)δ的調(diào)整策略為

(21)

式中:δ(t)的初值選擇范圍為[10-4,10-1];δmax、δmin分別為δ的最大值、最小值;ζ的取值范圍為(0,0.5),通常取0.25;κIn、κDe的取值范圍為(1,10).

3應(yīng)用改進的RLM算法辨識橫向過程

目前廣泛采用的橫向過程辨識方法[6- 7]可獨立地迭代辨識空間響應(yīng)與時間響應(yīng)模型,但這種方法不利于系統(tǒng)模型參數(shù)的全局收斂.為此,文中采用改進的RLM算法一致地辨識橫向過程.橫向控制系統(tǒng)的參數(shù)化模型中待辨識參數(shù)為W=[Tc,Td,κ1,ω1,c1,…,κn,ωn,cn];c1,c2,…,cn的初值可以由線性模型給定,其他參數(shù)初值則根據(jù)經(jīng)驗或相關(guān)文獻給定.系統(tǒng)辨識的目標是使得模型辨識殘差保持最小:

(22)

式中，e(t,P)=[e1(t,P),…,em(t,P)]T,ei(t,P)=yi-G(i,∶)h(t)ub,G(i,∶)為矩陣G的第i個行向量,ub為階躍輸入.

以上求模型參數(shù)的問題實際上是非線性二次優(yōu)化問題,文中采用改進的RLM算法來求解橫向模型的參數(shù)辨識問題.設(shè)階躍輸入點為b1,b2,…,bk,則雅可比矩陣(?e(t,W)/?W)為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

式中,Φi, j=(i-cj)/ωj,各梯度由通用橫向過程模型(9)求出.由式(24)、(25)可知,在t≤Td時梯度為0,h(t)=0,則在這個時間范圍內(nèi)無法正常進行系統(tǒng)辨識,這里將Td初始估計值置為較小的正值,以便辨識過程能順利進行.

給定橫向過程待辨識參數(shù)的初值W0,在基礎(chǔ)掃描次數(shù)后,給定系統(tǒng)階躍輸入ub,t時刻的Wt由改進RLM算法實時優(yōu)化求解得到,再通過Wt預(yù)測系統(tǒng)下一時刻的輸出并實時觀測辨識模型與系統(tǒng)實際輸出的匹配度,最后根據(jù)辨識結(jié)果與實際需求微調(diào)系統(tǒng)模型的辨識參數(shù).

4實驗結(jié)果與分析

4.1仿真實驗

仿真實驗結(jié)果如圖3所示.在圖3(a)中,沿著掃描次數(shù)軸的不同凸出波形代表階躍輸入的對應(yīng)輸出,凸出波形的波峰為階躍輸入執(zhí)行器的對位點.波形沿掃描次數(shù)軸為執(zhí)行器的動態(tài)響應(yīng),垂直于掃描次數(shù)軸為執(zhí)行器的空間響應(yīng).從圖3(b)可知,辨識模型的初始給定值與實際值有一定的偏差,尤其是增益與對位,在前幾步的模型輸出中,未完全辨識的波形峰值與完全辨識的波形峰值明顯不在同一測量點,經(jīng)過若干步的迭代辨識后,模型輸出與實際輸出保持一致,模型的辨識結(jié)果見表1.由表中可知,改進RLM算法可以準確地辨識橫向過程的對位和穩(wěn)態(tài)橫向響應(yīng)參數(shù)κ、ω,辨識誤差均值分別為4.25%、3.08%、2.6%,辨識的動態(tài)響應(yīng)結(jié)果為Tc=28.854s、Td=38.389s,辨識誤差分別為7.99%和3.70%,遠小于可接受的20%[9],辨識效果十分理想.

表1　仿真實驗的辨識結(jié)果

圖3　仿真實驗的橫向辨識過程

Fig.3Cross-directionalidentificationprocedureofsimulations

4.2現(xiàn)場實驗

現(xiàn)場實驗數(shù)據(jù)通過在某紙機中進行階躍實驗獲得,其中的階躍量因橫向過程有較大的擾動而給定較大的值.由于得到的輸入、輸出數(shù)據(jù)會受到不同程度噪聲的影響,故文中采用低通濾波器對橫向數(shù)據(jù)進行濾波去噪,并通過指數(shù)濾波盡可能地減小縱向擾動對橫向測量數(shù)據(jù)的影響[17].該紙機紙張質(zhì)量控制系統(tǒng)的橫向質(zhì)量測量點數(shù)為282、寬為24.30mm,稀釋水分區(qū)個數(shù)為94、寬為74.5mm,左、右水針切邊均為37.25mm,左、右紙邊的波動范圍分別為1.287±0.039測量區(qū)、278.356±0.059測量區(qū),由式(8)計算得到整幅紙張的收縮率為2.825%.生產(chǎn)紙張的定量為105g/m2,紙機車速為863.3m/min,從控制器到掃描架的傳輸距離為150m,掃描架測量周期為31s,則傳輸延時為10.43s.

圖4　仿真實驗中橫向控制系統(tǒng)辨識殘差

Fig.4Identificationresidualofcross-directionalcontrolsysteminsimulations

表2　現(xiàn)場實驗的辨識結(jié)果

圖5　現(xiàn)場實驗的橫向辨識過程

Fig.5Cross-directionalidentificationprocedureofpracticaltests

圖6　動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)空間響應(yīng)的辨識結(jié)果

Fig.6Identificationresultsofthedynamicresponseandthesteady-statespatialresponse

系統(tǒng)模型辨識完成,且橫向過程運行穩(wěn)定后,由于造紙過程的復(fù)雜性,可能會出現(xiàn)模型失配的情況.工業(yè)過程通常都有較大的干擾,在設(shè)計控制器時需要考慮可能的模型不確定性,即保證控制器的魯棒性,實際中應(yīng)用的橫向控制器通常為魯棒控制器,允許系統(tǒng)模型有最大為30%的模型不確定性[1,9],當模型失配嚴重到影響正常生產(chǎn)時,需要重新辨識模型以使系統(tǒng)穩(wěn)定運行.

5結(jié)論

為快速、準確地遞推辨識橫向控制系統(tǒng),文中提出了一種改進的RLM算法.與基于最小二乘辨識方法將二維橫向控制系統(tǒng)辨識問題分解為多個一維模型辨識的方法不同,文中基于改進RLM算法的辨識方法可以直接辨識二維橫向控制系統(tǒng),降低了辨識工作的復(fù)雜性,減少辨識過程的迭代步驟,同時提升了辨識結(jié)果的準確性.改進RLM算法在辨識系統(tǒng)參數(shù)化模型時具有更好的收斂速度,適用于實時與在線辨識.仿真實驗與現(xiàn)場實驗結(jié)果驗證了所提方法的可行性與有效性.

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收稿日期:2015- 02- 25

*基金項目:國家水體污染控制與治理科技重大專項(2014ZX07213001);廣州市科技計劃項目(201504010013)

Foundation item:Supported by the National Water Pollution Control and Treatment Science and Technology Major Project(2014ZX07213001)

作者簡介:石先城(1988-),男,博士生,主要從事先進控制、人工智能與系統(tǒng)集成研究.E-mail:sxc7101@126.com ?通信作者: 馮郁成(1971-),男,高級工程師,主要從事高速造紙機關(guān)鍵技術(shù)與裝備研究.E-mail:fengyc@scut.edu.cn

文章編號:1000- 565X(2016)05- 0058- 08

中圖分類號：TP 273

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.05.009

SystemIdentificationofCross-DirectionalControlProcessesBasedonImprovedRLMAlgorithm

SHI Xian-chengFENG Yu-chengCHEN Ke-fu

(StateKeyLaboratoryofPulpandPaperEngineering∥SchoolofLightIndustryandFoodSciences,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640,Guangdong,China)

Abstract:In cross-directional(CD) control processes,the system model is difficult to identify due to the sparse measurement data as well as the model's high dimensionality,strong coupling and uncertainty.In order to identify the system model rapidly and accurately,an improved approach on the basis of the recursive Levenberg-Marquardt(RLM) algorithm is proposed.Firstly,the two-dimension parameterized model and step identification method of CD control processes are described.Secondly,the objective function of RLM algorithm is modified and an improved RLM algorithm is presented,which is then applied to the real-time and recursive identification of the mapping,steady-state spatial response and dynamic response of the parameterized model of CD control processes.The results of both simulation and practical application show that the proposed identification method can not only identify the spatial and dynamic responses of CD control processes simultaneously but also converge more rapidly than the traditional RLM algorithm.

Key words:improved RLM algorithm;system identification;cross-directional control;papermaking