劉偉東　涂玉婷　劉海明

(1.華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640; 2.廣東省農(nóng)業(yè)科學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

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幾何公差狀態(tài)向量模型及其分析與綜合技術(shù)*

劉偉東1涂玉婷2劉海明1

(1.華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640; 2.廣東省農(nóng)業(yè)科學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

摘要:在產(chǎn)品零件裝配互換性設(shè)計(jì)中,幾何公差的分析與綜合技術(shù)發(fā)展還不完善.文中針對(duì)幾何公差分析與綜合的問(wèn)題,提出了幾何公差的狀態(tài)向量表示模型;基于幾何公差的狀態(tài)向量表示對(duì)幾何偏差作用和偏差累積進(jìn)行了分析,給出了在零件不同配合狀態(tài)下的裝配功能幾何變動(dòng)的狀態(tài)向量表達(dá),并在此基礎(chǔ)上給出了幾何公差分析與綜合的狀態(tài)方程;最后以多艙段對(duì)接裝配為實(shí)例給出了基于狀態(tài)方程的幾何公差分析與綜合的算法步驟.實(shí)例結(jié)果驗(yàn)證了幾何公差狀態(tài)向量表示模型及其狀態(tài)方程對(duì)幾何公差分析與綜合的有效性和適用性.

關(guān)鍵詞：幾何公差;狀態(tài)向量模型;公差分析；公差綜合;配合和公差

幾何公差包括幾何位置公差和幾何形狀公差,前者用于約束幾何位置的變動(dòng),如平行度、垂直度等,后者用于約束幾何形狀的變動(dòng),如直線度、圓柱度等.傳統(tǒng)的公差分析與綜合通常只涉及尺寸公差的分析與綜合問(wèn)題,沒(méi)有討論幾何公差的分析與綜合問(wèn)題.幾何公差的分析與綜合是相對(duì)尺寸公差的分析與綜合提出來(lái)的,是對(duì)尺寸公差分析與綜合的拓展.幾何公差分析主要是根據(jù)已知的公差幾何、公差類(lèi)型、公差域、公差基準(zhǔn)和公差條件信息求解受幾何公差影響的裝配功能要求;幾何公差綜合是根據(jù)已知的裝配功能要求設(shè)計(jì)和求解公差幾何、公差類(lèi)型、公差域、公差基準(zhǔn)和公差條件信息.幾何公差分析與綜合的指標(biāo)包括裝配功能要求、裝配成功率、加工和裝配保證成本等.目前,幾何公差分析與綜合問(wèn)題的研究沒(méi)有形成比較系統(tǒng)的模型或理論,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在幾何偏差向量[1- 3]、公差圖[4- 5]、幾何變動(dòng)模型[6- 10]、裝配建模[11]等方面進(jìn)行了研究.幾何變動(dòng)模型主要用于幾何形狀公差的表達(dá),而幾何偏差向量主要用于幾何位置公差的表達(dá).無(wú)論是幾何變動(dòng)模型還是幾何偏差向量,在計(jì)算機(jī)輔助幾何公差分析與綜合應(yīng)用方面,都具有一定的局限性.

在幾何公差分析與綜合方法中,智能控制技術(shù)的應(yīng)用還比較少,主要是基于特定尺寸鏈模型來(lái)對(duì)尺寸公差分析或綜合指標(biāo)進(jìn)行智能優(yōu)化,如遺傳算法[12]、蟻群算法[13]等;而其他非線性控制方法,如魯棒控制、自適應(yīng)控制、學(xué)習(xí)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等涉及的比較少.由于非線性智能控制方法幾乎能對(duì)各類(lèi)非線性進(jìn)行一致穩(wěn)定的逼近,且能很好地處理內(nèi)部和外部不確定,因此,文中旨在將非線性智能控制算法應(yīng)用于幾何公差的分析和綜合,探討幾何公差分析與綜合的智能化方法.

1幾何公差表達(dá)

在互換性理論中,幾何位置公差要素包括公差幾何、公差類(lèi)型、公差域、公差基準(zhǔn)和公差要求等,幾何形狀公差要素包括公差幾何、公差類(lèi)型、公差域和公差要求等[14].為了使表達(dá)模型統(tǒng)一,幾何公差用狀態(tài)向量表達(dá)為

θ=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5)T

(1)

式中:θ1∈Ω1為公差幾何標(biāo)定,Ω1為幾何指標(biāo)(ID)集,在實(shí)體建模時(shí)構(gòu)建;θ2∈Ω2為公差類(lèi)型標(biāo)定,Ω2為公差類(lèi)型標(biāo)定集,根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)標(biāo)準(zhǔn)共有14類(lèi);θ3∈Ω3為公差域標(biāo)定,Ω3為公差域ID集,公差域需要專(zhuān)門(mén)的建模并分配ID;θ4∈Ω1為公差基準(zhǔn)標(biāo)定;θ5∈Ω5為公差要求標(biāo)定,Ω5為公差要求標(biāo)定集,根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)共有3類(lèi).

對(duì)于幾何公差狀態(tài)向量θ,在公共坐標(biāo)系下,公差約束幾何的變動(dòng)記為

f(θ2)=CMδ

(2)

式中,δ為幾何三移動(dòng)三轉(zhuǎn)動(dòng)方向的局部變動(dòng),δ=(δx,δy,δz,δα,δβ,δγ)T，Mδ為公差幾何相對(duì)基準(zhǔn)幾何的變動(dòng),C為基準(zhǔn)幾何到公共坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換,M為與公差類(lèi)型θ2有關(guān)的約束矩陣[15].

2幾何偏差的作用和偏差累積

在產(chǎn)品裝配過(guò)程中,幾何偏差的作用和偏差累積主要包含兩類(lèi):①零件內(nèi)兩特征之間的偏差作用,主要指同一零件內(nèi)一功能幾何偏差對(duì)另一功能幾何的影響；②兩零件不同特征之間的偏差作用,主要指零件內(nèi)一功能幾何偏差對(duì)另一零件內(nèi)一功能幾何的影響.

計(jì)算一個(gè)或多個(gè)零件之間的這兩類(lèi)偏差作用,并進(jìn)行偏差作用的累積分析,可以實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的關(guān)鍵和最終裝配功能要求的分析,以及基于累積模型的幾何公差的分析與綜合.

2.1零件內(nèi)兩特征之間的偏差作用

對(duì)于零件p內(nèi)兩特征之間的偏差作用,記一功能幾何i的幾何公差狀態(tài)向量為

θpik=(θpik1,θpik2,θpik3,θpik4,θpik5)T,

(3)

對(duì)于同一零件p內(nèi)功能幾何i的ni個(gè)幾何公差,其基于極值法的幾何偏差綜合作用為

(4)

考慮功能幾何j自身的幾何偏差,記其幾何公差狀態(tài)向量為θpjk1=(θpjk11,θpjk12,θpjk13,θpjk14,θpjk15)T,其中,k1=1,2,…,nj(nj為功能幾何j的幾何公差數(shù)),則考慮零件p內(nèi)功能幾何i的幾何公差的影響時(shí),功能幾何j的幾何公差狀態(tài)向量變?yōu)?/p>

(5)

f(θpjnj2))T.

2.2兩零件不同特征之間的偏差作用

記兩零件p、q的配合幾何分別為s和t,零件p內(nèi)配合幾何s的幾何公差狀態(tài)向量為θpsk2=(θpsk21,θpsk22,θpsk23,θpsk24,θpsk25)T,其中,k2=1,2,…,ns(ns為配合幾何s的幾何公差數(shù)),則根據(jù)零件內(nèi)兩特征之間的偏差作用公式(5),考慮零件p內(nèi)功能幾何i的變動(dòng)時(shí),配合幾何s的幾何公差狀態(tài)向量變?yōu)?/p>

記零件q內(nèi)配合幾何t的幾何公差狀態(tài)向量為θqtk3=(θqtk31,θqtk32,θqtk33,θqtk34,θqtk35)T,其中k3=1,2,…,nt(nt為配合幾何t的幾何公差數(shù)).再考慮零件q內(nèi)功能幾何j的幾何公差狀態(tài)向量θqjk1=(θqjk11,θqjk12,θqjk13,θqjk14,θqjk15)T,其中,k1=1,2,…,nj(nj為功能幾何j的幾何公差數(shù)).根據(jù)零件內(nèi)兩特征之間的偏差作用公式(5),考慮零件q內(nèi)功能幾何j的變動(dòng)時(shí),配合幾何t的幾何公差狀態(tài)向量變?yōu)?/p>

(f(θqj12), f(θqj22),…, f(θqjnj2), f(θqt12), f(θqt22),…, f(θqtnt2))T.

進(jìn)一步地,考慮零件p和q的配合關(guān)系,有

(6)

2)當(dāng)零件p和q為接觸配合時(shí),零件p內(nèi)配合幾何s的幾何公差狀態(tài)向量會(huì)直接引起零件q的裝配變動(dòng),以及影響功能幾何j的幾何公差狀態(tài).考慮配合幾何s的幾何公差狀態(tài)向量時(shí),零件q內(nèi)功能幾何j的幾何公差狀態(tài)向量變?yōu)?/p>

(7)

為統(tǒng)一描述兩零件在不同配合狀態(tài)下的偏差作用,文中引入配合狀態(tài)變量w(s,t)和投影算子P(w):

(8)

當(dāng)配合狀態(tài)為間隙配合時(shí),w(s,t)=0;當(dāng)配合狀態(tài)為接觸配合時(shí),w(s,t)=1.考慮兩零件不同特征之間的偏差作用時(shí),零件q內(nèi)功能幾何j的幾何公差狀態(tài)向量可統(tǒng)一表達(dá)為

(9)

3幾何公差分析與綜合的狀態(tài)方程

3.1配合通路對(duì)裝配功能要求的作用

考慮配合通路r[15]:wr(sp1,tq1)→wr(sp2,tq2)→…→wr(spNr,tqNr),其中,r為配合通路序號(hào),Nr為配合通路r的配合數(shù);spm(m=1,2,…,Nr)為零件pm的配合公差幾何,tqm為零件qm的配合公差幾何,且有qm=pm+1,即零件qm和pm+1為同一零件.則考慮配合wr(spm,tqm)的作用時(shí),由式(9)可得零件pm+1的功能幾何spm+1的幾何公差狀態(tài)向量表達(dá)式:

(10)

考慮配合wr(spm,tqm)和wr(spm+1,tqm+1)的作用,由式(9)可得零件pm+2的功能幾何spm+2的幾何公差狀態(tài)向量表達(dá)式:

θspm+2=P(wr(spm+1,tqm+1))+

(11)

P(wr(spm+1,tqm+1))=

(12)

因此,考慮配合wr(sp1,tq1)到wr(spNr,tqNr)的作用,由式(9)可得零件qNr內(nèi)功能幾何sqNr的幾何公差狀態(tài)向量表達(dá)式:

假定存在M條配合通路會(huì)對(duì)裝配體某零件內(nèi)裝配功能幾何yd=sqNr的幾何公差狀態(tài)產(chǎn)生影響,則裝配功能幾何yd的幾何公差狀態(tài)向量可表示為

(13)

3.2零件內(nèi)特征對(duì)裝配功能要求的作用

假定裝配功能幾何yd所屬零件為pyd,現(xiàn)分析零件pyd內(nèi)其他幾何或特征幾何公差對(duì)裝配功能幾何yd的作用.考慮零件pyd內(nèi)公差幾何h,記其幾何公差狀態(tài)向量為θpydhk4=(θpydhk41,θpydhk42,θpydhk43,θpydhk44,θpydhk45)T,其中,k4=1,2,…，nh(nh為h的幾何公差數(shù)).則由式(3)可得幾何偏差f(θpydhk42)對(duì)同一零件pyd內(nèi)裝配功能幾何yd的作用為

(14)

對(duì)于同一零件pyd內(nèi)功能幾何h的nh個(gè)幾何公差,由式(4)得到其幾何偏差綜合作用為

(15)

Fydh=(f(θpydh12), f(θpydh22),…， f(θpydhnh2))T.

假定零件pyd內(nèi)存在H個(gè)幾何或特征會(huì)對(duì)裝配功能幾何yd的幾何公差狀態(tài)產(chǎn)生影響,則考慮零件pyd內(nèi)公差幾何的影響,裝配功能幾何yd的幾何公差狀態(tài)向量為

(16)

3.3裝配功能幾何綜合公差狀態(tài)向量

同時(shí)考慮各配合通路和零件pyd內(nèi)各公差幾何的作用,將其代入式(13)和(16)得到裝配功能幾何yd的幾何公差狀態(tài)向量為

(17)

3.4狀態(tài)方程

假定某一特定裝配功能設(shè)計(jì)要求的幾何公差狀態(tài)向量描述為

θyd=(θy1,θy2,θy3,θy4,θy5)T

(18)

則幾何公差分析與綜合的狀態(tài)方程可描述為

(19)

式中,x=(θy1,θy2,θy3,θy4,θy5)T為狀態(tài)變量,y為輸出變量,u為輸入變量,S(u)為u的靈敏度矩陣函數(shù),Δ(u)為u的不確定函數(shù).

ε=f(θy2)-[S(θyd)θyd+Δ(θyd)]→0.

4狀態(tài)方程的應(yīng)用及實(shí)例

文中以文獻(xiàn)[16]描述的航天器多個(gè)艙段對(duì)接精度計(jì)算為例來(lái)介紹狀態(tài)方程(19)的構(gòu)建過(guò)程.假設(shè)艙段個(gè)數(shù)為4,各艙段連接方式為對(duì)接,對(duì)接端面示意圖如圖1所示.

圖1　某兩艙段航天器的對(duì)接端面示意圖

Fig.1Schematic diagram of end faces docking for a 2-cabin spacecraft

影響兩艙段對(duì)接精度的因素有鉚接孔位置度、連接緊固件與孔的配合偏差(包括孔上差、緊固件下差)、前后艙段對(duì)接框端面垂直度及直徑等.為了簡(jiǎn)化計(jì)算,假定鉚接孔位置度、前后艙段對(duì)接框端面垂直度已知,同時(shí)忽略端面表面粗糙度的影響,只針對(duì)對(duì)接孔上差、緊固件下差進(jìn)行設(shè)計(jì).4個(gè)對(duì)接艙段的端面連接示意圖如圖2所示.

設(shè)各艙段編號(hào)為pk′(k′=1,2,3,4);4個(gè)艙段構(gòu)成3組對(duì)接結(jié)構(gòu),各對(duì)接編號(hào)為wi′(i′=1,2,3);每組對(duì)接包含6個(gè)對(duì)接孔和對(duì)接軸,孔上差為ai′1,緊固件下差為ai′2,分度圓半徑ri′=185 mm,各艙段長(zhǎng)lk′=1 573 mm.由于每組對(duì)接孔上差、緊固件下差的影響,艙段連接wi′會(huì)在圓周方向產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變動(dòng)Δαi′和在徑向產(chǎn)生同軸度變動(dòng)Δγi′.4個(gè)艙段最終的裝配功能要求為:艙段p1外圓柱面g13相對(duì)艙段p4外圓柱面g43的扭轉(zhuǎn)變動(dòng)為Δα,艙段p1軸線g15相對(duì)艙段p4軸線g45的同軸度變動(dòng)為Δγ.參照文獻(xiàn)[15],各組艙段對(duì)接wi′的幾何公差約束矩陣和幾何變動(dòng)向量計(jì)算如表1所示,其中,δxai′1、δxai′2和δxΔγi′為對(duì)接局部坐標(biāo)系下沿x方向的絕對(duì)幾何變動(dòng)量,δyai′1、δyai′2和δyΔγi′為對(duì)接局部坐標(biāo)系下沿y方向的絕對(duì)幾何變動(dòng)量,δαai′1、δαai′2和δαΔγi′為對(duì)接局部坐標(biāo)系下繞x軸的絕對(duì)幾何變動(dòng)量,δβai′1、δβai′2和δβΔγi′為對(duì)接局部坐標(biāo)系下繞y軸的絕對(duì)幾何變動(dòng)量,δγΔαi′為對(duì)接局部坐標(biāo)系下繞z軸的絕對(duì)幾何變動(dòng)量,坐標(biāo)系方向如圖2所示.

圖2　某4個(gè)艙段航天器的對(duì)接端面示意圖

Table 1Constraint matrix and geometric deviation vector for geometry tolerance

幾何公差約束矩陣公差幾何變動(dòng)向量ai'1diag(1,1,0,1,1,0)(δxai'1,δyai'1),0,δαai'1,δβai'1,0)Tai'2diag(1,1,0,1,1,0)(δxai'2,δyai'2),0,δαai'2,δβai'2,0)TΔαi'diag(0,0,0,0,0,1)(0,0,0,0,0,δγΔαi')TΔγi'diag(1,1,0,1,1,0)(δxΔγi',δyΔγi',0,δαΔγi',δβΔγi',0)T

4.1偏差作用與幾何公差分析

對(duì)于圖2所示第i組艙段對(duì)接wi′,假設(shè)已知孔上差ai′1=0.1 mm、緊固件下差ai′2=-0.03 mm;影響艙段最終扭轉(zhuǎn)變動(dòng)Δγ、同軸度變動(dòng)Δα的配合通路為wr(g11,g12)→wr(g21,g22)→wr(g31,g32),其中g(shù)i′1和gi′2為配合幾何標(biāo)定.由式(17)可得艙段p1外圓柱面g13與艙段p4外圓柱面g43在圓周方向的偏差作用:

θ=P(wr(g31,g32))+θg32g43

(20)

其中,P(wr(g31,g32))=

(δxa32,δya32,0,δαt32,δβt32,0)T=

(δxa32,δya32,0,δxa32/l4,δβa32/l4,δxa32/r4)T=

(0.03,0.03,0,1.9×10-5，1.9×10-5，

1.6×10-4)T.

當(dāng)wr(g31,g32)=1時(shí),代入兩零件不同特征之間的偏差作用見(jiàn)式(9)和(5)),得

θΔγd=P(wr(g21,g22))+θg22g33+θ(g32g43),

其中,θg22g33為對(duì)接軸g22對(duì)軸艙段外圓柱面g33的作用,根據(jù)零件內(nèi)兩特征間偏差作用(見(jiàn)式(6)),有

θg22g33=(δxa22,δya22,0,δxa22/l3,δβa22/l3,δxa22/r3)T=(0.03,0,0.3,0,1.9×10-5,1.9×10-5,1.6×10-4)T.

當(dāng)所有的wr(gi 1,gi 2)=1時(shí),代入式(9)和(5),得

θd=θg11g13+θg12g23+θg22g33+θg32g43

(21)

式中:θg11g13為對(duì)接軸線g11對(duì)艙段外圓柱面g13的作用,根據(jù)零件內(nèi)兩特征間的偏差作用(見(jiàn)式(6)),有

(δxa11,δya11,0,δαa11,δβa11,0)T=

(δxa11,δya11,0,δxa11/l1,δβa11/l1,δxa11/r1)T=

(0.1,0.1,1.0,6.5×10-5，6.5×10-5，5.4×10-3);θg12g23為對(duì)接軸線g12對(duì)艙段外圓柱面g23的作用,根據(jù)零件內(nèi)兩特征間偏差作用(見(jiàn)式(6)),有

θg12g23=(δxa12,δya12,0,δxa12/l2,δβa12/l2,δxa12/r2)T=

(0.03,0.03,0.1,1.9×10-5，1.9×10-5，1.6×10-4)T，

代入式(21)得θd=(0.19,0.19,0,1.2×10-4,1.2×10-4,5.9×10-3)T.

此時(shí),艙段p1外圓柱面g13相對(duì)艙段p4外圓柱面g43的扭轉(zhuǎn)變動(dòng)Δα=5.9×10-3rad,艙段軸線相對(duì)艙段軸線的同軸度變動(dòng)Δγ=0.19 mm.

4.2裝配功能狀態(tài)方程與幾何公差綜合

假設(shè)要求的最終裝配扭轉(zhuǎn)變動(dòng)Δα=0.006 rad,同軸度變動(dòng)Δγ=0.2 mm,則可以構(gòu)建扭轉(zhuǎn)變動(dòng)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)公差狀態(tài)向量:θΔα=(g13,c32,d33,g43,e34)T,其中,c32為扭轉(zhuǎn)裝配功能,e34為無(wú)公差要求,d33為扭轉(zhuǎn)公差域Ωδ3:={δ3∶0≤δγΔα≤0.006}.

由式(19)得到最終裝配扭轉(zhuǎn)變動(dòng)Δα的輸入輸出狀態(tài)方程為

(22)

式中,xα為狀態(tài)變量,yα為輸出變量,uα為輸入變量.則yα在圓周方向的Δα的期望值為fd(c32)=(0,0,0,0,0,δγΔγ)T.Δα的幾何公差綜合的途徑是:基于狀態(tài)方程式(22),設(shè)計(jì)智能非線性控制器u(θΔαd)和自適應(yīng)律ua(θΔαd),使誤差

εα=fd(c32)-[S(θΔαd)θΔαd+Δ(θΔαd)]→0.

同理,同軸度變動(dòng)Δγ的幾何公差綜合的途徑是:基于Δγ的輸入輸出狀態(tài)方程,設(shè)計(jì)智能非線性控制器u(θΔγd)和自適應(yīng)律ua(θΔγd),使誤差

εγ=fd(c33)-[S(θΔγd)θΔγd+Δ(θΔγd)]→0.

由艙段對(duì)接裝配變動(dòng)分析實(shí)例得到基于狀態(tài)方程的幾何公差分析與綜合的算法步驟如下:

1)基于裝配實(shí)體模型構(gòu)建幾何公差表達(dá)各要素集Ω,確定各幾何公差的狀態(tài)向量表達(dá)模型,并確定幾何變動(dòng)向量、幾何公差域變動(dòng)邊界;

2)基于關(guān)鍵或最終裝配功能要求確定M條配合通路,確定各通路各配合的配合狀態(tài)w;

3)從各配合幾何出發(fā),計(jì)算各個(gè)零件內(nèi)兩特征之間的偏差作用、兩零件不同特征之間的偏差作用;

4)由式(17)計(jì)算最終裝配功能要求的幾何公差狀態(tài)向量綜合表達(dá),并由式(19)確定關(guān)于最終裝配功能要求的狀態(tài)方程;

5)基于最終裝配功能要求的狀態(tài)方程及其期望值設(shè)計(jì)智能非線性控制器u(θyd)和自適應(yīng)律ua(θyd),使誤差ε=f(θy2)-[S(θyd)θyd+Δ(θyd)]→0.

5結(jié)論

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收稿日期:2015- 10- 19

*基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305140);廣東省工業(yè)高新技術(shù)領(lǐng)域科技計(jì)劃項(xiàng)目(2014A040401019,2015A030401029,2014A010104004)

Foundation items: Supported by the National Natural Science Foundation of China(51305140)and the Science and Technology Planning Project for Industrial High-Technolgoy of Guangdong Province(2014A040401019,2015A030401029,2014A010104004)

作者簡(jiǎn)介:劉偉東(1984-),男,博士,助理研究員,主要從事智能制造、數(shù)字化制造技術(shù)下的復(fù)雜產(chǎn)品裝配精度預(yù)分析技術(shù)研究.E-mail:aulwd@scut.edu.cn

文章編號(hào):1000- 565X(2016)05- 0078- 06

中圖分類(lèi)號(hào)：TP 391.9

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.05.012

State Vector Model of Geometry Tolerance and Techniques for Tolerance Analysis and Synthesis

LIUWei-dong1TUYu-ting2LIUHai-ming1

(1.School of Automation Science and Engineering,South China University of Technology,Guangzhou 510640,Guangdong,China;2.Guangdong Academy of Agricultural Science,Guangzhou 510640,Guangdong,China)

Abstract:As the existing interchangeability design process of part assembly is restricted to the imperfect analysis and synthesis techniques of geometric tolerance,firstly,a state vector model of geometric tolerance is proposed.Secondly,the geometric deviation affection and deviation accumulation are analyzed on the basis of the proposed model,respectively.Then,the state vector expression of assembly deviation affection and accumulation is deduced for the parts in different fitting statuses,and a state equation for the geometric tolerance analysis and synthesis is presented.Finally,an end faces docking example of spacecraft cabins is illustrated to explore the process of geometric tolerance analysis and synthesis with the help of the proposed state equation.Example results show that the proposed state vector model and the corresponding state equation are both effective and applicable for geometric tolerance analysis and synthesis.

Key words:geometric tolerance;state vector model;tolerance analysis;tolerance synthesis;fits and tolerances