局部空域覆蓋的回歸軌道預(yù)警星座設(shè)計(jì)方法*

任俊亮，邢清華，李龍躍

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安　710051； 2.中國(guó)人民解放軍93704部隊(duì)，北京　101100)

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局部空域覆蓋的回歸軌道預(yù)警星座設(shè)計(jì)方法*

任俊亮1，2，邢清華1，李龍躍1

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安710051； 2.中國(guó)人民解放軍93704部隊(duì)，北京101100)

摘要：針對(duì)低軌預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出一種局部空域覆蓋的回歸軌道預(yù)警星座設(shè)計(jì)方法。根據(jù)可能來(lái)襲彈道確定需覆蓋的空域，利用目標(biāo)與衛(wèi)星的可見(jiàn)性條件，求出能有效覆蓋的衛(wèi)星位置集合，以時(shí)間覆蓋縫隙最小化為目標(biāo)建立星座的優(yōu)化模型，并給出基于最優(yōu)軌道的求解算法。實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)實(shí)例中空域的無(wú)時(shí)縫覆蓋只需要8顆衛(wèi)星。

關(guān)鍵詞：反導(dǎo)；預(yù)警；衛(wèi)星；星座；回歸軌道；算法

0引言

低軌天基預(yù)警衛(wèi)星星座是反導(dǎo)預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分，低軌預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)是否合理對(duì)反導(dǎo)攔截的成功具有重要意義。目前低軌預(yù)警衛(wèi)星星座主要是美國(guó)的空間跟蹤與監(jiān)視系統(tǒng)(STSS)，它由約20～30顆地球低軌道衛(wèi)星及相關(guān)地面設(shè)備組成[1]，但STSS存在規(guī)模大、設(shè)計(jì)復(fù)雜且造價(jià)高昂等問(wèn)題。

現(xiàn)有對(duì)于星座設(shè)計(jì)的研究主要是針對(duì)通信與導(dǎo)航衛(wèi)星星座[2-4]以及對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星星座[5-7]等領(lǐng)域，對(duì)于預(yù)警衛(wèi)星星座的研究主要是以STSS為基礎(chǔ)，對(duì)星座的全球覆蓋性進(jìn)行研究[8-13]。對(duì)低軌預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)方法的研究，主要是根據(jù)覆蓋性能確定STSS所采用的walker星座的相關(guān)參數(shù)。例如，文獻(xiàn)[14]從STSS的任務(wù)出發(fā)，認(rèn)為衛(wèi)星軌道會(huì)采用太陽(yáng)同步極地近圓軌道，并對(duì)軌道高度、傾角以及星座規(guī)模進(jìn)行了分析，給出了walker星座不同參數(shù)下的覆蓋情況，認(rèn)為STSS最有可能采用24 /3 /2的Walker星座以實(shí)現(xiàn)對(duì)全球的不間斷探測(cè)。文獻(xiàn)[15] 從星座定位性能和覆蓋性能出發(fā)，給出了低軌預(yù)警衛(wèi)星星座的優(yōu)化目標(biāo)，并設(shè)計(jì)了GDE3算法對(duì)紅外低軌星座設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[16]對(duì)低軌預(yù)警衛(wèi)星星座的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究，根據(jù)walker星座參數(shù)與發(fā)射費(fèi)用、監(jiān)視性能之間的關(guān)系，給出了低軌預(yù)警衛(wèi)星星座的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并設(shè)計(jì)了基于Pareto遺傳算法的求解算法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[17]從系統(tǒng)的頂層設(shè)計(jì)出發(fā)，考慮了星座設(shè)計(jì)、飛行器設(shè)計(jì)和星座發(fā)射費(fèi)用等多個(gè)目標(biāo)，提出了一種基于協(xié)同優(yōu)化的低軌紅外預(yù)警星座設(shè)計(jì)方法，但在文獻(xiàn)中沒(méi)有關(guān)于衛(wèi)星覆蓋性能的分析，不能對(duì)星座的構(gòu)形進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[18]主要針對(duì)SBIRS的高軌部分進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)了由4顆中橢圓軌道衛(wèi)星和2顆赤道圓軌道衛(wèi)星組成的異構(gòu)預(yù)警衛(wèi)星星座，實(shí)現(xiàn)對(duì)北緯55°以上地區(qū)的二重覆蓋以及對(duì)北緯55°以下地區(qū)的一重覆蓋。文獻(xiàn)[19]對(duì)中低軌預(yù)警衛(wèi)星的覆蓋性能計(jì)算提出了一種降維分析方法，將對(duì)三維空間的覆蓋轉(zhuǎn)換到二維平面內(nèi)，簡(jiǎn)化了衛(wèi)星對(duì)覆蓋性能的計(jì)算，在星座設(shè)計(jì)方面只是給出了在一些特定walker星座參數(shù)情況下星座的覆蓋情況。

上述文獻(xiàn)中的紅外預(yù)警衛(wèi)星星座主要是基于walker星座，根據(jù)不同星座參數(shù)的覆蓋性能選擇星座的具體構(gòu)形[20]，且此類(lèi)星座的覆蓋性是對(duì)針對(duì)全球的[21]，對(duì)于經(jīng)濟(jì)與技術(shù)相對(duì)薄弱的國(guó)家在短期內(nèi)不易實(shí)現(xiàn)，且其全球覆蓋的目標(biāo)不適合絕大部分國(guó)家，因此提出一種針對(duì)重要保衛(wèi)區(qū)域的低回歸軌道紅外預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)方法，目的是減少星座中衛(wèi)星數(shù)量，降低星座設(shè)計(jì)復(fù)雜度，加快其實(shí)戰(zhàn)能力的生成過(guò)程，滿(mǎn)足當(dāng)前的區(qū)域防御需求。

1預(yù)警衛(wèi)星與目標(biāo)的可見(jiàn)性分析

低軌預(yù)警衛(wèi)星的主要任務(wù)是提高發(fā)射點(diǎn)與落地點(diǎn)的測(cè)量精度、進(jìn)行中段導(dǎo)彈防御的跟蹤與識(shí)別、提供廣泛的技術(shù)情報(bào)，并進(jìn)行空間監(jiān)視[1]。它在探測(cè)目標(biāo)時(shí)是以深空為背景的，其探測(cè)范圍如圖1所示。

圖1　低軌預(yù)警衛(wèi)星探測(cè)范圍Fig.1　Area of low-orbit early warning satellite detect

(1)

式中：O為地心;∠OST為目標(biāo)T在衛(wèi)星S探測(cè)范圍內(nèi)的俯仰角，且有

(2)

若衛(wèi)星S與目標(biāo)T之間的相對(duì)位置能夠滿(mǎn)足式(1)中的條件，則認(rèn)為衛(wèi)星S與目標(biāo)T可見(jiàn)。

2低軌預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型

低軌衛(wèi)星軌道一般為近圓軌道，為計(jì)算方便認(rèn)為低軌衛(wèi)星軌道為圓軌道。要設(shè)計(jì)反導(dǎo)預(yù)警衛(wèi)星星座首先要確定預(yù)警衛(wèi)星星座需要覆蓋的空域，然后根據(jù)需覆蓋空域確定衛(wèi)星星座的相關(guān)參數(shù)[22-23]。

2.1需覆蓋空域與衛(wèi)星有效位置集合

(1) 需覆蓋空域

需覆蓋空域可根據(jù)需要保衛(wèi)的區(qū)域與可能的敵方彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)確定。需探測(cè)空域由所有可能來(lái)襲彈道經(jīng)過(guò)的空域組成。但由于需探測(cè)空域很難用解析方法表達(dá)，為降低計(jì)算復(fù)雜性，在需探測(cè)空域中找出若干條不重合的典型彈道代表需探測(cè)空域。低軌預(yù)警衛(wèi)星星座對(duì)這些典型彈道的覆蓋情況表達(dá)了對(duì)這一空域的覆蓋情況。若選擇的典型彈道數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)，則可認(rèn)為這些彈道組成需覆蓋空域。

(2) 衛(wèi)星有效覆蓋位置集合

設(shè)有典型彈道traji，若單顆衛(wèi)星在位置S處能實(shí)現(xiàn)對(duì)彈道的覆蓋率達(dá)pcov_tra以上，則認(rèn)為衛(wèi)星在S處實(shí)現(xiàn)對(duì)彈道traji的有效覆蓋。能實(shí)現(xiàn)對(duì)所有典型彈道有效覆蓋的衛(wèi)星位置S的集合為SD。SD是衛(wèi)星有效覆蓋的位置集合，它是設(shè)計(jì)衛(wèi)星軌道參數(shù)的重要依據(jù)。

2.2軌道高度

衛(wèi)星軌道高度是衛(wèi)星軌道參數(shù)中一個(gè)重要參數(shù)，它決定衛(wèi)星與目標(biāo)的距離、衛(wèi)星運(yùn)行的軌道周期。一般情況下，低軌衛(wèi)星軌道高度horbit應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足以下幾個(gè)條件：

(3)

(2) 軌道高度不在范艾倫帶Bvan內(nèi)，即

horbit?Bvan.

(4)

(5)

在衛(wèi)星進(jìn)入軌道后，將常年繞地球飛行，與此同時(shí)地球也在自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)，衛(wèi)星位置與地球上某點(diǎn)的相對(duì)位置時(shí)刻都在變化，這使得衛(wèi)星對(duì)某空域的覆蓋情況隨時(shí)間不斷變化，增加了星座的設(shè)計(jì)復(fù)雜度。為降低星座對(duì)空域覆蓋的計(jì)算復(fù)雜度，并減少衛(wèi)星星座數(shù)量，采用星下點(diǎn)周期性出現(xiàn)重合的回歸軌道，這樣星座對(duì)空域的覆蓋情況也將周期性重復(fù)出現(xiàn)。這將極大地減小衛(wèi)星星座對(duì)空域覆蓋情況的計(jì)算，同時(shí)減小了衛(wèi)星星座的設(shè)計(jì)復(fù)雜度?；貧w軌道周期與高度之間的一般計(jì)算方法可見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。以下給出以一個(gè)恒星日Tday為回歸周期的軌道高度計(jì)算方法。

若衛(wèi)星在運(yùn)行Tday時(shí)間后，星下點(diǎn)重新回到Tday之前時(shí)刻的星下點(diǎn)，則衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的圈數(shù)必為正整數(shù)Nint，此時(shí)有衛(wèi)星軌道周期

(6)

由衛(wèi)星軌道周期與軌道長(zhǎng)半軸的關(guān)系

(7)

求出衛(wèi)星軌道長(zhǎng)半軸a，再由

a=Re+horbit.

(8)

求出軌道高度horbit。其中，Re為地球半徑，μ為地球萬(wàn)有引力常數(shù)。在滿(mǎn)足條件(3)～(5)的高度范圍內(nèi)選擇最小高度的回歸軌道高度，確定為星座的軌道高度。軌道高度低有利于對(duì)目標(biāo)的探測(cè)。

2.3軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、相位與衛(wèi)星數(shù)量

設(shè)在軌道Gi,Ω內(nèi)有Ni,Ω?jìng)€(gè)初始相位不同的衛(wèi)星，第k個(gè)衛(wèi)星的初始相位為θk，在此軌道內(nèi)所有衛(wèi)星在一個(gè)回歸周期內(nèi)的覆蓋時(shí)間區(qū)間集合為

(9)

星座內(nèi)所有衛(wèi)星對(duì)SD覆蓋時(shí)間區(qū)間集合

(10)

集合Tcov內(nèi)的所有時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度之和

tcov=f(Tcov),

(11)

式中：f(S)為求集合S中所有區(qū)間長(zhǎng)度之和的函數(shù)。

則星座設(shè)計(jì)的優(yōu)化目標(biāo)為

minTday-tcov,

(12)

(13)

3模型求解算法

(1) 將軌道傾角與升交點(diǎn)赤經(jīng)離散化，得到不同的衛(wèi)星軌道。

(14)

式中：

(15)

且衛(wèi)星在軌道內(nèi)均勻分布。

(7) 星座中衛(wèi)星數(shù)量為最優(yōu)軌道上的衛(wèi)星數(shù)量與填補(bǔ)衛(wèi)星數(shù)量之和

(16)

4實(shí)例分析

假設(shè)某保衛(wèi)目標(biāo)D(50°,105°)面臨3個(gè)方向的彈道導(dǎo)彈威脅，在3個(gè)方向分別選擇一個(gè)典型彈道，發(fā)射點(diǎn)分別為A(18°，122°)，B(12°，77°)，C(30°，77°)，如圖2所示。

圖2　3個(gè)方向的典型彈道Fig.2　Classic trajectories in three directions

利用式(1)，(2)找出可對(duì)3條彈道進(jìn)行有效覆蓋的衛(wèi)星位置集合SD。如圖3中圓點(diǎn)所示區(qū)域。

圖3　SD與地球的相對(duì)位置Fig.3　SDand earth in space

現(xiàn)有彈道導(dǎo)彈的最大高度一般在1 500 km以下，范艾倫帶的高度約為1 700～5 000 km，人造地球衛(wèi)星的最小高度約為500 km,代入式(3)～(5)可以確定衛(wèi)星的可部署高度區(qū)間為1 500～1 700 km，根據(jù)式(6)～(7)計(jì)算在此高度區(qū)間內(nèi)，以一個(gè)恒星日為回歸周期的軌道高度為1 681 km。因此，選擇1 681 km為衛(wèi)星軌道高度。一個(gè)恒星日內(nèi)回歸軌道衛(wèi)星運(yùn)行圈數(shù)與衛(wèi)星高度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1一個(gè)恒星日內(nèi)回歸軌道衛(wèi)星運(yùn)行圈數(shù)與衛(wèi)星高度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

Table 1Relationship between quantities of satellite run in recursive orbit a day and the height of satellite

圈數(shù)高度/km單圈軌道周期/s121681.07200.0131262.26646.114893.96171.415567.05760.0

在一個(gè)回歸周期內(nèi)，取軌道傾角i分別為0°，30°，60°，90°時(shí)，計(jì)算軌道在各升交點(diǎn)赤經(jīng)(升交點(diǎn)赤經(jīng)間隔為30°)對(duì)應(yīng)的時(shí)間覆蓋區(qū)間，如圖4所示。

圖4　回歸周期內(nèi)不同傾角軌道在各升交點(diǎn)赤經(jīng)下對(duì)空域的時(shí)間覆蓋Fig.4　Time of satellite covered appointed airspace on different orbits in a recursive period

5結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)低軌預(yù)警衛(wèi)星局部覆蓋問(wèn)題的分析，提出了采用回歸軌道的預(yù)警衛(wèi)星星座的設(shè)計(jì)方法。采用回歸軌道可以在回歸周期內(nèi)對(duì)衛(wèi)星的覆蓋問(wèn)題進(jìn)行分析，大大降低了對(duì)于覆蓋情況的計(jì)算復(fù)雜性；采用基于最優(yōu)軌道的求解算法對(duì)星座模型求解可最大限度地減少衛(wèi)星軌道數(shù)量與星座中衛(wèi)星數(shù)量，有利于節(jié)約預(yù)警衛(wèi)星星座的建造與使用維護(hù)費(fèi)用，對(duì)于整個(gè)預(yù)警系統(tǒng)的建設(shè)發(fā)展具有重要意義。但本文設(shè)計(jì)的星座是對(duì)空域的單重覆蓋，對(duì)于如何實(shí)現(xiàn)對(duì)空域的多重覆蓋是進(jìn)一步深入研究。

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Method on Designing a Part Airspace Covered Early Warning Constellation in Recursive Orbit

REN Jun-liang1，2，XING Qing-hua1, LI Long-yue1

(1.AFEU,Air and Missile Defense College, Shaanxi Xi’an, 710051,China；2.PLA,No.93704 Troop, Beijing 101100,China)

Abstract:Aiming at the early warning constellation design, a part airspace covered early warning constellation in recursive orbit is put forward. According to the attacking trajectories, the area which satellite should cover is determined. By using the visibility conditions of target and satellite, a set of airspace which satellite deploy can cover effectively is obtained. An optimized model is built by targeting minimum coverage time period. In addition, an algorithm which is based on optimized orbit is proposed. A case study shows that only 8 satellites are needed to cover appointed airspace.

Key words:antimissile； early warning；satellite；constellation；recursive orbit； algorithm

*收稿日期：2015-05-04；修回日期：2015-08-30

基金項(xiàng)目：全軍軍事學(xué)研究生課題(2011JY002-512)；全軍軍事學(xué)研究生課題(2012JY003-579)

作者簡(jiǎn)介：任俊亮(1985-)，男，山西洪洞人。博士生，研究方向?yàn)榉磳?dǎo)預(yù)警資源的優(yōu)化配置與調(diào)度。

通信地址：065500河北省固安縣東灣鄉(xiāng)東灣駐軍E-mail：renjunliang0106@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2016.03.001

中圖分類(lèi)號(hào)：E926.4;V474;TP301

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-086X(2016)-03-0001-06

空天防御體系與武器