劉博

（哈爾濱汽輪機(jī)廠，黑龍江 哈爾濱150040）

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一種汽輪發(fā)電機(jī)組軸系受迫振動響應(yīng)分析方法

劉博

（哈爾濱汽輪機(jī)廠，黑龍江 哈爾濱150040）

摘要：研究了汽輪發(fā)電機(jī)組的自由振動以及受迫振動響應(yīng)問題，并通過特征值與特征向量的求解獲得了軸系的固有頻率和模態(tài)。并針對某型實(shí)際汽輪發(fā)電機(jī)組軸系，獲得了該軸系突加載荷時(shí)機(jī)組的扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)。

關(guān)鍵詞：汽輪發(fā)電機(jī)組；受迫振動；瞬態(tài)響應(yīng)

1　概述

受迫振動是指力學(xué)系統(tǒng)在外界周期驅(qū)動力作用下產(chǎn)生的一種振動。受迫響應(yīng)振動分析通常包括兩個主要方面：正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和隨時(shí)間變化的激勵扭矩下的瞬態(tài)響應(yīng)。

對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及瞬態(tài)受迫響應(yīng)，運(yùn)動的矩陣方程可以采用模態(tài)轉(zhuǎn)換的方式進(jìn)行解耦處理。對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，列出的二階微分方程屬于封閉式。而對于瞬態(tài)激勵下的響應(yīng)，可以通過數(shù)值積分的方法來進(jìn)行計(jì)算。

受迫振動的一般運(yùn)動方程為：

其中，[M]，[C]和[K]為n×n階的方陣（n為模態(tài)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)），分別對應(yīng)著慣性矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。方程中其它帶有θ的各向量，則分別對應(yīng)了扭轉(zhuǎn)運(yùn)動的加速度、速度、位移。[TA]為外力扭矩向量。

求解式（1）時(shí)，經(jīng)常將變量從實(shí)際的物理響應(yīng)值θ1…θn，轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)q1…qm的函數(shù)。在這里n代表節(jié)點(diǎn)數(shù)目，m代表所使用的模態(tài)數(shù)量。

模態(tài)轉(zhuǎn)化方程如下：

式（2）中的矩陣[R]包含了通過預(yù)先固有頻率計(jì)算得到的m個模態(tài)陣型。通過矩陣變換，將位移向量θ1…θn轉(zhuǎn)換為一個新的向量q1…qm.這個新的向量左乘模態(tài)陣型矩陣[R]所得到的矩陣，在任何時(shí)刻都等價(jià)于位移向量q1…qm.這個新的向量可以看成是模態(tài)系數(shù)。舉例來說，在任何時(shí)刻都可以表達(dá)出矩陣[R]中所列出的模態(tài)振型參與實(shí)際振動響應(yīng)的情況。

如果分析中用到了所有的n個模態(tài)振型，那么m=n，最終得到的分析結(jié)果將與不使用模態(tài)轉(zhuǎn)化方程的計(jì)算結(jié)果一致，相當(dāng)于直接求解式（1）。如果只是選定的模態(tài)振型被使用，也就相當(dāng)于m

將式（2）代入式（1），并進(jìn)行矩陣變換

在這里[M']，[C']和[K']分別為模態(tài)轉(zhuǎn)動慣量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣、模態(tài)剛度矩陣，它們都是m×m階矩陣，其中，m為所選擇的模態(tài)數(shù)量。另外，模態(tài)轉(zhuǎn)動慣量矩陣、模態(tài)剛度矩陣均為對角陣，這是因?yàn)楣逃姓裥蜑檎魂?。試?yàn)或者估測的模態(tài)阻尼值經(jīng)常被直接添加進(jìn)預(yù)設(shè)的阻尼矩陣中，這些預(yù)設(shè)的矩陣均為對角陣，并且非對角項(xiàng)均設(shè)為0.利用上述假設(shè)，運(yùn)動模態(tài)方程變?yōu)榉邱詈希梢詥为?dú)的進(jìn)行求解。[T'A]為外力扭矩模態(tài)向量，也同樣是m階。

2　穩(wěn)態(tài)正弦激勵響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)正弦激勵響應(yīng)是在給定的外力扭矩向量下，得到各節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值，包括扭轉(zhuǎn)角位移、相位、振幅等。由于是在穩(wěn)態(tài)的條件下，所以響應(yīng)和激勵的頻率是一樣的。

在進(jìn)行分析過程之前，首先要建立轉(zhuǎn)子振動的數(shù)學(xué)模型[1]，包括阻尼特性、作用在每個節(jié)點(diǎn)上的外力扭矩幅值及相位、以及外力頻率ω.在本例中，外力扭矩向量元素TAI的形式為：Te（jωt+σ），其中j=.一般來說，作用在各節(jié)點(diǎn)上的外力扭矩的振幅和相位均不相同。除了給出外力扭矩幅值及相位外，激振頻率ω也必須給定。

如前所述，式（3）矩陣方程是非耦合的，也就是說，每個方程都可以單獨(dú)求解。列出r階模態(tài)方程如下，

矩陣變換得到，

在式（5）中，ωnr和ζr分別為無阻尼狀態(tài)下的固有頻率和r階模態(tài)下的無量綱阻尼率。

采用qrejωt形式的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)得到如下結(jié)果

因此

任一個向量都用同樣的方式求解

通過對式（8）中向量{q}量級的觀察，可以直觀的了解響應(yīng)情況，因?yàn)橥ㄟ^向量{q}可以直觀的了解到在諧振頻率ω時(shí)，哪一階模態(tài)的響應(yīng)最劇烈。

接下來可以將式（8）回代入到式（2）中，求得模態(tài)中n個節(jié)點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角位移的幅值和相位，最終得到受迫振動的響應(yīng)分析結(jié)果。

3　瞬態(tài)響應(yīng)分析

本節(jié)所要討論的問題是響應(yīng)的時(shí)域分析，既所得到的結(jié)果為時(shí)間的函數(shù)，在給定的隨時(shí)間變化的外力扭矩向量下，得到各節(jié)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)角位移、響應(yīng)扭矩[2]。

分析過程中的已知項(xiàng)為轉(zhuǎn)子振動的數(shù)學(xué)模型，包括阻尼特性，以及隨時(shí)間變化的外力扭矩。

待解模態(tài)方程如下，

T'r（t）為隨時(shí)間t變化的r階模態(tài)下的外力扭矩，M'rr為r階模態(tài)下的轉(zhuǎn)動慣量。

方程（9）通常在將二次方程降階為兩個一次方程后，采用數(shù)值積分的方法進(jìn)行求解。

令

因此

將式（5）代入（4）得

對于數(shù)值積分求解，必須要提供qr和它的一階導(dǎo)數(shù)的初始條件（Y1r（0）和Y2r（0）），上述初始條件可以通過以下的矩陣變換，由確定的角位移及速度矢量的初始條件求得，由式（2）可得

上述方程左側(cè)的矩陣，包含了n階指定的角位移初始條件（t=0時(shí)刻），而在方程右側(cè)，包含了m階待求位移初始條件。因此

為了方便起見，定義[S]=[R]T[R]，[S]為m×m矩陣，同樣定義包含m元素的{α}

因此，

加速度的初始條件計(jì)算方法與速度的計(jì)算方法類似

到此為止，對于1階方程（5）和（6），每一節(jié)點(diǎn)上的初始條件都已經(jīng)具備了，包括q以及它的一階導(dǎo)數(shù)，這樣我們就可以應(yīng)用數(shù)值積分進(jìn)行求解。

在進(jìn)行數(shù)值積分的過程中，一般要設(shè)定一個足夠小的積分時(shí)間段，以保證結(jié)果的穩(wěn)定。時(shí)長大約應(yīng)為分析中最高頻率周期的四分之一左右[3]。

4　實(shí)例計(jì)算

4.1模型簡化

根據(jù)有限元理論，對汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元模型軸段劃分[4]，劃分結(jié)果如圖1所示。

圖1　汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子有限元模型

圖中節(jié)點(diǎn)編號未全部標(biāo)出，如圖中所示，從汽輪機(jī)的左端起依次進(jìn)行編號。圖中黑色圓點(diǎn)表示汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子扭矩加載的位置，12、13、16、19、22、25、28、31、34汽輪機(jī)均布載荷點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)42為負(fù)載載荷加載點(diǎn)。

對電機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元模型軸段劃分，劃分結(jié)果如圖2所示。

圖2　電機(jī)轉(zhuǎn)子有限元模型

圖中節(jié)點(diǎn)編號未一一標(biāo)出，如圖中所示，從電機(jī)轉(zhuǎn)子的左端起依次進(jìn)行編號。圖中灰黑的點(diǎn)表示電機(jī)轉(zhuǎn)子扭矩的加載位置，其中，節(jié)點(diǎn)1為輸入扭矩加載點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)30至40為電機(jī)負(fù)載扭矩的均布加載點(diǎn)。

4.2突加載荷時(shí)機(jī)組的振動特性結(jié)果與分析

4.2.1突加載荷時(shí)汽輪機(jī)振動特性

汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子空載運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定的情況下，在20 ms內(nèi)突加額定載荷，對汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子的振動特性進(jìn)行分析。載荷的加載方式，根據(jù)功率5 MW計(jì)算得到總扭矩-7 150.88 N·m，并將其加載在汽輪機(jī)的末端截面，將均布載荷794.54 N·m加載在汽輪機(jī)各輪盤節(jié)點(diǎn)。在0~20 ms之間，汽輪機(jī)處于空載穩(wěn)定運(yùn)行階段；在20~40 ms之間，汽輪機(jī)末端載荷由0變化到-7 150.88 N·m；在40~60 ms之間，汽輪機(jī)處于滿載穩(wěn)定運(yùn)行階段。以汽輪機(jī)末端節(jié)點(diǎn)42為基準(zhǔn)，選取關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)考察扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化，得到結(jié)果如圖3所示。

圖3　各節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化比較

由突加載荷時(shí)，汽輪機(jī)各選取節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化可以看出，汽輪機(jī)各節(jié)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)角隨載荷的增加而不斷增加，并有很小的波動，加載結(jié)束后轉(zhuǎn)子各截面扭轉(zhuǎn)角在固定值附近小幅波動，波動是由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動引起。

4.2.2突加載荷時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)子振動特性

電機(jī)轉(zhuǎn)子空載運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定的情況下，在20 ms內(nèi)突加額定載荷，對電機(jī)轉(zhuǎn)子的振動特性進(jìn)行分析。載荷的加載方式為：在電機(jī)的首端面加載由功率5 MW計(jì)算得到的總扭矩31 830.98 N·m并保持不變，電機(jī)上的負(fù)載載荷均布加載電機(jī)30~40的各節(jié)點(diǎn)上。在0~20 ms之間，電機(jī)各均布載荷由0變化到額定載荷；20~40 ms之間，電機(jī)為滿載載荷穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)階段。以電機(jī)末端節(jié)點(diǎn)76為基準(zhǔn)，選取幾個關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)考察扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間的變化，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4　各節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化比較

突加載荷時(shí)，由選取各節(jié)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化圖可以看出，在電機(jī)負(fù)載扭矩和電機(jī)首端加載扭矩之間的節(jié)點(diǎn)，其扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化為波形，在突加載荷時(shí)，扭轉(zhuǎn)角隨電機(jī)負(fù)載的增加而增加；在電機(jī)負(fù)載扭矩節(jié)點(diǎn)至電機(jī)末端之間的各節(jié)點(diǎn)，扭轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化為多個頻率的波形疊加形式，并且其值隨電機(jī)負(fù)載的增加而減小。

5　結(jié)束語

本文提出了一種計(jì)算汽輪發(fā)電機(jī)組軸系受迫振動響應(yīng)的分析方法，并利用相關(guān)程序?qū)τ趯?shí)例進(jìn)行

了計(jì)算工作，驗(yàn)證了該方法能夠合理準(zhǔn)確的對于機(jī)組的受迫振動瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析、模擬。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊建國，夏松波，劉永光，等.旋轉(zhuǎn)機(jī)械整機(jī)固有特性分析[J]．汽輪機(jī)技術(shù)，1998，40（6）：329-331.

[2]陸明萬，羅學(xué)富.彈性理論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001：78-99.

[3]傅行軍.汽輪發(fā)電機(jī)組扭振[M].北京：中國電力出版社，1997：3-7．

[4]王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003：55-63.

中圖分類號:TK261

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-545X（2016）04-0037-03

收稿日期：2016-01-19

作者簡介：劉博（1982-），男，黑龍江哈爾濱人，本科，工程師，從事汽輪機(jī)組設(shè)計(jì)分析工作。

A Turbo-Generator Set Shafting Forced Vibration Response Analysis Method

LIU Bo
（Harbin Steam Turbine Plant，Harbin Heilongjiang 150040，China）

Abstract：This paper studies steam turbine generator set free vibration and forced vibration response of the problem，obtained shafting natural frequency and modal by solving eigenvalue and eigenvector.For a certain type of actual steam turbine generator shaft，calculate the shafting torsional vibration response of the unit when a sudden load happen.

Key words:steam turbine generator unit；forced vibration；transient response