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      調(diào)和h-凸函數(shù)和調(diào)和平方s-凸函數(shù)的 Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

      2016-08-01 14:58:45時(shí)統(tǒng)業(yè)周國輝海軍指揮學(xué)院信息系南京211800
      關(guān)鍵詞:調(diào)和定理直線

      時(shí)統(tǒng)業(yè),周國輝(海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800)

      調(diào)和h-凸函數(shù)和調(diào)和平方s-凸函數(shù)的 Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

      時(shí)統(tǒng)業(yè),周國輝
      (海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800)

      利用調(diào)和h-凸函數(shù)和調(diào)和平方s-凸函數(shù)的定義以及s-凸函數(shù)、調(diào)和s-凸函數(shù)、調(diào)和平方s-凸函數(shù)三者之間的相互關(guān)系,建立了調(diào)和h-凸函數(shù)和調(diào)和平方s-凸函數(shù)的Fejér 型和 Hermite-Hadamard 型不等式.

      調(diào)和h-凸函數(shù); 調(diào)和平方s-凸函數(shù); s-凸函數(shù); 調(diào)和s-凸函數(shù); Fejér和Hermite-Hadamard型不等式

      1 預(yù)備知識

      文[1[引入了調(diào)和h-凸函數(shù)的概念.

      定義1[1]集合Ω?(0,+∞)稱為調(diào)和凸集,若對任意x,y∈Ω和任意t∈[0,1[,有

      定義2[1]設(shè)h:[0,1[→?是非負(fù)函數(shù),Ω?(0,+∞),函數(shù)f:Ω→?稱為調(diào)和h-凸函數(shù),若對任意x,y∈Ω和任意t∈[0,1[,有

      若式(1)的不等式反向,則f稱為調(diào)和h-凹函數(shù).

      調(diào)和h-凸函數(shù)是調(diào)和凸函數(shù)[2](h(t)=t),第二類調(diào)和s-凸函數(shù)[1](h(t)=ts),調(diào)和P-凸函數(shù)[1](h(t)=1),調(diào)和Godunova-Levin函數(shù)[1](h(t)=),第二類調(diào)和s-Godunova-Levin函數(shù)[1](h(t)=)的推廣.

      文[1[和[2[分別建立了調(diào)和凸函數(shù)和調(diào)和h-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

      定理1[2]設(shè)Ω?(0,+∞),f:Ω→?是調(diào)和凸函數(shù),a,b∈Ω,a<b.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      定理2[1]設(shè)I?(0,+∞),h:[0,1[→?是非負(fù)函數(shù),且h2)≠0,f:I→?是調(diào)和h-凸函數(shù),a,b∈I,a<b.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      定義3[3]設(shè)[a,b]{0},稱函數(shù)g:[a,b[→?是關(guān)于直線x=調(diào)和對稱的,若對任意x∈[a,b[,有

      定義4 設(shè)[a,b[??{0},稱函數(shù)g:[a,b[→?是關(guān)于直線x=調(diào)和平方對稱的,若對任意x∈[a,b[,有

      文[4[給出了調(diào)和凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式.

      定理3[4]設(shè)f:I→?是調(diào)和凸函數(shù),a,b∈I,a<b,p:[a,b[→?是非負(fù)可積函數(shù),且關(guān)于直線x=調(diào)和對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      注: 若f是調(diào)和凹函數(shù),則定理1~定理3的不等式反向.

      文[5[引入了第二類調(diào)和平方凸(凹)函數(shù)的概念,文[6[中引入了第二類調(diào)和平方s-凸(凹)函數(shù)的概念. 定義6[6]設(shè)I?(0,+∞),s∈(0,1[,f:I→(0,+∞),若對任意x1,x2∈I和任意t∈[0,1[,有

      則稱f(x)為I上的調(diào)和平方s-凸函數(shù).若不等式(2)反向,則稱f(x)為I上的調(diào)和平方s-凹函數(shù).

      本文的目的之一就是建立調(diào)和h-凸函數(shù)的Fejér和Hermite-Hadamard型不等式.另一個(gè)目的是建立調(diào)和平方s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

      引理1[6]設(shè)I?(0,+∞),τ:x→x2是單調(diào)遞減函數(shù),τ(I)=I-2,s∈(0,1[, f:I→(0,+∞),則f為I上的調(diào)和平方s-凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)(f))-2為I-2上的s-凹函數(shù).

      引理2 設(shè)I?(0,+∞),s∈(0,1[,ψ:I →(0,+∞),φ(x)=xsψ (x),則ψ是I上的第二類調(diào)和s-凸函數(shù)的充要條件為φ是I上的第二類s-凸函數(shù).

      證明 與文[7[引理5的證明過程類似,這里略去.

      2 主要結(jié)果

      定理4 設(shè)h:[0,1[→?是非負(fù)可積函數(shù),Ω?(0,+∞),f :Ω→?是調(diào)和h-凸函數(shù),a,b∈Ω,a<b,p:[a,b[→?是非負(fù)可積函數(shù),且關(guān)于直線x=2ab調(diào)和對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有 a+b

      故式(3)的左邊部分得證.

      故式(4)的右邊部分得證.

      推論5.1 設(shè)I?(0,+∞),s∈(0,1[,f:I→(0,+∞)是I上的調(diào)和平方s-凸函數(shù),a,b∈I,a<b,若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      證明 在定理5中取p(x)=1即可得證.

      推論5.2 設(shè)I?(0,+∞),f:I→(0,+∞)是I上的調(diào)和平方凸函數(shù),a,b∈I,a<b,p:[a,b[→?是非負(fù)可積函數(shù)且關(guān)于直線x=調(diào)和平方對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      證明 在定理5中取s=1即可得證.

      定理6 設(shè)I?(0,+∞),s∈(0,1[,a,b∈I,a<b,q:[a,b[→?是非負(fù)可積函數(shù)且關(guān)于直線x=算術(shù)平方對稱.若f:I→(0,+∞)是I上的調(diào)和平方s-凸函數(shù),且f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      再將θ(x)和p(x)代入上式并利用積分變量代換,則式(5)得證.

      定理7 設(shè)s∈(0,1[,f:[a,b[?(0,+∞)→?是[a,b[上的第二類調(diào)和s-凸函數(shù),p:[a,b[→?是非負(fù)可積函數(shù),且關(guān)于直線x=a+b 對稱.若f在[a,b[上勒貝格可積,則有 2

      證明 由引理2知xsf(x)是第二類s-凸函數(shù),于是對任意x,y∈[a,b[,t∈[0,1[,有

      定理8 設(shè)I?(0,+∞),s∈(0,1[,a,b∈I,a<b.若f:I→(0,+∞)是I上的調(diào)和平方s-凸函數(shù),且f在[a,b[上勒貝格可積,則有

      [1]Noor M A,Noor K I,Awan M U,et al. Some integral inequalities for harmonically h-convex functions[J[. University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin-Series A-Applied Mathematics and Physics,2015,77(1): 5~16

      [2]??can ?. Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[.Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics,2014,43(6): 935~942

      [3]Turhan S,??can ?. Some new Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for harmonically convex functions[EB/OL[. https://www.researchgate.net/ publication/287814838

      [4]Chen Feixiang,Wu Shanhe. Fejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J[. Journal of Applied Mathematics,Volume 2014,Article ID 386806

      [5]宋振云,陳少元. 調(diào)和平方凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[. 首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,36(3): 7~14

      [6]宋振云. 調(diào)和平方s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J[.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2016,46(3): 279~284

      [7]時(shí)統(tǒng)業(yè),王 斌. 與HA-凸函數(shù)有關(guān)的若干不等式[J[.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,28(4): 1~5,36

      SHI Tong-ye,ZHOU Guo-hui
      (Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China)

      With the aid of the definition of harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions and the relationship among s-convex functions,harmonically s-convex functions and harmonic square s-convex functions,F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically h-convex functions and harmonic square s-convex functions were obtained.

      harmonically h-convex functions,harmonic square s-convex functions,s-convex functions,harmonically s-convex functions,F(xiàn)ejér and Hermite-Hadamard type inequalities

      O178

      A

      1672-5298(2016)02-0001-05

      2016-03-25

      時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963-),男,河北張家口人,碩士,海軍指揮學(xué)院信息系副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)

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