顏李朝,張映輝(. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系,長(zhǎng)沙 4008; . 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 44006)
二階非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性
顏李朝1,張映輝2
(1. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系,長(zhǎng)沙 410081; 2. 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 414006)
利用抽象連續(xù)定理,研究了一類二階非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性,給出了該方程存在周期解的充分性定理.
中立型時(shí)滯微分方程; 周期解; Fredholm算子
含時(shí)滯的非線性微分系統(tǒng)周期解在控制論﹑金融學(xué)﹑生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,對(duì)其研究具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義,引起了人們的廣泛關(guān)注. 文[1~3[討論了一階非線性中立型時(shí)滯微分系統(tǒng)周期解的存在性,文[4~6[討論了二階非線性中立型時(shí)滯微分系統(tǒng)周期解的存在性. 其中,文[1,2[研究了一階非線性時(shí)滯微分系統(tǒng)
周期解的存在性,此方程的特點(diǎn)是非線性項(xiàng)中含有一階導(dǎo)數(shù). 受此啟發(fā),本文考慮二階中立型方程
周期解的存在性. 其中k,τ,τ1,τ2為常量,τ≥0,τ1≥0,τ2≥0,|k|<1,f∈C(?2,?),p∈C(?,?),p(t+T)=p(t )并∫0Tp(t)dt=0. 與文[4~6[中研究的二階非線性中立型系統(tǒng)不同,系統(tǒng)(2)中非線性項(xiàng)f含有一階導(dǎo)函數(shù). 這類系統(tǒng)在實(shí)際生活中有著更加廣泛的應(yīng)用.
為行文方便,引入一些記號(hào):
考慮如下對(duì)應(yīng)方程
由于|k|<1,可得H=I+kS(τ)為X的一個(gè)同胚,從而逆算子設(shè)y=Hx,由(3)和(4),有
故關(guān)于系統(tǒng)(3)的Mawhin連續(xù)定理可做如下表述:
(b) ?x ∈?Ω∩KerL,有QNx≠0且deg(QNx,Ω∩KerL,0)≠0. 那么,系統(tǒng)L(I+kS(τ))=Nx 在domL∩上至少存在一個(gè)解.
證明 因?yàn)長(zhǎng)為指數(shù)是零的Fredholm算子,且H=I+kS(τ)為X的一個(gè)同胚,所以由已知N在Ω上L-緊得NH-1在H)上L-緊. 由條件(a),(b)可得
(B) ?y∈?(H(Ω))∩KerL,有QNH-1y≠0且deg(QNH-1y,H(Ω)∩KerL ,0)≠0.
從而根據(jù)Mawhin連續(xù)定理,可得系統(tǒng)Ly=NH-1y在domL∩H)上至少存在一個(gè)解. 又由domL=X,可知系統(tǒng)LHx=Nx在domL∩上至少存在一個(gè)解.
定理1 假設(shè)滿足如下條件:
為證明此定理,需先引入一條引理. 設(shè)
引理2 假設(shè)定理1中條件均滿足,那么對(duì)于系統(tǒng)(7)的任一周期解x(t),存在與λ無(wú)關(guān)的正數(shù)Dj(j=0,1,2)使得
由于y(t)的周期為T(mén),從而y(0)=y(T),則由式(15),可得
定理1的證明
根據(jù)PK的定義可得KeryP∈,于是
根據(jù)式(15)與(18),可得
根據(jù)式(19),得
于是,由式(15),(17)與(20),得
從而式(13)成立. 根據(jù)式(12)與(13)知
且根據(jù)式(13),對(duì)任給t∈[0,1[有
根據(jù)式(12)與(22),有
由p(t)的一致連續(xù)性,并結(jié)合式(24)可得J2在[0,T[上等度連續(xù). 又根據(jù)微分中值定理及J2在[0,T[上的有界性可得J1在[0,T[上等度連續(xù). 相應(yīng)可推得J0在[0,T[上的等度連續(xù)性. 于是,J0,J1和J2均在[0,T[上有界并且等度連續(xù),根據(jù)Arzela-Ascoli定理,可得K相對(duì)緊,從而KP(I-Q)N相對(duì)緊,所以N在L-緊.
根據(jù)引理得,任給λ∈(0,1)和x ∈?Ω∩domL,有L(I+ks(τ))x≤λNx . 故引理1中條件(a)成立. 再證明條件(b)成立. 構(gòu)造算子:
從而
于是得到引理1中條件(b)成立. 根據(jù)引理1得系統(tǒng)L(I+ks(τ))x=Nx 在上至少存在一個(gè)解 ,故系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.
定理2 假設(shè)|k|<1 ,且滿足條件:
(H1) τ1∈{jT|j∈Z };
(H2) 任給x∈?且x≠0,y∈?,有xf(x,y)>0;
(H3) 存在a,b>0,對(duì)于?(x,y)∈?×?,有|f(x,y)|≤a|x|+b|y|,
則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.
由(H2)及式(2)得
結(jié)合式(27),(28)與(30),知引理2條件滿足.
類似定理1的證明,可以推知引理1中條件(a)成立.
現(xiàn)在只要證明條件(b)滿足. 構(gòu)造算子:
故知引理1的條件(b)滿足. 故系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.
為說(shuō)明上述結(jié)論的有效性并作為應(yīng)用,給出一個(gè)例子.
例 考慮二階非線性中立型時(shí)滯系統(tǒng)
于是條件(A3)成立. 故時(shí)滯系統(tǒng)(31)至少存在一個(gè)2π周期解.
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Periodic Solutions of Nonlinear Second Order Neutral Delay Differential Equation
YAN Li-zhao1, ZHANG Ying-hui2(1. College of Mathematics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China; 2. College of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)
By using the abstract continuity theorem,we obained sufficient conditions for the existence of a periodic solution for a class of nonlinear second order neutral delay differential equation and gave a sufficiency theorem of a periodic solution.
neutral delay differential equation,periodic solution,F(xiàn)redholm operator
O175.14
A
1672-5298(2016)02-0006-07
2016-02-16
國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71501069); 湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JJ3090)
顏李朝(1981- ),男,湖南衡陽(yáng)人,博士,湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系講師. 主要研究方向: 復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)及其應(yīng)用
湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2016年2期