• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      二階非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性

      2016-08-01 14:58:57顏李朝張映輝湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系長(zhǎng)沙4008湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院湖南岳陽(yáng)44006
      關(guān)鍵詞:湖南師范大學(xué)時(shí)滯微分

      顏李朝,張映輝(. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系,長(zhǎng)沙 4008; . 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 44006)

      二階非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性

      顏李朝1,張映輝2
      (1. 湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系,長(zhǎng)沙 410081; 2. 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽(yáng) 414006)

      利用抽象連續(xù)定理,研究了一類二階非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性,給出了該方程存在周期解的充分性定理.

      中立型時(shí)滯微分方程; 周期解; Fredholm算子

      引言

      含時(shí)滯的非線性微分系統(tǒng)周期解在控制論﹑金融學(xué)﹑生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,對(duì)其研究具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義,引起了人們的廣泛關(guān)注. 文[1~3[討論了一階非線性中立型時(shí)滯微分系統(tǒng)周期解的存在性,文[4~6[討論了二階非線性中立型時(shí)滯微分系統(tǒng)周期解的存在性. 其中,文[1,2[研究了一階非線性時(shí)滯微分系統(tǒng)

      周期解的存在性,此方程的特點(diǎn)是非線性項(xiàng)中含有一階導(dǎo)數(shù). 受此啟發(fā),本文考慮二階中立型方程

      周期解的存在性. 其中k,τ,τ1,τ2為常量,τ≥0,τ1≥0,τ2≥0,|k|<1,f∈C(?2,?),p∈C(?,?),p(t+T)=p(t )并∫0Tp(t)dt=0. 與文[4~6[中研究的二階非線性中立型系統(tǒng)不同,系統(tǒng)(2)中非線性項(xiàng)f含有一階導(dǎo)函數(shù). 這類系統(tǒng)在實(shí)際生活中有著更加廣泛的應(yīng)用.

      1 記號(hào)與引理

      為行文方便,引入一些記號(hào):

      考慮如下對(duì)應(yīng)方程

      由于|k|<1,可得H=I+kS(τ)為X的一個(gè)同胚,從而逆算子設(shè)y=Hx,由(3)和(4),有

      故關(guān)于系統(tǒng)(3)的Mawhin連續(xù)定理可做如下表述:

      (b) ?x ∈?Ω∩KerL,有QNx≠0且deg(QNx,Ω∩KerL,0)≠0. 那么,系統(tǒng)L(I+kS(τ))=Nx 在domL∩上至少存在一個(gè)解.

      證明 因?yàn)長(zhǎng)為指數(shù)是零的Fredholm算子,且H=I+kS(τ)為X的一個(gè)同胚,所以由已知N在Ω上L-緊得NH-1在H)上L-緊. 由條件(a),(b)可得

      (B) ?y∈?(H(Ω))∩KerL,有QNH-1y≠0且deg(QNH-1y,H(Ω)∩KerL ,0)≠0.

      從而根據(jù)Mawhin連續(xù)定理,可得系統(tǒng)Ly=NH-1y在domL∩H)上至少存在一個(gè)解. 又由domL=X,可知系統(tǒng)LHx=Nx在domL∩上至少存在一個(gè)解.

      2 主要結(jié)果

      定理1 假設(shè)滿足如下條件:

      為證明此定理,需先引入一條引理. 設(shè)

      引理2 假設(shè)定理1中條件均滿足,那么對(duì)于系統(tǒng)(7)的任一周期解x(t),存在與λ無(wú)關(guān)的正數(shù)Dj(j=0,1,2)使得

      由于y(t)的周期為T(mén),從而y(0)=y(T),則由式(15),可得

      定理1的證明

      根據(jù)PK的定義可得KeryP∈,于是

      根據(jù)式(15)與(18),可得

      根據(jù)式(19),得

      于是,由式(15),(17)與(20),得

      從而式(13)成立. 根據(jù)式(12)與(13)知

      且根據(jù)式(13),對(duì)任給t∈[0,1[有

      根據(jù)式(12)與(22),有

      由p(t)的一致連續(xù)性,并結(jié)合式(24)可得J2在[0,T[上等度連續(xù). 又根據(jù)微分中值定理及J2在[0,T[上的有界性可得J1在[0,T[上等度連續(xù). 相應(yīng)可推得J0在[0,T[上的等度連續(xù)性. 于是,J0,J1和J2均在[0,T[上有界并且等度連續(xù),根據(jù)Arzela-Ascoli定理,可得K相對(duì)緊,從而KP(I-Q)N相對(duì)緊,所以N在L-緊.

      根據(jù)引理得,任給λ∈(0,1)和x ∈?Ω∩domL,有L(I+ks(τ))x≤λNx . 故引理1中條件(a)成立. 再證明條件(b)成立. 構(gòu)造算子:

      從而

      于是得到引理1中條件(b)成立. 根據(jù)引理1得系統(tǒng)L(I+ks(τ))x=Nx 在上至少存在一個(gè)解 ,故系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.

      定理2 假設(shè)|k|<1 ,且滿足條件:

      (H1) τ1∈{jT|j∈Z };

      (H2) 任給x∈?且x≠0,y∈?,有xf(x,y)>0;

      (H3) 存在a,b>0,對(duì)于?(x,y)∈?×?,有|f(x,y)|≤a|x|+b|y|,

      則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.

      由(H2)及式(2)得

      結(jié)合式(27),(28)與(30),知引理2條件滿足.

      類似定理1的證明,可以推知引理1中條件(a)成立.

      現(xiàn)在只要證明條件(b)滿足. 構(gòu)造算子:

      故知引理1的條件(b)滿足. 故系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解.

      為說(shuō)明上述結(jié)論的有效性并作為應(yīng)用,給出一個(gè)例子.

      例 考慮二階非線性中立型時(shí)滯系統(tǒng)

      于是條件(A3)成立. 故時(shí)滯系統(tǒng)(31)至少存在一個(gè)2π周期解.

      [1]任景莉,葛渭高. 一類非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性[J[. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,27(1): 89~98

      [2]劉 斌,庾建設(shè). 一類非線性中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性[J[. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào): A輯,2001,16(3): 276~282

      [3]Lu S.P.,Ge W.G.. On the existence of periodic solutions for neutral functional differential equation[J[. Nonlinear Analysis,2003,54: 1285~1306

      [4]Guo C.J.,Guo Z.M.. Existence of multiple periodic solutions for a class of second order delay differential equations[J[. Nonlinear Analysis:RWA,2009,10(5): 3285~3297

      [5]Kuang Y.. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M[. Academic Press,New York,1993

      [6]Li Y.. Positive periodic solutions of nonlinear second order ordinary differential equations[J[. Acta Mathematica Sinica,2002,45(3): 481~488

      Periodic Solutions of Nonlinear Second Order Neutral Delay Differential Equation

      YAN Li-zhao1, ZHANG Ying-hui2(1. College of Mathematics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China; 2. College of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)

      By using the abstract continuity theorem,we obained sufficient conditions for the existence of a periodic solution for a class of nonlinear second order neutral delay differential equation and gave a sufficiency theorem of a periodic solution.

      neutral delay differential equation,periodic solution,F(xiàn)redholm operator

      O175.14

      A

      1672-5298(2016)02-0006-07

      2016-02-16

      國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71501069); 湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015JJ3090)

      顏李朝(1981- ),男,湖南衡陽(yáng)人,博士,湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系講師. 主要研究方向: 復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)及其應(yīng)用

      猜你喜歡
      湖南師范大學(xué)時(shí)滯微分
      擬微分算子在Hp(ω)上的有界性
      湖南師范大學(xué)作品
      大眾文藝(2021年8期)2021-05-27 14:05:54
      帶有時(shí)滯項(xiàng)的復(fù)Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子
      湖南師范大學(xué)美術(shù)作品
      大眾文藝(2020年11期)2020-06-28 11:26:50
      上下解反向的脈沖微分包含解的存在性
      湖南師范大學(xué)作品
      大眾文藝(2019年16期)2019-08-24 07:54:00
      湖南師范大學(xué)作品欣賞
      大眾文藝(2019年10期)2019-06-05 05:55:32
      借助微分探求連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)
      對(duì)不定積分湊微分解法的再認(rèn)識(shí)
      一階非線性時(shí)滯微分方程正周期解的存在性
      404 Not Found

      404 Not Found


      nginx
      两当县| 中阳县| 康保县| 乌兰浩特市| 鲁甸县| 张家界市| 成都市| 翼城县| 雅江县| 延安市| 平远县| 容城县| 浠水县| 谢通门县| 滕州市| 西昌市| 哈尔滨市| 新邵县| 永宁县| 彰武县| 潜山县| 台州市| 远安县| 惠水县| 依兰县| 河南省| 陆丰市| 新沂市| 黎平县| 吉木萨尔县| 肇州县| 敦化市| 调兵山市| 沛县| 任丘市| 江源县| 贺州市| 巴楚县| 湖州市| 桂林市| 洛隆县|