方泓堃　宋涵

摘 要：本文主要解決如何在二維棋盤(pán)上取走最少的棋子，使剩余棋子五子不相連的問(wèn)題。模型靈感來(lái)源于五子棋中最強(qiáng)防守策略“馬步跳”形成的“八卦陣”。這里將棋盤(pán)建立在一個(gè)二維坐標(biāo)系內(nèi)，并將“馬步跳”法轉(zhuǎn)化為二維坐標(biāo)系下的一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)了一個(gè)基準(zhǔn)棋盤(pán)，并證明該棋盤(pán)可對(duì)任意m×n棋盤(pán)均滿(mǎn)足最少取子個(gè)數(shù)和五子不連珠的要求。

關(guān)鍵字：五子不相連；馬步跳；基準(zhǔn)棋盤(pán)

1 引言

五子棋中有一個(gè)“八卦易守，成角易攻”的概念，八卦就是由象棋四個(gè)馬步形成的一種棋形，如果擺滿(mǎn)全盤(pán)，則對(duì)方?jīng)]有取勝的可能，即不可能產(chǎn)生五子連珠。下圖1中四個(gè)黑子便互成馬步跳，形成一個(gè)八卦。

2 將“馬步跳”其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

以圖1黑子1為原點(diǎn)（0，0）建立平面直角坐標(biāo)系xoy，每個(gè)方格就對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)特坐標(biāo)（x，y），其中其他三個(gè)黑子的坐標(biāo)分別為（2，-1）（3，1）（1，2）。根據(jù)“馬步跳”特性，及總結(jié)分析得在這個(gè)坐標(biāo)系下，所有“馬步跳”點(diǎn)滿(mǎn)足（x+2y）都能將5整除，

即： 我們暫且將這些點(diǎn)稱(chēng)為“馬步點(diǎn)”

可以證明，在一個(gè)任意一個(gè)二維棋盤(pán)上，確定一個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)，拿去所有去所有的“馬步點(diǎn)”，剩余的所有棋子不可能形成五連珠。（模型驗(yàn)證部分有證明）

3 構(gòu)建基準(zhǔn)棋盤(pán)Ω

假設(shè)有一個(gè)可以向下，向右無(wú)限增長(zhǎng)的棋盤(pán)，該棋盤(pán)上剛開(kāi)始開(kāi)始布滿(mǎn)棋子，以棋盤(pán)上左上角為（1，1）點(diǎn)，如下圖2建立坐標(biāo)系ioj，每個(gè)方格就對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)（i，j）。以標(biāo)記為1，坐標(biāo)為（1，3）的棋子為原點(diǎn)，如（2）所述建立坐標(biāo)系xoy，則該棋盤(pán)上所有“馬步點(diǎn)”坐標(biāo)（i，j）滿(mǎn)足：

將所有的“馬步點(diǎn)”的棋子拿去后形成的棋盤(pán)如上圖2所示，

這里我們稱(chēng)其為基準(zhǔn)棋盤(pán)Ω。

基準(zhǔn)棋盤(pán)性質(zhì)：

1、由上2分析得，基準(zhǔn)棋盤(pán)上不存在五五連珠的情況

2、從（1，1）點(diǎn)開(kāi)始向下，向右任取一個(gè)規(guī)模為m×v的二維棋盤(pán)，其上取下的棋子為

4 模型的證明

4.1首先證明當(dāng)m≥5，n≥5時(shí)，其上取下的棋子為

注意到，在棋盤(pán)的每一個(gè)5k×1的子棋盤(pán)上，每一列至少需要取出k枚棋子。否則，會(huì)出現(xiàn)5枚棋子在該列依次相連，因而，至少要取出k×l枚。同理，在每一個(gè)l×5k的子棋盤(pán)上也至少要取出l×k枚。

設(shè)m、n除以5的余數(shù)分別是u、v。

接下來(lái)對(duì)u、v分情形討論，為簡(jiǎn)化討論，不妨設(shè)0≤u≤v<5。

u×v<5的情形。如圖3，把棋盤(pán)劃分成（m-u）×n、u×（m-v和u×v三塊在前兩塊中分別至少要取出

5 模型的優(yōu)點(diǎn)

針對(duì)一般二維棋盤(pán)，借鑒并運(yùn)用了五子棋中的八卦陣，依據(jù)“馬步跳”思想設(shè)計(jì)出了一種通用的取子算法，建立了一個(gè)基準(zhǔn)棋盤(pán)Ω，從此此基準(zhǔn)棋盤(pán)上可以取任意規(guī)模的最簡(jiǎn)五子不連珠的棋盤(pán)。此基準(zhǔn)棋盤(pán)模型，可靠易行，基本可以用來(lái)解決二維棋盤(pán)上所有問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 丁龍?jiān)?，從“五子棋”到“馬步跳”，南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，300071

[2] 趙東方，數(shù)學(xué)模型與計(jì)算，北京：科學(xué)出版社，2007

作者簡(jiǎn)介

方泓堃（1996-），西北工業(yè)大學(xué) 動(dòng)力與能源學(xué)院，自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)。